立体几何题型与方法理科

（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点上，线在面内，推出点在面内），2（1）.空间直线位置关系三种：相交、平行、异面.相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面[注]：①两条异面直线在同一平面影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面斜线段

ab是夹在两平行平面间的线段，若abab（直线与直线所成角[0,90]）（向量与向量所成角[0,180（3）.l1l2是异面直线，则过l1l2PP且与l1l2都平行平面有一个或没有，但与l1l2点在同一平面内.（L1L2L1L2平行的平面（2）.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行线面平行”）[注]：①直线a与平面内一条直线平行，则a（×）（平面外一条直线②直线a与平面内一条直线相交，则a与平面（×）（平面外一条直线③若直线a与平面平行，则内必存在无数条直线与a（√）（不是任意一条直线，可利用平行的传⑥直线l与平面所成角相等，则.（×）（可能相交（3）.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行线线平行”）OaAOaAPA⊥aAO，得aPO（三垂线定理个平面.（“线线垂直线面垂直”）（1）.面平行面面平行”）行线线平行”）BθMBθMOOOA、OB分别垂直于l1,l2，PMOAPMOBPMOAPMOB综上，都取减则必有0

m2n2d22mncos（为锐角取减， 2（1）.a.coscos1cos2（1为最小角，如图

θ图图（1）.①直棱柱侧面积：SCh（C为底面周长，h是高）该是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的②斜棱住侧面积：SC1l（C1是斜棱柱直截面周长，l是斜棱柱的侧棱长）该是利用斜棱柱的侧面展开图

.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为,，则cos2cos2cos21推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为,，则cos2cos2cos22（2）.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以V棱柱Sh3V棱柱[注]：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）S1Ch（底面周长为C，斜高为h2③棱锥的侧面积与底面积的射影：S侧

S

（侧面与底面成的二面角为a a b附：以知clcosab，为二面角alb则S1al①，S1lb②，cosab③①②③得 S底

EFHGEFHGbabac简证：AB⊥CD，AC⊥BDBC⊥AD.令ABa,ADc,AC

b

a,

c

，已知acb0,bac acbc0则BCAD0简证：取AC中点O'，则ooAC,BOACAC平面OOBACBOFGH90°EFGH为平行四边 （3）. ：S4R2.②球的体 ：V4R33PPAB两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，AB点的经度.附：①圆柱体积：Vr2h（rh为高②圆锥体积：V1r2h（rh为高3③锥体体积：V1Sh（Sh为高3（1）.①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，h 6a，S3a2，S3a2，得 3R 6a 3a2R1 3a2RR 2a/ 3 2a 6a3R

13

R33

RS

h注：①若a与bb与c共线，则a与c共线.（×）[当b0②向量abc共面即它们所在直线共面.（×）③若ab，则存在小任一实数，使ab.（×）[与b0④若a为非零向量，则0a0.（√）[这里用到b(b0b.共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b0，ab的充要条件是存在实数（具有唯一性），使ab.c.共面向量：若向量a使之平行于平面a在a与的关系是平行，记作a∥.d.abPab共面的充要条件是存在实数对x、yPxayb②空间OPxOAyOBzOC(xyz1PABC（OP1yz)OAyOBzOCAPyABzACP、A、B、C四点共面）x、y、zpxaybzc推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、zOPxOAyOBzOCOBOABCDABbACcADdD中Q是△BCD的重心，则向量AQ1(abc)用AQAMMQ即证 3COA、B、C，满足OPxOAyOBzOC，P、A、B、C是共面xyz1C①令a=(a1,a2,a3bb1b2b3ab(a1b1,a2b2,a3b3)，a(a1,a2,a3)(R)，aba1b1a2b2a3b3a∥bab

