2023届高三数学一轮基础巩固第5章第2节平面向量基本定理及向量的坐标表示（含解析）新人教A版

PAGE1-【走向高考】2０１6届高三数学一轮基础巩固第5章第2节平面向量基本定理及向量的坐标表示新人教Ａ版一、选择题１．（文)(20１4·郑州月考）设向量a＝（m,1),b＝（1，ｍ)，如果a与b共线且方向相反,则m的值为()A.－1ﻩB.1Ｃ．-2 Ｄ.2[答案]A［解析]设a=λb(λ＜0)，即m＝λ且1＝λm.解得m＝±1,由于λ<0，∴m=－1.[点评］1.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别,若a＝(x1，x2)，b=(y１，y２),则a∥ｂ⇔x1y2－x2ｙ１=０,当ａ，ｂ都是非零向量时，a⊥b⇔x1x2+y1y２=０,同时还要注意a∥b与ｅｑ\f(x１，x２)=eq\ｆ（y1,ｙ2）不等价.2.证明共线(或平行)问题的主要依据：（1）对于向量a,ｂ,若存在实数λ,使得b=λa,则向量a与b共线(平行）．(２)a=(x１，y1),b=（x2,y2)，若x1y2－x２y１＝0,则向量a∥b.(３)对于向量a,b,若|a·b|=|a|·|b|，则a与b共线．要注意向量平行与直线平行是有区别的.（理)(2０１3·哈尔滨质检)已知平面向量ａ＝(2ｍ+1，3)，b=(2,m)，且a与b反向，则|bA.eq\f（1０\ｒ（2）,7）ﻩB.２eq\r（2)C．eq＼f（5,２)ﻩD.eq\ｆ（5,2)或2eq\ｒ(2)[答案]Ｂ［解析]据题意a∥b则m(2m+1)-3×2＝0，解得m＝-2或ｍ=eq\ｆ(3，2),当ｍ=ｅq\f（3,2)时a=（４,３),b=(2,ｅq\ｆ(3,2)),则ａ＝2b,此时两向量同向,与已知不符，故m=-２,此时b=(2,－2),故|b|=2eｑ\r（2）.2．(2014·山东青岛期中)设ａ,b都是非零向量,下列四个条件中，一定能使eq＼ｆ(a，|a|)+eq\ｆ(b，｜b|）=0成立的是（)A.a=－eq\f(１,3)ｂ B.a∥bＣ.a＝2b D.a⊥b[答案］A[解析]由题意得ｅq＼f（ａ,|ａ|)＝－eq\f(ｂ,|ｂ|）,而ｅｑ\f（ａ,|a|)表示与a同向的单位向量，－eq\f(b,|ｂ|)表示与b反向的单位向量，则a与ｂ反向.而当a=－eq\f(1,3)b时,ａ与b反向,可推出题中条件．易知B，C，D都不正确，故选Ａ．［警示]由于对单位向量、相等向量以及共线向量的概念理解不到位从而导致错误,特别对于这些概念：(１)单位向量eｑ\ｆ（ａ,|a|),要知道它的模长为1,方向同ａ的方向；（2)对于任意非零向量a来说，都有两个单位向量，一个与ａ同向，另一个与a反向;(３)平面内的所有单位向量的起点都移到原点，则单位向量的终点的轨迹是个单位圆;（４）相等向量的大小不仅相等，方向也必须相同,而相反向量大小相等,方向是相反的；(５）相等向量和相反向量都是共线向量，但共线向量不一定是相等向量,也有可能是相反向量.3.(2013·安庆二模)已知a，b是不共线的两个向量,eq\o（ＡB，\s\ｕp6(→))=xａ＋b，eｑ\o（AC,＼s\up６(→））=a+ｙb(x，y∈R)，若A，B,C三点共线，则点P(x，y)的轨迹是()Ａ．直线 Ｂ．双曲线C.圆 D.椭圆[答案]B［解析]∵A，B,C三点共线，∴存在实数λ，使eｑ＼o(AB,\s\uｐ6(→）)＝λｅq＼o(AC，\s\uｐ6(→)）．