2023年九年级数学中考专题复习《圆中的定值问题》解答题专题训练

2022-2023学年九年级数学中考复习《圆中的定值问题》解答题专题训练(附答案)

1.如图AABC.

(1)用尺规作出AABC的外接圆(不写作法，但要保留作图痕迹).

(2)如果NC=30°,AB=AC=3.直接写出△ABC外接圆的半径=.

2.如图，在以AB为直径的半圆中，将弧BC沿弦BC折叠交AB于点D,若AD=5,DB

=7.

(1)求BC的长；

(2)求圆心到BC的距离.

3.如图，四边形ABCD是。。的内接四边形，BD是直径，AB=AD,过点A作AE^BC于

点E,AF_LCD于点F.

(1)求证：BE=DF;

(2)若BC=3,DC=5,求AC的长.

4.如图，在半径为3cm的中，A、B、C三点在圆上，点P从点B开始以图m/s的速

度在劣弧BC上运动，且运动时间为t(单位：s),若NBOA=90°,ZAOC=120°,z

BOP=n°.

(1)NBOC=°,劣弧BPC的长为,劣弧BP的长为(用含t

的代数式表示)；

(2)n与t之间的函数关系式为,t的取值范围为；

(3)是探究当点P运动多少s时，以P,B,A三点为顶点的三角形是等腰三角形，并

说明其理由.

5.如图，在平面直角坐标系中，圆心P(x,y)的动圆经过点A(m,2m+4)(m>-2),

为

且与x轴相切于点B,y与x之间存在一种确定的函数关系，其图象是一条常见的曲线,

②当m=-1,x=-2时，直建写出OP的半径.

(2)求曲线F最低点的坐标(用含有m的式子表示);

⑶如图2,若曲线F最低点总在直线y=x+3的下方，点C(-2,yi),D(1,y2)

都在曲线F上，试比较yi与y2的大小.

6.问题提出

(1)如图1.B^zACB=zADB=90°,请用尺规作图作出△ABD的外接圆(保留作

图痕迹，不写作法)；点C是否在《ABD的外接圆上(填"是"或"否").

问题探究

(2)如图2.四边形ADBC是。。的内接四边形，zACB=zADB=90°,AD=BD.求

证：CA+CB=V2|CD;

(3)如图3.点P是正方形ABCD对角线AC的中点，点E是平面上一点，EB=AB且

EA科BA.点Q是线段AE的中点,请在图中画出点E,并求线段PQ与AB之间的数

量关系.

7.如图RbABC中，NABC=90°,P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作交BC

于点D,与AC的另一个交点E,连接DE.

(1)当必承，

①若丽=130°,求NC的度数;

②求证AB=AP;

(2)当AB=15,BC=20时

①是否存在点P,使得ABDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；

②以D为端点过P作射线DH，作点O关于DE的对称点Q恰好落在NCPH内，则CP

的取值范围为.(直接写出结果)

8.问题提出

(1)如图1,在RfABC中，zACB=90°,AC>BC,zACB的平分线交AB于点D.过

点D分别作DE±AC,DF±BC.垂足分别为E,F,则图1中与线段CE相等的线段

是•

问题探究

⑵如图2,AB是半圆。的直径，AB=8.P是斑一点，且属F2血连接AP,BP.z

APB的平分线交AB于点C,过点C分别作CEJ_AP,CF±BP,垂足分别为E,F,槌

段CF的长.

问题解决

⑶如图3,是某公园内"少儿活动中心”的设计示意图.已知O0的直径AB=70m,

点C在上，且CA=CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交。0于点D.连接AD,

BD.过点P分别作PE±AD,PF±BD,垂足分别为E,F.按设计要求，四边形PEDF

内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x(m),

阴影部分的面积为y(m2).

①求y与x之间的函数关系式；

劭安照"少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理.试

求当AP=30m时.室内活动区(四边形PEDF)的面积.

9.定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做"准平行四边形".例如：凸四边形ABCD

中，若NA=NC,NBHND,则称四边形ABCD为准平行四边形.

Q)如图①，A,P,B,C是上的四个点，NAPC=NCPB=60°,延长BP到Q,

使AQ=AP.求证：四边形AQBC是准平行四边形；

(2)如图②，准平行四边形ABCD内接于。0.ABXAD,BC=DC,若。。的半径为5,

AB=6,求AC的长；>

(3)如图③，在RfABC中，zC=90°,zA=30°,BC=2,若四边形ABCD是准

平行四边形，且NBCD*NBAD,请直接写出BD长的最大值.

