河南省豫北豫南名校高三上学期精英联赛数学（理）试题

豫北豫南名校2017-2018学年度精英联赛高三数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据指数函数解不等式，明确集合元素取值，可得答案.【详解】，又，，故选：D.2.若复数满足,则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【详解】分析：求出复数，进而得到即可得到结论.详解：即在复平面内对应的点位于第一象限点睛：本题考查复数的基本概念，考查复数的除法，复数的共轭复数，属基础题.3.已知平面向量的夹角为，且，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：结合题意设出的坐标，求出的坐标，从而求出的模即可．详解：平面向量的夹角为，且，不妨设=（1，0），=（，），则=（，﹣），故||=1，故选A．点睛：这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.4.已知双曲线过点，渐近线方程为，则双曲线标准方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题可设双曲线方程为，将点代入方程，进而即得.【详解】根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，则可以设其方程为：，又由双曲线过点，则有，即，则其方程为：，即.故选：C．5.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，头部的尺，重斤；尾部的尺，重斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列．”则下列说法错误的是（）A该金锤中间一尺重斤B.中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的倍C.该金锤的重量为斤D.该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为斤【答案】B【解析】【分析】由题意可知等差数列的首项与第5项，再由通项公式求得公差，求得第三项，再求出中间三项的和，逐一核对四个选项得答案．【详解】解：由题意可得金锤每一尺的重量构成等差数列，且、，所以，故D正确；，故A正确；又，，故B错误；，故C正确．故选：B6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题中条件，由两角差的余弦公式化简整理所求式子，即可得出结果.【详解】因为，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查根据两角差的余弦公式化简求值，属于基础题型.7.已知函数若关于的方程有且只有个不同的根，则实数的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数图象，换元后得到结合分析出同正时，方程有根，得到时不合要求，求出时符合要去，求出实数的值.【详解】作出函数的图象，令，关于的方程等价于同号，只有同正时，方程才有根，假设，则，此时关于方程有个不同的根，只有，关于方程有且只有个不同的根，此时，故选：C.8.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】此三视图的几何体如图，，，，，，故选B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.9.已知实数满足则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把满足条件的x，y看做坐标平面内的点坐标，运用数形结合的思想与均值不等式得解.【详解】由题意作出其平面区域如图所示，由题意可得，，由图知，则，由图知，故的最大值为，当且仅当时，等号成立.故选:A.10.如图，正方体绕其体对角线旋转之后与其自身重合，则的值可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正方体证明垂直于平面，且过等边的中心，因此可得结论．【详解】在正方体中，连接，，由平面，平面，得，又，与是平面内两相交直线，因此有平面，而平面，所以，同理，与是平面内相交直线，因此有对角线垂直于平面，由于是正四面体，因此过等边的中心，可知正方体绕对角线旋转与原正方体重合，故选：A.11.如图，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，与抛物线准线交于点，若是的中点，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】如图，设在准线上的射影分别为，且设，直线的倾斜角为．则．所以，．由抛物线焦点弦长公式可得．选B．或：由得，得直线方程与抛物线联立进而可解得，于是．故选B点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．12.设且，3567891427若上表中的对数值恰有两个是错误的，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据对数的运算法则确定9个对数中错误的两个后，再由对数的运算可得．【详解】由题设可知：显然正确，否则有三个错误，，，若错，则错，也错，不合题意，因此正确，，由于，因此是错误的，在，中有一个正确，一个错误，若正确，则，这个等式不成立，因此错误，从而正确．所以，即，故选：B．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.计算__________．【答案】【解析】【详解】分析：根据定积分的几何意义，将定积分化为两个区域的面积求解．详解：令，可得，表示以原点为圆心，半径为2的圆的上半部分．结合图形可得所求定积分为和扇形的面积之和（如图），且中，，扇形中，．故．点睛：求定积分的方法有两种，一是根据微积分基本定理求解；二是根据定积分的几何意义求解，特别是对于被积函数中含有根号形式的定积分，一般要根据几何意义转化为图形的面积求解．14.在数列中，，，且（），则的值是__________．