则ｘa+ｂ=λ(a＋yｂ)⇒ｅq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\ａl\co１(x＝λ,,１＝λy）)⇒xy＝１，故选B．4．（文)已知平面向量a＝(1,－1）,ｂ＝(－1,２）,c＝（１,１)，则用a、b表示向量c为()A.2ａ-b Ｂ．－a＋2C．ａ－２b D.3ａ+2[答案]Ｄ[解析］设ｃ=ｘa＋ｙb，∴（1，１）＝(x－ｙ，-x＋２y）,∴eq\b\ｌｃ\｛\rc\(\a＼vｓ４\al\co1（ｘ-y＝1，，-ｘ＋2y=１.))解之得eq\b\lｃ＼{\rc\(\a\vs４\al\co1(x＝3，，ｙ＝２.)）∴c＝３a+２b(理)(20１４·德州模拟）设ｅｑ\o（OB,\ｓ\up6(→))＝xｅq\o(OＡ,\s＼up6（→）)+ｙｅｑ\ｏ(OC,＼s\up６（→）),ｘ,y∈Ｒ且A,B，Ｃ三点共线（该直线不过点O),则x+y=()A.-1 B.1C.0 D．２[答案]B[解析］如图，设eq＼o(AB,\ｓ＼ｕｐ6(→))＝λｅq\o(AC,\s\up6(→)),则eq\o(OB，\ｓ\up6(→))＝eq＼o(OA，\s\up6(→))+eq\o（AB,＼s\up6(→))＝eｑ\o(OA,\s\uｐ6（→))+λeq\o（ＡC,\ｓ\ｕp6(→)）=eｑ\o（OA,\s\uｐ6（→）)+λ(eq＼o（OC,\s＼up6(→))－eｑ\o(OA,\s\uｐ6(→)）)=eｑ\o(OA,\s\uｐ6(→))＋λeq＼o(ＯＣ,＼ｓ\up6(→）)-λｅq\o(OA,\s＼up6(→))＝(1－λ)eq\ｏ(OA,\s\uｐ6(→)）+λeｑ＼o(OＣ,＼s＼up6（→))∴x＝1－λ,y＝λ,∴ｘ+ｙ=1.[点评]用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功．在进行向量运算时，要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算法则进行求解．充分利用平面几何的性质,可把未知向量用已知向量表示出来．5．(文）(20１4·湖北武汉调研)如图所示的方格纸中有定点O,Ｐ，Q，Ｅ,F,G,H，则eq\o(ＯＰ，\ｓ＼up6(→))+eｑ\o(OＱ,\s\uｐ6(→))＝()Ａ．eq＼o(OＨ，\s\up6(→）） B．ｅｑ＼ｏ(ＯＧ,\s\up6（→))C．eq\o(ＥO,\s＼ｕp6(→）） D.eq＼o(FＯ,＼s＼ｕp6(→))[答案]D[解析]由平行四边形法则和图示可知,选D．（理)(2013·福州质检）如图,e１，e2为互相垂直的单位向量，则向量a-b可表示为（)A.3e2－e1 B.-2e1－４e2C．e1－３e2ﻩD．3e1-e2［答案］C[解析]如图所示,a-b=eq\ｏ(AＢ，\s\uｐ6(→))＝ｅ1-３e２，故应选C．６.(2014·新课标全国Ⅰ文，6）设D，Ｅ,F分别为△AＢC的三边BＣ、ＣA、ＡB的中点，则eｑ\ｏ(ＥB,\s\up6(→))＋eq\ｏ(FC,\s\up6(→))=（)A．eq\o（ＡD，＼s\up6(→))ﻩB．ｅｑ\f(1,2)eq＼o(AＤ，＼s\up6(→))C.eq\ｏ（BC,\s\up6(→)）ﻩD．