10.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点P磔段AD上，由点D向点A运动，当

点P与点A重合时，停止运动.以点P为圆心，PD为半径作。P,OP与AD交于点M

点Q在OP上且在矩形ABCD外，NQPD=120°

Q)当PD=2时PC=扇形QPD的面积=点C到OP的最短距

一

而一/•

(2)OP与AC相切时求PC的长？

⑶如图G)P与AC交于点E、F当EF=6.4时，求PD的长？

(4)请从下面两问中，任选一道进行作答.

①当OP与AABC有两个公共点时，直接写出PD的取值范围；

②直接写出点Q的运动路径长以及BQ的最短距离.

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,4),点B是x轴正半轴上一点，连接

AB,过点A作AC±AB,交x轴于点C,点D是点C关于点A的对称点，连接BD,以

AD为直径作。Q交BD于点E,连接并延长AE交x轴于点F,连接DF.

(1)求线段AE的长；

(2)若AB-B0=2,求tanzAFC的值；

(3)若ADEF与"EB相似，求EF的值.

12.已知四边形ABCD为。0的内接四边形，直径AC与对角线BD相交于点E,作CH

BD于H,CH与过A点的直线相交于点F,zFAD=zABD.

⑴求证：AF为。。的切线；

(2)若BD平分NABC,求证：DA=DC;

(3)在(2)的条件下，N为AF的中点，连接EN,若NAED+NAEN=135°,的

半径为逛求EN的长.

13.发现问题：⑴如图1,AB为OO的直径，请在上求作一点P,使NABP=45°.(不

必写作法)

问题探究：(2)如图2,等腰直角三角形△ABC中，NA=90°,AB=AC=3'月1D是

AB上一点，AD=返，在BC边上是否存在点P,使NAPD=45°?若存在，求出BP

的长度，若不存在，请说明理由.

问题解决：⑶如图3,为矩形足球场的示意图，其中宽AB=66米、球门EF=8米，且

EB=FA.点P、Q分别为BC、AD上的点，BP=7米，NBPQ=135°,一位左前锋球员

从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ上的何处才能使射门角度(NEMF)最大？

求出此时PM的长度.

14.如图1,。。的弦BC=6,A为BC所对优弧上T点且sinzBAC图,SBC的外角

平分线AP交于点P,直线AP与直线BC交于点E.

(1)求证：点P为历命中点;

(2)如图2,求。。的半径和PC的长；

(3)若AABC不是锐角三角形，求PA«AE的最大值.

V*

15.定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三

角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边.

(1)如图1,AABC中，AB=CB,NA=30。，点。在AC边上，以OC为半径的。O

恰好经过点B,求证：OO是△ABC的切圆.

⑵如图2,AABC中，AB=AC=5,BC=6,。。是△ABC的切圆，且另外两条边都

是OO的切边，求00的半径.

(3)如图3,&ABC中，以AB为直径的。0恰好是SBC的切圆，AC是00的切边，

与BC交于点F,取弧BF的中点D,连接AD交BC于点E,过点E作EH±AB于

点H,若CF=8,BF=10,求AC和EH的长.

16.如图1,已知。。的内接四边形ABCD,ABllCD,BCllAD,AB=6,BC=8.

(1)求证：四边形ABCD为矩形.

(2)如图2,E是鼻一点，连接CE交AD于点F,连接AC.

①当点D曷画中点时，求线段DF的长度.

②当16S.DCF=3S四边形ABCD时，试证明点E为&工卜中点.

(3)如图3,点E是上一点(点E不与A、C重合)，连接EA、EC、0E,点I是

△AEC的内心,点M在线段0E上，且ME=2M0,则线段MI的最小值为.

