解题技巧专题：巧用旋转进行计算或证明

小学教育复习系列资料小学教育复习系列资料小学教育复习系列资料解题技巧专题：巧用旋转进行计算或证明——体会旋转中常见解题技巧eq\a\vs4\al(◆)类型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度1．(2016·合肥校级模拟)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为()A．60°B．85°C．75°D．90°第1题图第2题图第3题图2．(2016·株洲中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C.若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是()A．50°B．60°C．70°D．80°3．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为________．4．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝5，PB＝12，PC＝13，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．eq\a\vs4\al(◆)类型二利用旋转结合特殊三角形判定、性质或勾股定理求长度或证明5．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转75°，得到△AB′C′，过点B′作B′D⊥CA，交CA的延长线于点D，若AC＝6，则AD的长为()A．2B．3C．2eq\r(3)D．3eq\r(2)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，那么BM的长是________．7．(2016·娄底中考)如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F.(1)求证：△BCF≌△BA1D；(2)当∠C＝α度时，判定四边形A1BCE的形状，并说明理由．eq\a\vs4\al(◆)类型三利用旋转计算面积8．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是()A.eq\r(2)－1B.eq\r(2)＋1C.eq\r(2)D.eq\r(3)第8题图第9题图9．如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则△DCE的面积为________．【方法3】参考答案与解析1．B解析：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∴∠C＝∠E＝70°，∠BAC＝∠DAE.∵AD⊥BC，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF＝90°－∠C＝90°－70°＝20°，∴∠DAE＝∠CAF＋∠EAC＝20°＋65°＝85°，∴∠BAC＝∠DAE＝85°.2．B3．90°解析：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，∴∠AB′B＝eq\f(1,2)(180°－120°)＝30°.∵AC′∥BB′，∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，∴∠CAB′＝∠CAC′－∠C′AB′＝120°－30°＝90°.4．解：连接PP′.∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，AP′＝AP，BP′＝CP＝13，∴△AP′P为等边三角形，∴PP′＝AP＝5，∠APP′＝60°.在△BPP′中，∵PP′＝5，BP＝12，BP′＝13，∴PP′2＋BP2＝BP′2，∴△BPP′为直角三角形，∠BPP′＝90°，∴∠APB＝∠APP′＋∠BPP′＝60°＋90°＝150°.即点P与点P′之间的距离为5，∠APB的度数为150°.5．D解析：在Rt△ABC中，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2)，则AB′＝AB＝6eq\r(2).在Rt△B′AD中，∠B′AD＝180°－∠BAC－∠BAB′＝180°－45°－75°＝60°.则AD＝AB′·cos∠B′AD＝6eq\r(2)×eq\f(1,2)＝3eq\r(2).6.eq\r(2)＋eq\r(6)解析：连接AM，由题意，得CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM为等边三角形，∴AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°.∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝CM＝2eq\r(2).∵AB＝BC，CM＝AM，∴BM垂直平分AC，∴BO＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)，OM＝CM·sin60°＝eq\r(6)，∴BM＝BO＋OM＝eq\r(2)＋eq\r(6).7．(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠C.∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，∴A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1.在△BCF与△BA1D中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A1＝∠C，,A1B＝BC，,∠A1BD＝∠CBF，))∴△BCF≌△BA1D；(2)解：四边形A1BCE是菱形．理由如下：∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，∴∠A1＝∠A.∵∠ADE＝∠A1DB，∴∠AED＝∠A1BD＝α，∴∠DEC＝180°－α.∵∠C＝α，∴∠A1＝α，∴∠A1BC＝360°－∠A1－∠C－∠A1EC＝180°－α，∴∠A1＝∠C，∠A1BC＝∠A1EC，∴四边形A1BCE是平行四边形．∵A1B＝BC，∴四边形A1BCE是菱形．8．A解析：连接AE，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝1，且∠B＝90°，∠D′CE＝45°，由勾股定理得AC＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).由题意，得AD′＝AB＝1，∠AD′E＝90°，∴D′C＝eq\r(2)－1，∠D′EC＝∠D′CE＝45°，∴D′E＝D′C＝eq\r(2)－1，∴S△D′EC＝eq\f(1,2)(eq\r(2)－1)2＝eq\f(3,2)－eq\r(2)，∴S阴影＝S△ABC－S△D′EC＝eq\f(1,2)×1×1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\r(2)))＝eq\r(2)－1.9.eq\f(15,4)eq\r(7)解析：由旋转的性质得△ACE≌△ABD，∴AE＝AD＝5，CE＝BD＝6，∠DAE＝60°，∴DE＝5.作EH⊥CD垂足为H.设DH＝x.由勾股定理得EH2＝CE2－CH2＝DE2－DH2，即62－(4－x)2＝52－x2，解得x＝eq\f(