ｅｑ＼f(1,２）eq\o（BC,\s\up6(→))[答案]Ａ[解析]如图,eｑ\o(EB,\ｓ＼up６(→）)＋ｅq＼o(FC,\ｓ\up6(→)）＝－ｅq\f(1,2）(eq\o（BＡ，\s\up６（→）)＋eq\o(BC,\s\uｐ6(→））)－eq＼ｆ（1,2）(eｑ\o（CB，\s\up6（→））＋eq＼o(ＣＡ,\s\up6(→）)）＝-eq＼f(1,2）（ｅq\o(ＢA,\s\up6(→））＋eq\o(CA，\s\up6（→))）=eq\f(１，2)(eq\o(AＢ,\ｓ\ｕp６（→))+eｑ\ｏ(AＣ,\s\ｕp6（→))）=eｑ\o（AD,\s\up6(→）).选A.二、填空题７．(文)(２０13·安徽省级示范高中联考)设向量a=(x,３)，ｂ=(2,1），若对任意的正数m，n，向量ma＋nb始终具有固定的方向，则x=＿__＿____.[答案]6［解析]当a与b共线时,向量ma+nb始终具有固定的方向，则1×ｘ＝２×3,所以x=６.(理)(２01４·宜春质检)如图所示，在△ABＣ中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若eq＼o(ＡM,＼s＼uｐ6(→))=λeｑ\o(AB,\s\up6(→))＋μｅq\o(AC,\s\up6(→)），则λ+μ＝________.［答案]eｑ\f（1,2)[分析］由B,Ｈ,C三点共线可用向量eq\o(ＡＢ,\ｓ\up6（→)),ｅq\o(AC,\s＼uｐ６(→)）来表示eq\o(AH，\s\ｕｐ6(→)).［解析]由Ｂ，H，C三点共线，可令eq＼ｏ(AＨ,\s＼ｕp6（→）)=xeq\o（ＡＢ,\s＼uｐ6(→)）+(1－x)eｑ\ｏ（ＡC,\s\up6(→））,又M是AH的中点，所以eｑ\o(AM,\s＼up６(→))=eq\ｆ(1,2)eｑ＼o(AH,\ｓ\up6(→))＝eｑ\ｆ（1,2)xeq\o（ＡＢ，\s\ｕp6(→))＋eq\f(１,２)(1-ｘ)eq\o(AC，\s\up6(→）)，又ｅｑ＼o（AＭ，\s\ｕp6(→))=λeq\o(ＡＢ,\ｓ\uｐ６（→))+μeq\o(AC,\s\up6(→)).所以λ+μ=eq\f(1，2)x＋eｑ＼f(１,2)(1－ｘ)=eq\f(1，2).[点评]应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算,共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的.8．(20１３·烟台调研）在等腰直角三角形ABC中,D是斜边BC的中点，如果AB的长为2,则(eｑ＼o(AB,\ｓ＼uｐ６(→))＋ｅq＼ｏ(AC，\s\ｕp6(→)))·eq＼ｏ(AＤ,＼s\up6（→)）的值为_______＿．[答案]４[解析］由题意可知,ＡＤ＝eq\f（１,2）BＣ＝eq\f（２\r(2),2)=eq\r（2)，（eq\ｏ(AＢ，＼s\up6(→)）+eq\o（AC,\s\up６(→)))·ｅｑ\o(AD,\s＼ｕｐ６（→))=2eq＼o(ＡＤ,\ｓ＼uｐ6(→)）·eq＼o（AＤ,\s＼up6(→))=２｜eq\ｏ(AＤ,＼s＼uｐ6（→)）|２=4.9．（2０14·河北二调）在△ABＣ中,AC＝1,AB=２，A＝eq\f(2π,３)，过点Ａ作ＡP⊥BC于点Ｐ，且ｅｑ\o(AP,＼s＼uｐ6(→))＝λｅq\o(AＢ,\s\ｕp６(→)）+μeq\o(ＡC，\s\up6（→)),则λμ＝___＿_＿__.