17.问题探究

⑴如图1,C,D是NAOB的边0A上两点，直线0B与相切于点P,点P1是直线

0B上异于点P的任意一点，请在图1中画出NCP1D,试判断NCPD与NCPID的大小

关系，并证明；

(2)如图2,已知矩形ABCD中，点M在边BC上，点E在边AB上，AB=8,AE=6,

当NAME最大时，请求出此时BM的长；

问题解决

(3)如图3,四边形ABCD是某车间的平面示意图，AB=41%,AD=3百米，NA

=ND=60°,NBCD=90°,工作人员想在线段AD上选一点M安装监控装置，用来

监视边BC,现只要使得NBMC最大，就可以让监控装置的效果达到最佳.问在线段AD

上是否存在点M,使NBMC最大？若存在，请求出DM的长；若不存在，请说明理由.

18.已知。0的直径AB为10,D为。。上一动点(不与A、B重合)，连接AD、BD.

⑴如图1,若AD=8,求BD的值；

(2)如图2,弦DC平分NADB,过点A作AE±CD于点E,连接BE.

①当ABDE为直角三角形时，求BE的值；

②在点D的运动过程中，BE的值是否存在最小值？若存在，请直接写出BE的最小值;

若不存在，请说明理由.

19.【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：

如图①，点。为坐标原点，。0的半径为1,点人(2,0).动点B在。。上，连接AB,

作等边三角形ABC(A,B,C为顺时针顺序)，求OC的最大值.

【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB,以

OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE,连接AE.

(1)请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；

(2)请直接写出线段OC的最大值.

【迁移拓展】

(3)如图②，反=4也点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD

为边作等边三角形ABD,请直接写出AC的最大值和最小值.

20.如图，在平面直角坐标系中，A(0,8),B(6,8),P为线段OA上f点，过O,P,

B三点的圆交x轴正半轴于点C,连结AB,PC,BC,设OP=m.

(1)求证：当P与A重合时，四边形POCB是矩形.

(2)连结PB,求tan/BPC的值.

(3)记该圆的圆心为M,连结OM,BM,当四边形POMB中有一组对边平行时,求所

有满足条件的m的值.

(4)作点。关于PC的对称点，在点P的整个运动过程中，当点O'落在AAPB的

内部(含边界)时，请写出m的取值范围.

参考答案

1.解：（1）如图，。。即为所求.

（2）连接QA，0C.

*：AC=ABf

：.ZACB=ZB=30°,

・・・N40C=2/8=60°,

9

：0A=0Cf

•••△AOC是等边三角形，

.\OA=AC=3f

故答案为3.

2.解：（1）连接CA、CD；

根据折叠的性质，得：施=施§;

/.ZCAB=ZCBD+ZBCD；

•：ZCDA=ZCBD+ZBCD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），

：.ZCAD=ZCDA,即△CAD是等腰三角形；

过C作CELABTE,则AE=DE=2.5；

:.BE=BD+DE=95；

在RtZXACB中，CELAB,根据射影定理，得：

BC2=BE-AB=9.5X12=114；

故gc=h/Ti4-

（2）设圆心到BC的距离为h,圆的半径为r—6,

由（1）知，RtAECfi中，BE=9.5,BC=

二比新（；2型2=314-9・52=^j，

...0hCt

.•图

3.(1)证明：•・,班)是直径，

:.NBAD=/BCD=90°,

,.♦AE_LBC于点E,AhLC。于点F,

AZE=ZAFC=ZAFD=90°,

・・・四边形AEC尸是矩形，

：.ZEAF=90Q,

：.ZEAB=ZFAD,

9

：AB=ADf

：.AAEB^/^AFD(A4S),

:.BE=DF；

(2)解：'：BC=3,DC=5f

BD寸BC2<1D2|432+52卜迤J

.\AB=AD=容。也互

*/AAEB^AAFZ),

：.AE=AF,

AAE=4,

VZACB=ZADB=45°,

：.AC=4^E=^J2,

4.解：(1)・・・NBQA=90°,ZAOC=120Q,

・・・NBOC=3600-ZBOA-ZAOC=180°-90°120°=150°.

.••劣弧BPC的长沏像手井

:点P从点B开始l|ZLcm/s的速度在劣弧8c上运动，

二劣弧BP的长为：gf.

故答案是：150；

(2)'：ZBOP=n°,巴=匿1只整理得出：n=l2t,

叵I180

当n=150°时，150°=12z,t=l2.5,故0WW12.5.