,a

(R)a1a2a3 1

aba1b1a2b2a3b30aa

a2122a3a2122a3

ab ab

aba

a

cosa,b

|a

|b

a2a2a2a2a2b2b2b2 (x2x1)(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面a，如果a那么向量叫做平面①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n的法向量，ABA|ABnB

n|n

d

为l1l2ABarc

AB|AB||AB

m为平面④.利用法向量求二面角的平面角定理：设n1n2分别是二面角l中平面的法向量，则n1n2角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1n2n1n2反方，则为其夹角 二面角l的平面角arc

m|m||nm

或arc

m|m||m

（mn为平面的法向量证直线和平面平行定理：已知直线a平面ABa,CDC、D、Ea∥的ABCDCE.（ABCDCE存在即证毕，若▲▲CD ▲BnAC AB,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP1OA2OB2OC PAB,CPAB,CxyAPxAByAC或对空间任一点O，有OPOAxAByAC。答案5OPOA2OB2OC∴(OPOA)2(OBOP)2(OCOP)AP2PB2PCPA2PB2PC，PA,B,C共面．ABCDADEFMNBDAEBM1BDAN1AEMN平面CDE MN平面CDENM可以用平面CDE内的两个不共线的向量DE和DC线性表示．答案:MBDBM1BD3MB1DB1DA1ABAN1AD1DE CDBAABMNMBBADA1AB)DA1AB)BA(1AD1

BA1BA1

CD1CD1

．又CDDEMNCDDE共面．由于MN不在平面CDE内，所以MN平面CDE如图,ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4DAB的中点，（I）AC⊥BCBC1ABCBCCB1C1BEDEDAB的中点，EBC1zCBAEC xADE//AC1DECDB1，ACzCBAEC xAAC1//32

（3,00B1（0－4,0∴

面面平 线面平 线线平行MPC的中点。PAD内找一点NMNPCPBD答案：（1）MPCPDE 1CD2

12ABMEBMEABM平面EA平面BM∥平面 （4分

PADN0yz，MN1y1z1，PB1,0,2，DB

由MN

zMNPB12z22

yMN

MNDB12y22N0,1

1NAE的中点，此时MN平面

（8分PCPBD所成的角为

1

PC2,2,2，MN

2

PCMN为cos

PC

PC

3 32

sincos 3

PCPBD232

（12分MPCPDE 1CD2

12ABMEEA平面PADBM平面

（4分AB平面 同理CD平面PAD，AE平面AB ABME为矩 CD∥ME，CDPD，又PDME

平面PBD平面 作MFEB故MF平面223MFAENABMEABME1AE223MF

，NE

NAENAEMN平面

（8分由（2）MFMPBDMPFPCPBD所成的角，设为sinMF PCPBD所成的角的正弦值为3逆定理；③垂面法另外也可借助空间向量求这三种角的大小.（省市2007届高中毕业班第三次诊断性检测）PABCDPDC2的正三角形，且与底面ABCD是ADC60MPB的中点PAABCDPA平面CDMDMCB移 答案：(I)DCOΔPDCPO⊥DC．PDCABCD，∴POABCDO．OAOAPA在底面上的射影．∴∠PAOPA3 3∴∠PAO=45°．∴PA与底面ABCD可成角的大小为 ……6A(3,00),P(00,3),D(010),B(320),C(010MPBM

3,1,3) ∴DM

3,2,3),PA(3,0,

∴PADM

33203

3)0 PADC

320

3)0 ……4(IIICM30,3),CB(310BMC的法向量nx,y,z) nCM0x+z=0；

nCB0，从而3xy0由①、②，取x=−1，则y3,z1 ∴可取n(1,3,1)由(II)CDMPA(303)∴cos

10．∴所求二面角的余弦值为－10．……6n,PAn,PA|n||PAnPA25APNMN，由（Ⅰ）ABCD中，由于ADC60，AOCDPOCD，则CD平面APO，即CDPA，又在PABMN

12

，CO//2

ABMN//CO则四边形OCMN为，所以MC//ON，在APO中，AOPO，则ONAP，故APMC而MC CDC，PA平面PA2由（Ⅱ）MC平面PAB，则NMBDMCPA2RtPABPA