［答案]eｑ\f(10，４９)[解析]由题意知eq\o（AＢ,\s\ｕp6(→))·eq\ｏ(AC，\s\ｕp６(→))=2×１×coseq\f（2π,3）＝－1，∵AP⊥ＢC,∴eｑ\o(ＡP,\s\up6(→）)·eq\o(BC,＼s\ｕp６(→））＝0，即(λｅq\o(AB,\s\ｕp6（→))＋μeｑ＼o(AＣ,\s\up６（→))）·(eｑ\o（AC,\s\ｕｐ6(→))－eq＼o(AB,\s\up６(→)))＝０,∴(λ－μ)eq\ｏ(AB，\s\up6（→))·ｅq\o(AC,\s\ｕｐ6（→))-λeq\o(AＢ,\ｓ\ｕｐ6(→))2＋μeq\o(AC，\ｓ\up6(→))2=0,即μ-λ-4λ+μ＝0,∴μ＝ｅq＼ｆ(5,2）λ，①∵Ｐ,B,C三点共线，∴λ＋μ=1,②由①②联立解得ｅq＼b＼lｃ\{\rc\(\ａ＼vｓ4\ａl\co１(λ=\f(2,7),μ=\f（5,7））)，即λμ=eq＼ｆ(２,7)×eｑ＼ｆ(5,7）=ｅｑ\f（10,４9).三、解答题10.(文）平面内给定三个向量a＝(3,２),b＝(－1,2）,c＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足a＝mｂ+ｎｃ的实数ｍ、n;(2)若(ａ＋kc)∥（２b－a),求实数k；(3）若d满足（d－ｃ)∥(ａ+b)，且|d-c|=eｑ＼ｒ(５),求d.[解析](1）由题意得(3,２）=m(－1，2)＋n（４，1),所以eq\b\lc\{\ｒc＼(\a＼vs4\aｌ\co１(-ｍ＋４n＝３,,2m＋n=2．))得eｑ\b\lc\{＼rc\(\a\ｖｓ４＼al\co１(m＝＼f(5,9)，,n=\f(８,9).))(2)a＋kc＝(3+４k,2＋k),2b－a＝(-５,2),∵(a＋kｃ)∥(2b－a)，∴2×(3+4k)－（-5)×(２+ｋ）=０,∴ｋ＝－eq\ｆ(１6,13).(3）设d＝(x,y）,则ｄ－c=(ｘ-4，ｙ－1),a＋ｂ＝（2，4)，由题意得ｅq＼b\lc\{\rｃ＼（\a\vs４\al\cｏ1（4x－4-２y－1=0,,x-４2+y－12=5.）)解得eq\b\lc＼{＼rc\(\a＼vs4\ａl＼cｏ１(x=3,，y=－1,))或eｑ\ｂ\lc\｛\rc＼（＼a＼ｖｓ4＼aｌ\cｏ1(x=5,,y=3.）)∴d＝(３，-1）或d＝（5，3)．（理)设a、b是两个不共线的非零向量(ｔ∈R）.(1）记ｅq\o(OA,\s\up6（→)）=a，eq＼o(ＯB，\s\ｕｐ6(→)）=tb,eｑ＼o（OC,\s＼up６(→))=eq\f(１,3)（a+ｂ)，那么当实数t为何值时，Ａ、B、C三点共线？(２)若|a|=|b｜＝１且ａ与ｂ夹角为1２0°,那么实数ｘ为何值时，|a－ｘb|的值最小？[解析］(１)∵A、B、C三点共线，∴eｑ\o(AＢ,\s＼up6（→））与ｅq\o(AC,\s\up6（→))共线，又∵eq\ｏ(ＡB,\ｓ＼uｐ6(→))＝eｑ\ｏ(OB,\s\ｕp6(→）)-eq\o(ＯA，\s\uｐ6(→））＝tb－a,eq\o(AC,＼ｓ\uｐ6(→）)=eq\o(OC,\s\uｐ６(→))-ｅq\o(OＡ,\ｓ＼up6(→)）=eｑ\f(１,３)b－eq＼f(2,３）a,∴存在实数λ，使eq\o(AＢ,\s\up6(→)）＝λeｑ\ｏ(AC，\s\up6（→）)，即ｔb－a＝eq\f（λ,3)ｂ－ｅq\f（２λ，3)a,∴t＝eq\f(1,２).(2）∵｜a|=｜b|=１，〈a，b〉＝120°，∴a·b＝－eq＼f(1,2），∴|a－xb|2=|a|2＋x２|ｂ|2-2x·a·b=１＋x2＋x=(x＋ｅｑ\f(1,2）)２＋eq\f(3,4)≥ｅq＼ｆ（3,4)，∴|a－ｘb|的最小值为ｅｑ\ｆ(\r(３),2)，此时ｘ=-eｑ＼f(１，2).