故答案是：”=12f；0WrW12.5；

(3)在△ABP中，以A8为腰时(如图1),

■:/BPA=ZBAP=45°,

；.ZBOP=45°+45°=90°,

故"=90=123解得：t=1.5（秒），

以AB为底边时（如图2）,

；NBP4卷NBQA=45°,

:./BAP=675°,

：.NBOP=2X67.5°,

故135=12〃

解得：/=11.25（秒）.

综合上述：当点尸运动时间为7.5,11.25秒，△ABP为等腰三角形.

②如图1,连接PA,

贝ijPA=PB,

'：m=-1,

/.A（-1,2）,

又*.*P(x,y),

/.(-1-x)2+(2-y)2=y2,

整理，得

当x=-2时，y=^\f

3

，OP的半径唱：

(2)•:P(x,y),A(机，2m+4),且PB=PA,

•\y2=(〃7-x)2+(2m+4-y)2,

整理，得y=»(x-m)2+团+2,

二

・・・曲线F为抛物线,

9：m>-2,

>0,

，抛物线y（x-tn）2+加+2的开口向上,

，曲线/最低点的坐标即顶点坐标为（m,相+2）；

（3）由（2）知，曲线尸最低点的坐标为（加，〃?+2）,对称轴为直线x=m,

且曲线厂最低点总在直线y=」x+3的下方,

2.

z+3,

解得，/n＜2,

又-2,

/.-2<m<2,

•点C（-2,y,）,D（1,嵬）都在曲线尸上,

则当对轴称为巾=卫2

--时，点C与点。关于抛物线的对称轴对称，则yi=y2；

2

当对称轴-2<m<时，由二次函数的图象及性质可知，点C离对称轴更近，则X

2

〈九；

当对称轴-2＜小＜2时,由二次函数的图象及性质可知，点。离对称轴更近，则川＞九.

2

(1)作AB的垂直平分线交AB于点O,以。为圆心，A。长为半径作圆，即为△A3。

的外接圆，

VZACB=ZADB=90°,

...点A,点8,点。，点C四点共圆，

.•.点C在△AB。的外接圆上，

故答案为：是；<?

问题探究

(2)如图2,将△BCO绕点D,逆时针旋转90°到△AEO处,

/.NEAD=ZDBC,

•••四边形4。8c是圆内接四边形,

/.ZDBC+Z£)AC=180°,

：.ZEAD+ZDAC^\S0°,

:.E、A、C三点共线，

，NCAE为平角,

由旋转知，AE=8C,DE=CD,NC£）E=90°,

...△CCE是等腰直角三角形,

：.CE=返CD,

VCE=AE+AC=BC+AC,

CA+CB^JQ^D；

；以点8为圆心，AB长为半径作圆，以点A为圆心，/AB长为半径作圆，两圆的交点

为E,

.•.点A的左右各有个点E,

设AB=3x,则AE=x,

若点E在点A的左侧，

"；BE=AB,点Q是AE的中点，。

：.BQLAE,AQ=EQ=^

:四边形ABCD是正方形，点尸是对角线AC的中点,

：.AP=BP,APA,BP,

由（2）的结论可得：AQ+BQ=|&PQ,

•••西0=圾'Lx

...22=田叵丝「

4

•Pn-V70-»V2

••改―----欣----AB'

若点E在点力的右侧,

同理可求：PQ=”二心AB.

12

7.(1)①解：连接BE,如图1所示:

•.BP是直径,

.-.zBEC=90°,

••-BD=130°,

，宛=50。，

-DP=EP,

.•.DE=100。，

/.zCBE=50°z

/.zC=40°;

②证明：DP=EP/

/.zCBP=/EBP,

•.zABE+zA=90°,zC+zA=90°f

.・./C=NABE,/ZAPB=ZCBP+ZC,zABPzEBP+zABE,

.,.zAPB=/ABP,

/.AP=AB;

(2)解:①由AB=15,BC=20,

由勾股定理得：2222

AC=|\/AB+BC=715+20=25,

*AC・BE,o

艮用X15x20专x25xBE

/.BE=12,

国妾DP,如图1-1所示：

.BP是直径,

/PDB=90。，

zABC=90°z

PDllAB,

ADCP-△BCA,

CP_CD

AC・CD

.-.CP=25CD=5p

BC20~4

△BDE是等腰三角形，分三种情况：

当BD=BE时，BD=BE=12,

；.CD=BC-BD=20-12=8,

R.CP=£CD=.8=10；

44

当BD=ED时，可知点D是RtACBE斜边的中线,

；.CD=即=10,

当DE=BE时，作EH_LBC,则H是BD中点,EH〃AB,如图1-2所示:

AE=|VAB2-BE2P|^152-122=9，

・・・CE=AC-AE=25-9=16,CH=BC-BH=20-BH,

・.,EH〃AB,

；・CD=BC-BD=20

ACP=士CD=助阻=7；

33[T

综上所述，ABDE是等腰三角形，符合条件的CP的长为10或图7；

②当点Q落在NCPH的边PH上时，CP最小，如图2所示:

连接OD、OQ、OE、QE、BE,

由对称的性质得：DE垂直平分0Q,

0D=QD,0E=QE,

VOD=0E,

0D=0E=QD=QE,

四边形ODQE是菱形,

PQ〃0E,

VPB为直径,

/.ZPDB=90°,

/.PD±BCz

•/zABC=90°z

・•.ABJLBC,

/.PDllAB,

.,.OEllAB,

/OB=OPz

.-.OE为AABP中位线,

/.PE=AE=9,

.PC=AC-PE-AE=25-9-9=7;

当点Q落在NCPH的边PC上时，CP最大，如图3所示：

迩妾OD、OQ、OE、QD,

同理得：四边形ODQE是菱形，

/.ODllQE,

连接DF,

./DBA=90。，

•.DF是直径，

.・D、0、F三点共线,

/.DFlIAQ,

.'.zOFB=zA,

/OB=OF,

/.zOFB=zOBF=/A,

「.PA=PB,

■.zOBF+zCBP=zA+zC=90°,

/.zCBP=zC,

.•.PB=PC=PA,

「.PC='C=12.5,

.-.7<CP<12.5,

故答案为：7<CP<12.5.

ffi1

8.解：⑴JNACB=90°,DE±AC,DF±BC,

.•四边形CEDF是矩形,

/CD平分NACB,DE±AC,DF±BC,

DE=DF,

二.四边形CEDF是正方形，

.-.CE=CF=DE=DF,

故答案为：CF、DE、DF;

(2)连接OP,如图2所示：

.AB是半圆O的直径，PB=2PA，

.-.zAPB=90°,zAOP=Jjx180°=60°,

可

.-.zABP=30°,

同(1)得：四边形PECF是正方形，

..PF=CF,

在Rt^APB中，PB=AB»coszABP=8xcos30°=8x

在RfCFB中,PC-CFCF

tanNABPItanSO*

3

...PB=PF+BF,

:PB=CF+BF,

即：K3!=CF|^3CF/

解得：CF=6・2/3];

(3)①「AB为0。的直径，

/.zACB=zADB=90°,

/CA=CB,

.'.zADC=zBDC,

同(1)得：四边形DEPF是正方形，

..PE二PF,zAPE+zBPF=90。，zPEA=zPFB=90°z

.•.将"PE绕点P逆时针旋转90。，得到AA'PF,PA'=PA,如图3所示:

则A'、F、B三点共线，NAPE=/A'PF,

・•.NA'PF+NBPF=90。，即NA'PB=90°,

即7。-x),

「SPAE+S,PBF=S,PAB二

在Rt^ACB中，AC=

•SACB=当(2=m(35&2=1225,

.*.y=S..PAB+SAACB=x)+1225=-+35x+1225

②当AP=30时,A'P=30,PB^AB-AP=70-30=40,

在RfA'PB中，由勾股定理得：A'B二痛P2+PB27302+402|=50,

■,-S.A.PB=—A'B-PF=工PB«A'P,

2]叵

.•.工x50xPF=-ix40x30,

22

解导：PF=24,

「•S四眺PEDF=PF2=242=576(m2),

・•・当AP=30m时.室内活动区(四边形PEDF)的面积为576m2.

9.证B月：Q)「NAPC=ZCPB=60°,

且

/.zAPQ=60°rAQ=AP,

・•.△APQ是等边三角形，

/.zQ=60°=NQAP,

•••四边形APBC是圆内接四边形，

/.zQPA=zACB=60°z

*/zQ+zACB+zQAC+zQBC=360°,

/.zQAC+zQBC=240°;fizQAC=zQAP+zBAC+zPAB=120°+zPAB>120°,

.-.zQBC<120°,

.,.NQAC，NQBC,且NQPA二zACB=60°=zQ,

•・四边形AQBC是准平行四边形；

(2)如图②，连接BD,

•.ABWAD,BC=DC,

「.NABDHNADB,zCBD=zCDB,

nABC/zADC.