6,PB

10，cosPBAAB 10622622cosNMBcos(PBA)

10故，所求二面角的余弦值为 （2007河北省市三模）如图，在长ABCDA1B1C1D1ADAA11AB2,点E段AB上D1ECD45，求BD1EC的距离.AD1D1ED1EA1D所成的角为90。DFCEFD1F，则CED1F所以DFD1D1ECDDFD1452DFDD11D1F23易得RtBCERtCDF，所以CECD2，又BC1，所以BE 设点B到平面D1EC的距离为h.3 11CEDFh11BEBCDD 3 3 36∴CED1FhBEBCDD1，即22h ，∴h4366BD1EC的距离为4∵DA1D1E1010∴DA1D1EA1D所成的角为90（Ⅱ）m00,1DEC的法向量，设nxyz为面CED1x2y2n(x,y,z)|cosm,n||mn| |z x2y2|m||n ∴z2x2y2 由C(020D1C021nD1C，即nD1C∴2yz 由①、②，可取n3,1又CB100)BD1ECCBn| CBn| 264点内容,本题实质上求角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量归结于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起（20074月济南市）2ABFC2ADEF2互相垂直且 ，ED//AF且∠DAF=90°2BDBEFEFPP、A、CDBEPPF的比值；若不.先假设存在，再去推理，下结论：答案：（1）AC、AD、AB两两垂直，建立如图坐标系，B（2，0，0），D（0，0，2），BEF的法向量n(xyz),则22 22。即BD和面BEF所成的角的余 （2）EFPP、A、CDBEPPFm点坐标为(12m12m

21 1

1AP(12m12m

2),，向量CP(12m

21

1

1

1

1

1所以212m012m 0,所以m11

1

1 文)VABC中，VC⊥底面ABC，ACBC，DABACBCa∠VDC0π 2 Ｖ求证：平面VAB⊥平面VCDＶ试确定角BC与平面VABπ6 答案:解法1：（Ⅰ）∵ACBCa，∴△ACB是等腰三角形，又D是AB的中点， ∴CDAB，又VC底面ABC．∴VCAB．于是AB平面VCD AB平面VAB，∴平面VAB平面VCD（Ⅱ）过点C在平面VCD内作CHVDH，则由（Ⅰ）知CD平面VAB．BH，于是CBHBC与平面VAB所成的角．依题意CBHπ6Rt△CHDCH

2asin2Rt△BHCCHasinπa ∴sin 22∵0π，∴π 故当πBC与平面VABπ 解法2：（Ⅰ）以CA，CB，CVxyzC(0，A(0，B(，0，D

2，atan2， V a

2 2CD2CD于是，VD， atan

02

2 2 AVD 同 2 即ABVD．又CD VDD，∴AB平面VCD．又AB平面VAB．∴平面VAB平面VCD（Ⅱ）设平面VAB的一个法向量为n(x，y，z)， ，VD xaxay得axay 2aztan ，2于是sinπ6

sin222即sin

2∵0π，∴=π 故交πBC与平面VABπ

22022

0 0，V ，atan

DV

2

atan，DC

0(，20) 0 ，20)

atan0ABDV又 DVD，∴AB平面VCDAB平面VAB，∴平面VAB平面VCD设平面VAB的一个法向量为nx，y，z2ay

ax

aztan

2

20 2a2π2 π2于是 6

sin2即sinπ0π，∴π．故角π πBC与平面VAB所成角为．69．（2006年辽宁高考）已知正方形ABCD E、F分别是AB、CD的中点,将ADE沿DE折起,如图所示,记二面角ADEC的大小为(0)BFADE若ACD为正三角形试判断点A在平面BCDE内的射影GEF上,证明你的结论,并求角的余弦值解(I)证明:EFABCDAB、CD的中点AEB//FD, GE DEF平面AED,而BF平面AED,BF平面(II)如右图,A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG垂直于平面BCDE,G,ACD为正三角形GCD的垂直平分线上,ABCDEGEF上过GGH垂直于ED于H,连结AH,AHDE,所以AHD为二面角A-DE-C的平面角即AHG设原正方体的边长为2a,连结AF,在折后图的AEF中 3a,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形AGEFAEAFAG

