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连续函数的运算与初等函数的连续性第1页，共19页，2023年，2月20日，星期四一、四则运算的连续性定理1例如,第2页，共19页，2023年，2月20日，星期四二、反函数与复合函数的连续性定理2

严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.

反函数与直接函数的图形是关于y=x相互对称的曲线，如果y=f(x)是一条连续的曲线，自然曲线y=f-1(x)也是一条连续的曲线。例如,在上连续单调递增，其反函数在[－1,1]上也连续单调递增.在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.又如,

第3页，共19页，2023年，2月20日，星期四定理3证明将上两步合起来:第4页，共19页，2023年，2月20日，星期四注意

定理4是定理3的特殊情况.例如,定理4.连续函数的复合函数是连续的.证:

设函数于是故复合函数且即第5页，共19页，2023年，2月20日，星期四意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解第6页，共19页，2023年，2月20日，星期四例2解：1)一般地,对幂指函数，如果存在,则说明:第7页，共19页，2023年，2月20日，星期四2)若则有3)

当则有第8页，共19页，2023年，2月20日，星期四三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★★(均在其定义域内连续)幂函数第9页，共19页，2023年，2月20日，星期四定理5基本初等函数在定义域内是连续的.定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意1.

第10页，共19页，2023年，2月20日，星期四注意2.初等函数求极限的方法代入法.只要为初等函数：．例3解第11页，共19页，2023年，2月20日，星期四例4解第12页，共19页，2023年，2月20日，星期四例5、求解：第13页，共19页，2023年，2月20日，星期四例6、求解：由于为初等函数，且x=1为定义区间内的点，所以：第14页，共19页，2023年，2月20日，星期四例7.设解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类间断点.在点x=1

不连续,第15页，共19页，2023年，2月20日，星期四四、小结连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.两个定理;两点意义.反函数的连续性.说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.第16页，共19页，2023年，2月20日，星期四求极限的方法通常有：

(1)利用连续性

(2)利用等价无穷小代换

(3)利用重要二极限

(4)初等方法：a.有理化，

b.因式分解，

c.分子分母同除，

d.数列先求和

e.单调有界性或夹逼性判定．作业：P693,4第17页，共19页，2023年，2月20日，星期四思考与练习续?反例

x

为有理数

x

为无理数处处间断,处处连续.反之是否成立?

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