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第五章二次型一、二次型及其标准形的概念二、二次型的表示方法三、二次型的矩阵及秩四、化二次型为标准形五、惯性定理六、正(负)定二次型的概念七、正(负)定二次型的判别1一、二次型及其标准形的概念称为二次型.2只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．例如为二次型的标准形.只含有平方项的且形如以下二次型称为二次型的规范形31．用和号表示对二次型二、二次型的表示方法42．用矩阵表示56三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．7解例１8四、化二次型为标准形2.正交线性替换法1.配方法Ｐ２０６例２3.初等变换法9设四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．1011说明1213用正交变换化二次型为标准形的具体步骤14解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例215从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组164．将正交向量组单位化，得正交矩阵17于是所求正交变换为18解例31920212223二、小结

将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩．24五、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．只含有平方项的且形如以下二次型称为二次型的规范形正惯性指数:规范型中正项个数.负惯性指数:规范型中负项个数25六、正(负)定二次型的判概念1.正定二次型与正定矩阵P2152.负定二次型与负定矩阵P22026七、正(负)定二次型的判别27正定矩阵具有以下一些简单性质28例1

判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.29例2

判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知是正定矩阵，30例3

判别二次型的正定性.解312.

正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.四、小结

1.正定二次型的概念，正定二次型与正定

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