.•四边形ABCD是准平行四边形，

/.zBAD=zBCD,

.•四边形ABCD是圆内接四边形，

「.NBAD+NBCD=180。，zABC+zADC=180°,

.*.zBAD=zBCD=90。，

•.BD是直径，

..BD=10,

•・AD=1BD2-AB2=7100・36|二8，

将aABC绕点C顺时针旋转90。得到^CDH,

/.AB=DH=6,AC=CHzzACH=90°,zABC=zCDH,

/zABC+zADC=180°,

・・•/ADC+NCDH=180。，

.,点A,点D,点H三点魁，

/.AH=AD+DH=14,

.AC2+CH2=AH2,

/.2AC2=196

•.AC=7迎；

⑶如图③，作AACD的外接圆。。，过点O作OE_1AC于E,ODBC于F,

/.zABC=60°,zABC=60°,AC=而Rc=2百

•・四边形ABCD是准平行四边形，且NBCD/NBAD,

/.zABC=zADC=60°,

/.zAOC=120°,且OE±ACzOA=OCx

/.zACO=zCAO=30。，CE=AE=返

.QE=1,CO=2OE=2,

/OE±AC,OF±BC,zECF=90°,

」•四边形CFOE是矩形，

,-.CE=OF=OE=CF=1z

/.BF=BC+CF=3,

.­.BO=-\/BF2-K)F2Tg+3|=^7T,

•.•当点D在BO的延长线时，BD的长有最大值，

二.BD长的最大值=BO+OD=2立卜2.

10.解：⑴如图1,连接PC,QP,PC交OP于T,•.矩形ABCD

.-.zADC=90°,CD=AB=6,AD=BC=8,

22

在RfCDP中，由勾股定理得：PC=|^CD2+pD276+(2>/3)|=破，

•.zQPD=120°,PD=2|V3|

.。12。兀•(2近〉2

-b第枝PD—一策「|=4TT

CT=CP-PT=4\/3|-圾上加

古器为：4虫4n,2/3|；

(2)如图2,OP与AC相切时，设切点为点H,

连接PH,则PHLAC,

,・四边形ABCD是矩形，

..NADC=90°,

在RfABC中，AB=6,BC=8,

/.AC=10,

在RbADC中，sinzDAC=目，

设OP均至为x,则PH=PD=x,AP=8-x,

在RbAHP中，sinzPAH=

AP8-x

.'.x=3,

在RfPDC中，CD=6,PD=3,

PC=VCD2可口2|=1^2+32卜3®

(3)如图3,过点P作PH^AC,连接PF；

则NPHA=zADC=90°,

•.zPAH=zDAC,

△AHP-△ADC,

.APPHI

''ACCPI1

设€^¥@为*,贝!|PF=PD=x,AP=8-x,

(8-x),

在OP中，FH±AC,EF=6.4,

.-.HF=3.2,

在RtWHF中，仔(8-X))2+322=X2

••.x=4或x=-13(舍),

；.PD=4;

(4)①如图4，作P'M±AC于M,作P"N±BC于N,

当P'M=P'D时，OP，与AC相切，只有1个公共点，由(2)知，此时PD=3,

当P"N=6时，OP"与△ABC有3个公共点；

当6<PN4PB时，OP与△ABC有3个公共点；PB2=AB2+AP2,AP2=(AD-PD)2

.-.62+(8-PD)2=PD2,解得：PD=信

综上所述，PD的范围为：3<PD<6^j<PD<8;

②如图5,-.zQPD=120°,当点P与点A重合时，AQ=AD

.•点Q的运动路径是线段DQ,zDAQ=120°,zADQ=zAQD=30°,BQ的最短距

离是点B到直线CQ的距离；

过点B作BK_LCQ于K,BK交AD于S,过A作AJCQ于L,连接BD,AQ,

-.AL±CQ,

.-.zALD=zALQ=90°,°

-,AQ=AD,AL=AL

/.RtAADL些RtAAQL

・•・DL=QL,NDAL二zQAL=60°,

•=sinZDAL，即：DL=AD»sinzDAL=8sin60°=423

AD/

.-.DQ=2DL=8V3|

在RbBCD中，BD=|\/BC2+CD2=,\/82+62=10

设SD=m,则SK=H，AS=8-m

•.zASB=zDSK=90°-zADQ=90°-30°=60°,

.-.zABS=30°

..名tan/ABS,即8-m=6tan30°,解得：m=8-^3)

••.KS=1(8-20=4-返BS=2AS=4g|

.-.BK=KS+BS=4-1岛4\/^|=3向+4

故点Q的运动路径长是8通BQ的最短距离是3逅4.