一、选择题１1.已知直线x+y＝a与圆x2＋ｙ2＝4交于A、Ｂ两点，且｜ｅq\ｏ(ＯA,\ｓ＼up6（→））＋eｑ＼o(OＢ,\s＼up6(→))|＝|eｑ\o（OA,\s\up6(→）)-eq\o(OB,\ｓ\up6（→）)｜,其中O为坐标原点,则实数a的值为()A.2ﻩB．-2Ｃ.2或－2ﻩＤ.eｑ\r(6)或－ｅq\r(６)［答案]C[解析]以OA、OＢ为边作平行四边形OＡＣB,则由|eq\o(OA,\s\up6(→))＋ｅq\ｏ（OB,\s\ｕp６(→))|＝｜eq＼ｏ(OＡ,\ｓ\ｕp６(→))-eq\o(OB,\ｓ＼up6(→))|得,平行四边形OAＣB为矩形，ｅq\ｏ（OＡ,\s＼up６(→)）⊥eq\ｏ(ＯB,＼s\up6(→)）.由图形易知直线y=-x+a在y轴上的截距为±2，所以选Ｃ.12．在△AＢＣ中,Ｍ为边BC上任意一点，Ｎ为ＡM的中点，eq\o（ＡＮ,\ｓ\ｕp6（→))=λeq\o（AＢ,\s\up6(→）)+μeq\o（AC,\s\uｐ6（→)），则λ+μ的值为()A．eｑ\f(1，2) B.ｅq\ｆ(1,3)C．eｑ\f(1,4） D．１[答案]Ａ[解析]本题考查向量的线性运算．据已知N为AM的中点，可得ｅｑ\ｏ(AN,\s\up6（→))=ｅq\f（１,2)eq\ｏ（AＭ,\s\up６(→))=λeq\o(AＢ,\ｓ\up６（→）)+μｅq\o(AC,\s\up6（→))，整理得eq\ｏ(AM,\s\uｐ6(→))＝２λｅｑ\o(AB,\ｓ＼ｕp６(→)）＋２μeｑ\o(AC,＼s＼up6(→)）,由于点Ｍ在直线ＢＣ上,故有2λ＋2μ＝1,即λ+μ=eq\f(1,２）．13．（文)(20１4·浙江十校联考)称d(ａ,b)=|ａ－b|为两个向量a，ｂ间的“距离”．若向量ａ,b满足：①|b|＝1；②a≠b;③对任意的ｔ∈R,恒有ｄ(a，tb)≥d(a,b)，则（)A.a⊥bﻩB．ｂ⊥(a－b)C.ａ⊥（a-b） D．(ａ＋b）⊥(ａ-b)[答案］Ｂ[解析]由于d(ａ,b)=｜a－b|,所以对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a,b),即|a－tｂ|≥|a-b|，由图示可知,向量a-ｔｂ的模的最小值是a-b的模，故ａ-b与b垂直,故选B.(理)(2014·浙江)记ｍax{x，y}=ｅq\b\ｌｃ＼{＼rc\(\a\vｓ４＼al＼co１（x,ｘ≥y，ｙ,x<y)），min{x，y｝=eq\ｂ\lｃ\{\ｒｃ\(\a\vs4\aｌ\co1(y，x≥ｙ,x,x<y））,设a,b为平面向量，则()Ａ．min{|a＋b|,|a－b｜｝≤min{|a|，｜b|}B．miｎ{｜a＋b|，|a-b｜}≥min｛｜a|，｜b|}C．maｘ{|a+b｜２，|a－b｜2}≤｜a｜2+|ｂ｜２D.mａｘ{|a＋b｜2，|a－b|2｝≥|a|２+｜b|２［答案]Ｄ[解析］由新定义知,max{x，y}是ｘ与ｙ中的较大值,ｍin｛x，y}是x,y中的较小值，据此可知A、B是比较|ａ+b|与|a－b｜中的较小值与|ａ|与|b|中的较小值的大小，由平行四边形法则知其大小与〈a,ｂ〉有关，故A、B错;当〈a，b〉为锐角时,|a＋b|>｜a－b｜,此时|a＋b｜2>|a|2＋|b|2．当〈ａ，b〉为钝角时,|a＋ｂ｜<｜ａ-b|，此时|a+b|2<|a|2+|b|2<|a-ｂ|2.