静电场的唯一性定理

静电场的唯一性定理第1页，共17页，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大学物理学院王稼军编写唯一性定理对于静电场，给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒定电场分布？——回答：否！边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定下来该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题的正确解释至关重要理论证明在电动力学中给出，p59给出普物方式的论证论证分三步：引理——叠加原理——证明第2页，共17页，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大学物理学院王稼军编写几个引理引理一：在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值证明（反证）若有极大，则极大极小若有极小，同样证明第3页，共17页，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大学物理学院王稼军编写引理二：若所有导体的电势为0，则导体以外空间的电势处处为0即意味着空间电势有极大值，违背引理一证明（反证）在无电荷空间里电势分布连续变化，若空间有电势大于0（或小于0）的点，而边界上电势又处处等于零——必出现极大值或极小值——矛盾推广：若完全由导体所包围的空间里各导体的电势都相等（设为U0），则空间电势等于常量U0第4页，共17页，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大学物理学院王稼军编写引理三：若所有导体都不带电，则各导体的电势都相等证明（反证）若不相等，必有一个最高，如图设U1>U2、U3，——导体1是电场线的起点——其表面只有正电荷——导体1上的总电量不为0——与前提矛盾引理二(＋)引理三可推论：所有导体都不带电的情况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常量第5页，共17页，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大学物理学院王稼军编写叠加原理在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予两组边界条件：1：给定每个导体的电势UⅠk（或总电量QⅠk）2：给定每个导体的电势UⅡk（或总电量QⅡk)设UⅠ、UⅡ满足上述两条件，则它们的线性组合

U=a

UⅠ+bUⅡ必满足条件3:3：给定每个导体的电势Uk=a

UⅠk+bUⅡk（或总电量Qk=QⅠk

a

k+bQⅡk）特例：取UⅠk＝UⅡk，则U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)满足4：给定每个导体的电势为0

第6页，共17页，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大学物理学院王稼军编写唯一性定理给定每个导体电势的情形设对应同一组边值有两种恒定的电势分布相当于所有导体上电势为0时的恒定电势分布说明场分布是唯一的第7页，共17页，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大学物理学院王稼军编写与电势参考点有关，不影响电势梯度给定每个导体上总电量的情形

第k个导体上的电量电量与场强、电势的关系设对应同一组边值有两种恒定电势分布说明场分布是唯一的第8页，共17页，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大学物理学院王稼军编写解释静电屏蔽唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不违背导体平衡特性，又是物理实在，则这种电荷分布就是唯一可能的分布。

图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实在的电荷分布的迭加就是唯一的分布

第9页，共17页，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大学物理学院王稼军编写电像法——解静电问题的一种特殊方法在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷q求空间的电场分布和导体表面上的电荷分布基本思想：利用唯一性定理，边界条件确定了，解是唯一的，可以寻找合理的试探解像电荷第10页，共17页，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大学物理学院王稼军编写解：任一P点的电势导体上电荷的面密度第11页，共17页，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大学物理学院王稼军编写真空中有一半径为R的接地导体球，距球心为a(a>R)处有一点电荷Q,求空间各点电势寻找像电荷对称性分析，确定像电荷位置使球面上电势＝0任取P点，利用叠加原理求出像电荷位置对所有都成立，即要求与无关，要求三角形相似第12页，共17页，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大学物理学院王稼军编写求p点电势讨论：由Gaoss定理收敛于球面上的电通量为－Q’，Q’=球面上的总感应电荷，它受电荷Q产生的电场吸引从接地处传至导体球上，|Q’|<Q,Q发出的电力线只有一部分收敛于导体球，剩下的伸展至无穷第13页，共17页，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大学物理学院王稼军编写电偶极层设想一厚度均匀的曲面薄壳，两面带有符号相反的面电荷

——电偶极层，如图，求P点的电势和场强第14页，共17页，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大学物理学院王稼军编写面元dS在垂直于矢径r方向的投影定义电偶极层强度：——单位面积上的电偶极矩

第15页，共17页，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大学物理学院王稼军编写P点的电场强度

电偶极层的电势和场强只与对场点所张的立体角有关几何上决定，电偶极层两侧立体角有的跃变负电荷一侧：

曲面S对场点P所张的立体角正电荷一侧：第16页，共17页，202