11.解：⑴•.点A(0,4),

，AO=4,

.AD是OQ的直径，

.-.zAEB=zAED=90°,

.-.zAEB=zAOB=90°,

vBA垂直平分CD,

..BC=BD

.-.zABO=zABE

fZAEB=ZAOB

在AABE和AABO中，ZABE=ZABO

AB=AB

.•.AABE*ABO(AAS)

.-.AE=AO=4;

(2)设BO=x,贝ijAB=x+2,

22

在RtZXABO中，由AO2+O32=A32得：42+x=(x+2),

解得：x=3,

：.0B=BE=3,AB=5f

'：ZEAB+ZABE=90Q,ZACB+ZABC=90°,

：.ZEAB=ZACB,

'：ZBFA=ZAFC,

,在8△BEP中，BE2+EF2=BF2,

・・・32+N2=^(4+x)产，

(3)①当时，ZBAE=ZFDEt

：.ZADE=ZFDEf

：.BD垂直平分AT,

：.EF=AE=4；

②当△DEFs△BEA时，ZABE=ZFDE,

：.AB//DFf

：.ZADF=NCAB=90°,

・・・。尸相切OQ,

J/DAE=NFDE,

设。。交y轴于点G,连接DG,作FHLDG于H,如图所示:

则N/7)H=ND4G,四边形OG”尸是矩形，

OG=FH,

,/AABE也△ABO,

：.ZOAB=NEAB,

9

：AB±ADf

：.ZDAE=ZCAO,

ZCAO=ZDAE,

：.ZDAE=ZDAEt

：.ZDAE=ZDAG=ZFDE=NFDH,

：.AG=AE=4f

：.EF=FH=0G=AO+AG=4+4=8,

综上所述，若与△AEB相似，EF的值为4或8.

r.ZADC=90°,

：.ZDAC+ZDCA=90°.

••维他

/.ZABD=ZDCA,

9

：ZFAD=ZABDf

：.ZFAD=ZDCAf

：.ZFAD+ZDCA=9Q°,

ACA±AF,

・・・Ar为。。的切线.

(2)证明：如图2,连接OD,・・@=园

ZABD=1.NA。。,

2|

VDC=DC，

：.ZDBC=—ZDOC,

2

"：BD平分ZABC,

：.ZABD^ZDBC,

：.ZDOA=ZDOC,

：.DA=DC.

⑶如图3,连接。。交C尸于M,作EP_LA£＞于P,

；AC为。。的直径，

/.ZADC=90°.

9

：DA=DCf

：.DOLAC,

：.ZFAC=ZDOC=90°,

：.AF//OMf

*：AO=OCf

：.OM=—AF.

2

9：ZODE+ZDEO=W0,ZOCM+ZDEO=90°.

：.NODE=NOCM.

♦：/DOE=/COM,OD=OC,

.♦.△OOEg/XOCM,

・•・OE=OM,

设0M=m,

DP=2

：.AE=242\-m,AP=PE=2将j5，

VZAED+ZAEN=\35°,ZAED+ZADE=\35°,

・,./AEN=/ADE,

'：ZEAN=ZDPE,

：./\EAN^/\DPE,

13.解：(1)如图所示：作AB的垂直平分线交0。于点P、P,则点P或P即为所求;

在AABC中

"ZBAC=9QQ,AB=AC=y^\,AD=^JQ\

：.ZB=ZC=45°,BO亚项，BC^/2\AB=6

：.ZBDP+ZBPD=\35°

"ZAPD=45°

AZAPC+ZBPD=135°

，NBDP=NAPC

：.4BPDs丛CAP

.BD_BP

•三B

设BP=x,则PC=6-x

普圈

解得XI=3楂,X2=34/3|

；.BP=3+4§|gBP=3-困:

(3)如图3,过点E、尸作圆，与P。相切于点M',圆心为点。，连接FM',EM

此时NFM'E的度数最大.