3a在RtADE中,AHDEAEADAH 25225GH

a,cosGH2 2∴AB⊥∴ME⊥a2(2a2(2a2

EFEMa

a2a2 a2(2aa22

＝

2-122a

2222

-22 方法总结高考预190º；2123123190º23

d

|n

123

d

|n12[0,]12的角α，或 12cosS射影（S○S原π－α）；3一句话，“∠αAB或 2、3.从命题形式来看，涉及立体几何内容题形式最为多变.除保留传统的“四选一”的选择题型外，还尝试，，（一）选择题

（（Ａ）１个（Ｂ）２个（Ｃ）３个（Ｄ）４2．P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是5，则P到A点的距离是 （）

，133 3ABCABα内，直角顶点Cα外，CαC1C1ABC1AB（ A.1个平 B.4个平 D.无法确是1，那么这个球的半径是( 633 3333

D．4 命题①空间直线a，b，c，若a∥b，b∥c则 ②非零向量abc，若a∥b，b∥c则a∥α、β、γα⊥β，β⊥γα∥γ④空间直线a、b、ca⊥b，b⊥c⑤直线a、b与平面β，若a⊥β，c⊥β，则 A（ C、（0， D（， 2 266

332332 1—12

【答案】DPAB，AC都平行的平面，则它符合要求；设边AB，BC，CA1111【答案】C解析：∵CA2+CB2<CA2+CB2＝AB,ACBCAB1111【答案】C.α，若第四个点也在α内，四个点确定一个平面，当第四个点在α34个平面.C.【答案】Br，则r＝3：3

，又同理，ΔBOC、ΔCOAΔABCR，rΔABC333

333333

3314

8

×4π·125π4∴{an}n4，5，6，…，a44∴an=2n－4，A2006＝4008【答案】A．解析：法一：正三棱锥P–ABC，O为底面中心，不妨将底面正△ABC固定，顶点P运动，PO→+∞时，∠AHC→∠ABC3

故<∠AHC<π，选 H3HAB=2，PCxxOC233x21等腰△PBC中，S△PBC=1x·CH=1x21 12121x等腰△AHC中，sinAHC2

1sin

2 22【答案】B．解析：由已知得底面对角线的一半为 ，所以底面边长的一半等于2，由勾股定得斜高2(2(22)28（１）由正方体的八个顶点可以组成c35684（３）12个平面中每个四边形中共面的三角形有c244 （４）从56个三角形中任取两个三角形共面的概率p 4 c c（５）从56个三角形中任取两个三角形不共面的概率，利用对 ，得P1

367（二）填空题在三棱锥P—ABC中，底面是边长为2cm的正三角形，PA＝PB＝3cm，转动点P时，三棱锥的最大体积为

14．P为ABC所在平面外一点，PA、PB、PC与平面ABCPABC垂直，那么ABC的形状可以是。①正三角形②等腰三角形③非等腰三表面积 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1AM=1，点M在A上， ，点P在平面AM=3上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M点P的轨迹方程是 13—162

DDPCy 。3cm3解析:P到面ABCPAB212高 cm．V=

344

由题意可知ABCBC边的高线上，故一定有AB=AC选（1）（2）（4）3 .113正六边形，其表积为4

3464

3 343y22x1。解析：PPQ⊥ADQQQH⊥A1D1HPH PH⊥A1D1.P（x，y），∵|PH|2|PH|21，∴x2+1(x1)2+y2=1y22x1 （三）解答题已 ABCD，从平面AC外一点O引向OEkOA,OFKOB,OGkOC,OHkODEF,GHACEG解：（1）ABCDACABAD∵EGOGOEkOCkOAk(OCOA)kACk(ABEFk(OBOAODOA)OFOEOHEFEF,GH（2）∵EFOFOEk(OBOAkABEGkAC∴EF//AB,EG//ACEGDBDBD如图，PABCD是正四棱锥,ABCDA1B1C1D1是正方体，其中6AB2,PA 6C 解：(Ⅰ)连结AC,交BD于点O,连结PO,则PO⊥面ABCD,又 AC