【答案】【解析】【详解】由得，即数列是等差数列，由，可得，当时，，当时，，设数列的前项和为，，故答案为.【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义、等差数列通项公式及求和公式，属于难题.判定一个数列为等差数列的常见方法是：(1)定义法：（是常数），则数列是等差数列；(2)等差中项法：（），则数列是等差数列；(3)通项公式：(为常数)，则数列是等差数列；(4)前n项和公式：(为常数)，则数列是等差数列.本题先利用方法(2)判定出数列是等差数列后再进行解答的.15.若关于的不等式解集为，则实数的取值范围为__________．【答案】或【解析】【分析】利用绝对值三角不等式可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】由题意可知，对任意的，恒成立，由绝对值三角不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，，即，解得或.故答案为：或.16.在中，若，则的最大值为__________．【答案】【解析】【详解】，，若，则均为钝角，不可能，故，的最大值为，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.的内角、、的对边分别为、、，且．（1）求的值；（2）若，且、、成等差数列，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）根据余弦定理解得的值；（2）由正弦定理得，再利用余弦定理解得，最后根据三角形面积公式求结果试题解析：（1）由，可得，即．（2）由余弦定理，得又、、人值成等差数列，由正弦定理，得，解得．由，得，的面积．18.如图，已知三棱柱的所有棱长均为，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是棱的中点，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；（2）二面角的余弦值为.【解析】【详解】试题分析：（1）证线线垂直，由平面平面得平面，再由底面图形得线线垂直．(2)建系求面的法向量，得法向量的夹角．解：(1)证明：取中点，设与交于点，连接，，依题意得，因为平面平面，平面平面，，所以平面，即平面，所以，又因为四边形为菱形，所以，又，所以平面，而平面，所以.(2)解：由(1)结合已知得：，，，以为原点，如图所示建立空间直角坐标系，因为侧面是边长为2的菱形，且，所以，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则由得，令，可取，而平面的一个法向量，由图可知二面角为锐角，因.所以二面角的余弦值为.19.某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答.（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分.现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）的分布列为

【解析】详解】试题解析:（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件，则所以该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为（2）的可能取值为0，10，20，30，则所以的分布列为0102030所以，的数学期望20.如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，与的公共点为，，其中的离心率为.（1）求，的值.（2）过点的直线与，分别交于点，（均异于点，），是否存在直线，使得以为直径的圆恰好过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1），；（2）存在，方程为.【解析】【分析】（1）由，的方程，令，得到，，然后再利用求解；（2）由（1）知上半椭圆的方程为，设直线方程为，代入的方程，利用韦达定理分别求得点P，Q的坐标，再由求解.【详解】（1）在，的方程中，令，可得，则，.设的半焦距为，由及，得，∴，.（2）存在.由（1）知，上半椭圆的方程为.由题意知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为，代入的方程，整理得，.（*）设点的坐标为，∵直线过点，∴是方程（*）一个根.由一元二次方程根与系数的关系得，从而，∴点的坐标为.同理，由，得点的坐标为，∴，，∵以为直径的圆恰好过点A，∴，∴，即.∵，∴，解得.经检验，符合题意.故直线的方程为.21.已知函数有两个不同的零点．求的最值；证明：．【答案】，无最小值；见解析.【解析】【分析】求导，分析导函数的零点，利用导函数来研究函数的最值；通过，两式相减化为，对于要证，将不等式右边的用替换，得到的是关于的待证不等式，接着化二元为一元，在构造函数证明即可.【详解】，有两个不同的零点，由于单调函数至多一个零点，在内必不单调，故，此时在上单增，上单减，，无最小值；由题知，两式相减得，即，故要证，即证，即证，不妨设，令，则只需证，设，则设，则，设，则，即在上递增，而，故在上递减，，于是，在上单增，，即在时恒成立，原不等式得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，的距离之积．【答案】（1）曲线：，直线的直角坐标方程；（2）1.【解析】【详解】试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线化为普通方程，再根据将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线参数方程，代入C方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点到，的距离之积试题解析：（1）曲线化为普通方程为：，由，得，所以直线的直角坐标方程为．（2）直线的参数方程为（为参数），代入化简得：，设两点所对应的参数分别为，则，．选修4-5：不等式选讲23.已知函数f（x）=2|x+a|+|x-|（a≠0）．（1）当a=1时，解不等式f（x）＜4；（2）求函数g（x）=f（x）+f（