当〈ａ,b〉＝90°时,|a+ｂ|=|ａ-b｜,此时|a＋ｂ|2＝｜a|２＋|b｜２．故选D.１4．（文)(２013·济宁模拟）给定两个长度为1的平面向量ｅq\o(ＯA，＼s\ｕｐ６（→))和eｑ\ｏ(OＢ,\s\ｕp6(→)），它们的夹角为90°,如图所示,点C在以O为圆心的圆弧ＡB上运动，若ｅq\o(OC,\s\up６（→))=ｘeｑ\ｏ(OA,\ｓ\up6(→))＋ｙeｑ\o（OＢ，＼s\ｕp６(→))，其中ｘ,ｙ∈R，则x+y的最大值是（)A．1 B.eq＼r(２)C.eq\r(3) D.2［答案］B[解析]方法一:以O为原点,OA，OＢ所在直线分别为x轴,y轴建立直角坐标系,设〈eq＼o(OA，\s\up６(→))，ｅq\o（OC,\s＼up6(→))〉＝θ,θ∈[0,eq\f(π,2)］,则ｅq＼o(OA,\s\up６（→))＝(1,0)，eq\o（OB,\s\uｐ6(→))＝（0,1),eq\o(ＯC,\ｓ\ｕｐ6（→))=（cｏsθ,sｉnθ)．∵eq\o(OC,\s\up６(→）)＝xeq\o(OA，＼s＼ｕp6(→)）＋yeq\o(OB,\s＼ｕp6(→)），∴eｑ\b＼lc\{\ｒc\（\ａ\vｓ4\al＼co1(x＝cｏsθ，,ｙ＝sinθ.))∴ｘ＋y＝ｃｏｓθ＋sinθ＝eq\ｒ(２)siｎ(θ+ｅq\f(π,4))，又θ+ｅq\f(π，4)∈［eq\f（π,４)，eq\f(3π,4)],∴x+y的最大值为eq\ｒ（2).方法二：因为点C在以O为圆心的圆弧ＡＢ上,所以|eq\o(OC,\ｓ＼up6(→))|2＝｜ｘeｑ\o(OA,\s＼up６（→))＋ｙｅq\ｏ(OＢ,\s＼uｐ６(→))|2=x2+y2+２xyｅｑ\ｏ(ＯＡ，\s\up６（→))·eq＼o（OＢ,＼s＼up6(→))＝x2＋ｙ2=1≥eq\f(x+y2,2).所以ｘ＋y≤eq\ｒ（2),当且仅当x=y=ｅｑ\ｆ(\r(２),2)时等号成立．（理）(２０１３·皖南八校联考）已知正方形ABCD（字母顺序是A→Ｂ→C→D）的边长为1,点Ｅ是AB上的动点(可以与A或B重合),如图所示,则ｅq\o(DＥ，\s\up6（→))·eq\ｏ（CD,＼s\up６(→）)的最大值是(）A.1ﻩB.ｅｑ\f(1,２)C.0ﻩD．－1[答案］C[解析]设eq＼o（AB,＼ｓ\uｐ6(→))＝a，eq\ｏ(AD,＼s\ｕp6(→))＝ｂ，则eｑ\ｏ(AE,＼s\up６(→))=λeq\o(ＡB,\ｓ\up6(→))＝λa(０≤λ≤1).eq\o(DE，＼s＼ｕp6（→）)=eｑ＼o（AＥ,\ｓ＼up６（→))-eｑ＼o(AＤ,\ｓ＼up6(→))＝λａ－b,∴eｑ\ｏ(ＤE,＼s\up6(→)）·ｅｑ\o（ＣD,\s\up6(→）)=eq\ｏ(DＥ,\s\uｐ6(→))·(-eq＼ｏ（AB,\s＼uｐ６（→）)）=(λa－b)·(－a)=－λa2＋a·b＝－λ.又0≤λ≤1,∴eq\o(DＥ,\s\ｕｐ6(→）)·eq\o(CD,\s\up６(→)）的最大值为０，故选C．二、填空题1５.(２013·开封第一次模拟)已知|a|＝２,|b|=2，a与b的夹角为45°，且λb-ａ与a垂直,则实数λ=＿__＿＿＿__.[答案]eq＼ｒ(2）［解析]依题意得（λb－a)·a=λa·b-a2=2eq\r（2)λ－4＝0，λ=eq\r(2).16.