二次函数与不等式

关于二次函数与不等式第1页，课件共11页，创作于2023年2月1.方程

f(x)=0

有两正根

一、二次方程

ax2+bx+c=0(a>0)

的实根分布问题记

f(x)=ax2+bx+c(a>0),△=b2-4ac≥0.x1+x2=-

>0

abacx1x2=

>0

△=b2-4ac≥0f(0)>0.-

>0

2ab2.方程

f(x)=0

有两负根

△=b2-4ac≥0.x1+x2=-

<0

abacx1x2=

>0

△=b2-4ac≥0f(0)>0.-

<0

2ab4.方程

f(x)=0

的两实根都小于

k

△=b2-4ac≥0f(k)>0.-

<k

2ab3.方程

f(x)=0

有一正根一负根

f(0)=c<0.5.方程

f(x)=0

的两实根一个大于

k,另一个小于

k

f(k)<0.第2页，课件共11页，创作于2023年2月6.方程

f(x)=0

的两实根都大于

k△=b2-4ac≥0f(k)>0.-

>k

2ab7.方程

f(x)=0

的两实根都在区间(m,n)内f(m)>0

△=b2-4ac≥0m<

-

<n

2abf(n)>0.8.方程

f(x)=0

的两实根中,有且只有一个在区间(m,n)内.f(m)f(n)<0,或f(m)=0m<

-

<,2abm+n

2<

-

<

n.

2abm+n

2f(n)=0或思考方程的两根有且只有一个在区间[m,n]上时等价于?9.方程

f(x)=0

的两根分别在区间(m,n)和(p,q)(n<p)内.f(m)>0

f(n)<0f(p)<0f(q)>0.

注涉及方程

f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布问题,一般情况下要从四个方面考虑:①

f(x)

图象的开口方向;②方程

f(x)=0的判别式;④区间端点处函数值的符号.

③

f(x)

图象的对称轴与区间的关系;第3页，课件共11页，创作于2023年2月例1．已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围.解题分析：函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，就是表明关于x的方程mx2+(m-3)x+1=0至少有一个正根，可借助根与系数的关系来解。解：若m=0，则f(x)=-3x+1,显然满足要求.若m≠0，有两种情况：综上可得m∈(-∞,1]第4页，课件共11页，创作于2023年2月例2.已知对于x的所有实数值，二次函数的值都非负，求关于x的方程的根的范围.解题分析：由已知方程将x表示为a

的函数，这样求方程根的问题就转化成求函数值域的问题。解：由已知得，△≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,原方程化为x=-a2+a+6第5页，课件共11页，创作于2023年2月解：由已知得，△≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,(2)当1≤a≤2时，原方程化为x=a2+3a+2它在[1,2]上为增函数，∴6≤x≤12例2.已知对于x的所有实数值，二次函数的值都非负，求关于x的方程的根的范围.第6页，课件共11页，创作于2023年2月例3.已知函数

f(x)=ax2+4x+b(a<0,a,bR).设关于

x

的方程f(x)=0

的两根分别为

x1,x2,

f(x)=x

的两根分别为,.(1)若|-|=1,求

a,b

满足的关系式;(2)若

a,b

均为负整数,且|-|=1,求f(x)的解析式.a2+4ab=9(a<0,a,bR);f(x)=

-x2+4x

-2.第7页，课件共11页，创作于2023年2月练习1.1.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围

(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范

2.已知函数f(x)=x2-(2a-1)x+a2-2与非负轴至少有一个交点，求的取值范围．第8页，课件共11页，创作于2023年2月练习23.若不等式(a－2)x2+2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是()A(－∞,2] B[－2,2] C(－2,2] D(－∞,－2)4设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m－1)的值为()A正数 B负数 C非负数 D正数、负数和零都有可能5二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f