,∴PABD,∵BD//BD,∴PABD

191 1（Ⅱ）∵AO⊥BD,AO⊥PO,∴AO⊥面PBD,过点O作OM⊥PD于点M，连结AM,则AM⊥PD 6就是二面角A-PD-O的平面角,又∵AB2,PA ,6

26262623OMPOOD ,∴tan2623

AO 2 6即二面角的大小为 62

3 1h

1AO

h65 BPAD6

3

P-ABCD中，底面ABCDPA垂直于底面，E、F分别是AB、PCEFPCDABCD成多大二面角时，EFPCD？证：（1）CDG，连结EG、∵E、F分别是AB、PCEF//（2）PCD与平面ABCD45角时，直线EF证明：∵GCDEGCD，∵PAABCD∴ADPDABCD内的射影。∵所成二面角的平面角，即EGF=45，从而得ADP=45AD=AP.RtPAERtCBEPE=CE.FPC的EFPCD．ABCDE中，ABACD，DEACD，ACADCDDE2a，ABa，FCD的中点ACDBCE所成二面角的大小.解：（Ⅰ）∵DEACD，AFACD又∵AC=AD=C，FCD DE平面AB平面ACDDEAD2DM4a2a2AM//BEAD2DM4a2a24a24a2a2

CD2CD2DM

(2a)(2a)2(5a)2(22a55∴异面直线AC、AE所成的角的余弦值 5512

DEAGDFCDCG//AFBDPCD12

2

又∵ACPMD，ME∴AC//PMD1，PBABCD，CDABCD，∴CD⊥PB。又∵CD⊥BCCDPBC。∵CDPCD，∴平面PBCPCD。BBF⊥PCFBFPDC，连DF，DFBDPCD上的射影。∴∠BDFBDPDC不妨设AB=2，则在Rt△BFD中，BF1BD， BDPCD6A作AN⊥DGNMN∵PBABCD，∴∠MNAPMD与平面ABCD所成在Rt△MAN中，tanMNAMA 2 222PMDABCD所成的二面角（锐角222

ACBC2A1ABCACD解：（I）A1DABC，BCACBCAA1C1CBCAC1BA1AA1AC2DAC中点，知A1AC60AA1FAA1BCFA1ABBCF，过C作CHBFH，则CHA1AB，RtBCFBC2,CF

3，故CH2217即CCAAB的距离为CH221 HHGA1B于G，连CG，则CGA1B从而CGHAA1BC2在RtA1BC中，A1CBC2，所以CG 2在RtCGH中，sinCGHCH 42 故二面角AA1BC的大小为 2：（I）ABEDEBCBCAC，DEACA1DABC，BA1AC1AC1A1BC；3由ACBA3t20，得t 3 ,

3z

z1n

3,

nAB2x2y

2n7

3z z1m0,3,1 m,nmm,nm故cos

7 777AA1BC的大小为arccos77（四）创新试题ABC—A1B1C1中，DBCB—AB1—DcAB1D的距离.A1BA1B∩AB1E∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，且AA1∴四边形A1ABB1∴EA1B的中点，DBCABCDF⊥ABF，在面A1ABB1FG⊥AB1G，连接A1ABB1ABC，∴DF∴FGDGA1ABB1上的射影，∵FG⊥AB1∴∠FGDB—AB1—D3设A1A=AB=1，在正△ABC中 4在△ABEFG3BE32 在Rt△DFG中，tanFGDDF 6 B—AB1—D的大小为arctan63B1BCC1AB