圆锥曲线存在性问题

-.z.圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替（1）点：坐标（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。二、典型例题：例1：已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与相交于两点，当的斜率为时，坐标原点到的距离为。（1）求的值（2）上是否存在点，使得当绕旋转到*一位置时，有成立？若存在，求出所有的的坐标和的方程，若不存在，说明理由解：（1）则，依题意可得：，当的斜率为时解得：椭圆方程为：（2）设，当斜率存在时，设联立直线与椭圆方程：消去可得：，整理可得：因为在椭圆上当时，，当时，，当斜率不存在时，可知，，则不在椭圆上综上所述：，或，例2：过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点，为其左焦点，已知的周长为8，椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解：（1）由的周长可得：椭圆（2）假设满足条件的圆为，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内若直线斜率存在，设，与圆相切即联立方程：对任意的均成立将代入可得：存在符合条件的圆，其方程为：当斜率不存在时，可知切线为若，则符合题意若，同理可得也符合条件综上所述，圆的方程为：例3：已知椭圆经过点，离心率为，左，右焦点分别为和（1）求椭圆的方程（2）设椭圆与轴负半轴交点为，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点（在之间），为中点，并设直线的斜率为①证明：为定值②是否存在实数，使得？如果存在，求直线的方程；如果不存在，请说明理由解：（1）依题意可知：可得：椭圆方程为：，代入可得：椭圆方程为：（2）①证明：设，线段的中点设直线的方程为：，联立方程：化为：由解得：且②假设存在实数，使得，则即因为在椭圆上，所以，矛盾所以不存在符合条件的直线例4：设为椭圆的右焦点，点在椭圆上，直线与以原点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆的方程（2）过点的直线与椭圆相交于两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由解：（1）与圆相切将代入椭圆方程可得：椭圆方程为：（2）由椭圆方程可得：设直线，则联立直线与椭圆方程：消去可得：同理：联立直线与椭圆方程：消去可得：因为四边形的对角线互相平分四边形为平行四边形解得：存在直线时，四边形的对角线互相平分例5：椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，为椭圆上任意一点，且的最大值的取值*围是，其中（1）求椭圆的离心率的取值*围（2）设双曲线以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点，是双曲线在第一象限上任意一点，当取得最小值时，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（1）设由可得：代入可得：（2）当时，可得：双曲线方程为，，设，当轴时，因为所以，下面证明对任意点均使得成立考虑由双曲线方程，可得：结论得证时，恒成立例6：如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆的方程（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得对于任意直线，恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）椭圆方程为由直线被椭圆截得的线段长为及椭圆的对称性可得：点在椭圆上椭圆方程为（2）当与轴平行时，由对称性可得：即在的中垂线上，即位于轴上，设当与轴垂直时，则可解得或不重合下面判断能否对任意直线均成立若直线的斜率存在，设，联立方程可得：由可想到角平分线公式，即只需证明平分只需证明①因为在直线上，代入①可得：联立方程可得：成立平分由角平分线公式可得：例7：椭圆的上顶点为，是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点（1）求椭圆的方程（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由解：由椭圆可知：为直径的圆经过由在椭圆上，代入椭圆方程可得：椭圆方程为（2）假设存在轴上两定点，设直线所以依题意：①因为直线与椭圆相切，联立方程：由直线与椭圆相切可知化简可得：，代入①可得：，依题意可得：无论为何值，等式均成立所以存在两定点：例8：已知椭圆的左右焦点分别为，点是上任意一点，是坐标原点，，设点的轨迹为（1）求点的轨迹的方程（2）若点满足：，其中是上的点，且直线的斜率之积等于，是否存在两定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由（1）设点的坐标为，点的坐标为，则由椭圆方程可得：且代入到可得：（2）设点，设直线的斜率分别为，由已知可得：考虑是上的点即的轨迹方程为，由定义可知，到椭圆焦点的距离和为定值为椭圆的焦点所以存在定点例9：椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于，与交于（1）求椭圆及抛物线的方程（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（1）设的公共焦点为（2）设直线，与椭圆联立方程：直线与抛物线联立方程：是焦点弦若为常数，则例10：如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于两点，当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时，弦的长为（1）求椭圆的方程（2）是否存在点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由解：（1）依题意可得：当与轴垂直且为右焦点时，为通径（2）思路：本题若直接用用字母表示坐标并表示，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与的坐标。因为要满足所有直线，所以考虑先利用特殊情况求出点及定值，再取判定（或证明）该点在其它直线中能否使得为定值。解：（2）假设存在点，设若直线与轴重合，则若直线与轴垂直，则关于轴对称设，其中，代入椭圆方程可得：，可解得：若存在点，则。若，设设，与椭圆联立方程可得：，消去可得：，同理：代入可得：所以为定值，定值为若，同理可得为定值综上所述：存在点，使得为定值三、历年好题精选1、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过点，离心率为，过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是（1）求椭圆的方程（2）若在椭圆上的任一点处的切线方程是，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标（3）是否存在实数，使得恒成立？（点为直线恒过的定点），若存在，求出的值；若不存在，请说明理由2、已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，是椭圆上的一点（1）求椭圆的方程（2）设分别是椭圆的左右顶点，是椭圆上异于的两个动点，直线的斜率之积为，设与的面积分别为，请问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由3、已知椭圆经过点，离心率为，左，右焦点分别为和（1）求椭圆的方程（2）设椭圆与轴负半轴交点为，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点（在之间），为中点，并设直线的斜率为①证明：为定值②是否存在实数，使得？如果存在，求直线的方程；如果不存在，请说明理由4、已知圆，定点，点为圆上的动点，点在上，点在上，且满足（1）求点的轨迹的方程（2）过点作直线，与曲线交于两点，是坐标原点，设，是否存在这样的直线，使得四边形的对角线相等（即）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由5、（2014，**）已知双曲线的两条渐近线分别为，（1）求双曲线的离心率（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一、四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在请说明理由习题答案：1、解析：（1）椭圆过点，再由可解得：椭圆方程为：（2）设切点坐标为，直线上一点，依题意可得：两条切线方程为：，由切线均过可得：均在直线上因为两点唯一确定一条直线，即过定点，即点的坐标为（3）联立方程：，不妨设，使得恒成立2、解析：（1）抛物线的焦点为依题意可知：椭圆方程为：（2）由（1）可得：，若直线斜率存在设，到直线的距离到直线的距离联立方程：（*），代入到（*）可得：或当时，，交点与重合，不符题意，代入到可得：，即3、解：（1）依题意可知：可得：椭圆方程为：，代入可得：椭圆方程为：（2）①证明：设，线段的中点设直线的方程为：，联立方程：化为：由解得：且②假设存在实数，使得，则即因为在椭圆上，所以，矛盾所以不存在符合条件的直线4、解析：（1）由可得为的中点，且为的中垂线点的轨迹是以为焦点的椭圆，其半长轴长为，半焦距轨迹方程为：（2）因为四边形为平行四边形若，则四