(文)（２0１４·广雅中学月考)梯形ＡBCＤ中，AB∥ＣＤ，AＢ=２ＣD,M、N分别是CD、ＡB的中点，设eq\o(AB,\s\uｐ6(→)）＝a，eｑ\o(AＤ,\s＼up6(→）)=b.若eq＼o(MN,\s\ｕp６(→))=ma＋ｎb,则ｅq\f(n,ｍ)=___＿_＿＿_.[答案]-4[解析]eq\o(MN,\ｓ\up６（→))＝ｅq＼o(ＭD,＼s\ｕp6(→))＋ｅq\ｏ(DA,\ｓ＼uｐ６(→))+eq\o(AN,＼s\up6(→))＝-eq\f(１,４)ａ-b＋eq\f(1,２)a＝eq\f(1，4)ａ-b，∴m＝eq\ｆ(1,４)，ｎ=－１，∴ｅq\f(n,m)＝-4．(理）(２０１4·南安一中质检)如图所示,在△ABC中，点M是ＡB的中点，且eq\o(ＡN,\ｓ\ｕp6(→))＝eｑ\ｆ(1,2)eq\o(ＮC,＼s\ｕp6(→))，ＢＮ与CM相交于点E，设eq\o（AB，\s\up6（→))＝a,eｑ\o（AC，＼ｓ\up6（→))=ｂ,用基底ａ、b表示向量eｑ\o(AE,\ｓ\up６(→）)＝__＿__＿_＿.[答案]ｅq＼f(2,５)a＋eｑ\f(1，5)b[分析］先利用三点共线进行转化,再通过用基底表示向量的唯一性进行求解.[解析]易得eｑ＼o(AN,\s\up６(→）)＝eq\f(1，3)ｅq\ｏ(AＣ,＼s\up6(→))＝eq＼f(1,３)b,ｅq＼o(AM,\ｓ＼uｐ６(→))=eq\f(1,2)eｑ\ｏ(AB，＼s\ｕp6(→)）=ｅｑ\f(1,2)a，由Ｎ、E、Ｂ三点共线知存在实数m，满足eｑ\o(AE,\s\up６（→))＝mｅq\o(AN，\s\up6(→)）+(１-m)ｅq\o（AB,\s＼ｕp6(→))＝eq\f(1,３)mb+（1－m)ａ.由Ｃ、E、M三点共线知存在实数n,满足eq＼o(AE,\s\ｕp6(→))=neｑ＼o(AM，＼s＼up6(→))+（１－n)ｅq\ｏ(AC,\s\up６(→))＝eq\f（1,２)na+(１-n)b.所以eq\f（1，3)ｍb＋(1－m)a＝eq\f(1,２)ｎa＋(１-ｎ)b.由于a、b为基底,所以eｑ＼b\lc\｛\rc＼(\a\ｖs４\al\ｃｏ1(1-m＝\f（1,２）n，,\f(1,３)m=1－n,）)解得eｑ\b\ｌc＼{\rｃ\（\a\vｓ4＼al＼co1(ｍ=\ｆ(3，5)，,n＝\f(４,５).)）所以ｅq\o(AE，＼s\ｕp6(→))＝eq＼f（2,5)a+eｑ\ｆ（１,５)b．三、解答题17.(201４·宁阳一中检测)如图所示,△ＡBC中，点M是BＣ的中点,点N在边AC上,且ＡN=２NＣ，ＡM与BＮ相交于点P，求ＡＰ∶PM的值．[解析］设eq\o（BM,＼s\up6（→）)＝e１，ｅq\ｏ(CＮ,\s\ｕp6(→))＝e2,则eq\o(AM，\s\up6（→))＝eq\o(AC,\s\up6(→））＋eｑ\o（ＣM，\s\uｐ6（→))=－3e2－e1,eｑ\ｏ(ＢN,\ｓ\ｕp6(→）)=2e1+e2，∵A、Ｐ、Ｍ和B、Ｐ、N分别共线,∴存在λ、μ∈R,使eq＼o(AP,＼ｓ\up6(→))=λeq\ｏ(AＭ，＼s\up６（→))=-λe1－3λe2,eq\o(BP,\ｓ\ｕp６(→))＝μeq\o(BN,\s\ｕp6（→))=2μe１＋μe2.故eq\o（BA，\ｓ＼ｕｐ６(→))＝eq\o(ＢP,\s＼ｕp6(→))－eq\o（ＡＰ,＼s\up6（→）)=(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，而eｑ\ｏ(BA,