图3

理由：在。。上取一点G,连接FG并延长交PQ于点M,连接AG,AM,

■:NFGE=NFM'E,NFGE>NFME,

：.ZFM'E>ZFME,

E的度数最大.

作线段EF的中垂线/,/经过圆心O,且交EF于点N,交PQ于点K,过点K作KH_L

BC于H.

设。。的半径为r,

则OE=OM'=r,

：NBPQ=135°,

：.ZKPH=45°,

是等腰直角三角形，

：.PH=KH.

：AB=66,EF=8,

:.BN=33,EN=4,

:.PH=KH=33,

：.BH=33+7=40,

：.KN=40.

在等腰RtAOKM'中，

22

O7C=|7r4-r|472|r.

：.ON=NK-0K=40-V2|r.

在RtZXONE中，

42+（40-V2|r）2=凡

解得ri=40&|-1^/11,，2=4西*12回|（舍去），

:.PM，=PK-r=3^J|-4/^+12V13^127返

当射门角度最大时，PM的长度为（12|石1卜座）米.

14.(1)证明：①如图1,连接PC,AB,

•・・AP平分N8AF,

：.ZBAP=ZPAFt

u：ZPAF+ZPAC=\SO0,

ZPAC+ZPBC=\SO°,

JZPAF=/PBC,

又/BAP=NPCB,

:./PBC=/PCB,

:.PB=PC,

•••PBFPC，

...点P堀藩J中点；

(2)解：连接OB,OC,过。作OM_LBC于M,

；.0M垂直平分BC,

：.BM=CM='^BC=3,ZBOM^^ZBOC=ZBAC,

3

.人也/8。〃=隅=春,

：.0B=5,

.••O。的半径是5,

在RtZ\OMC中，。〃彳*/。。？-「J(q=4,

在RtZXPMC中，PM=0M+0P=9,

•■-PC=7P]I2^C2|=3GS:

(3)VZAC£+ZBC4=ZBPE+ZBCA=lSOa,

：.ZACE=NBFE,

同理，NCAE=NPBC=NPAB,

：./\ACE^/\APB,

：.PA'AE^AC-AB,

如图4,过C作CQ_LAB于Q,

•；sinNR4C=^4

：.CQ=AC-sinZBAC,

即如舟B.AC,

•'­SABC=

••・PA・AE=愣S,ABC,

.□ABC非锐角三角形，且BC=6,

二当A运动使NACB=90°时,

△ABC面积最大，

在RfABC中，BC=6,AB=10,

--AC=7AB2-BC2|=8-

,•S.ABC=H(>AC=24,

」.蜘寸，PA・AE=80,

即PA-AE的最大值为80.

15.(1)证明：抽妾OB，如图，

「AB=AC,zA=30°z

/.zA=zC=30°.

/.zCAB=180°-zA-zC=120°.

「OB二OC,

.-.zOBC=zC=30°.

/.zOBA=zCBA-zOBC=90°.

即OB±BA.

•.OB是圆的半径，

「•AB与。。相切.

•・圆心。在AC边上，

.-.OOBAABC的切圆；

(2)解：①当圆心。在BC边上，与AB,AC边相切于点M,N时,

谢妾OA,OM,ON,如图，

.AB,AC是。。的切线，

QM_LAB,ON±AC,AO平分NBAC.

.AB=AC,

-.AO±BCzOB=OCj^)BC=3.

.AOXBO,OMJ_AB,

ABOM-△BAO.

.OB

'AB-OB'

.3.DM

,53|,

■嗯

；QM=H0B2_B产制;

②当圆心。在AC边上，。。与AB,BC边相切于点M,N时,

迩妾OM,ON,B0,过点A作AH_LBC于点H,如图，

•.AB,BC是。。的切线,

.-.OM±AB,ON±BC.

•.AB=AC,AH±BC,

..BH=CH="C=3,

•-AH=7AB2-BH2|=4-

•■•W4XBC，AH=1~X6X4=12-

•S.ABC=S-ABO+S.CBO,

.-._LxAB«r+LUxBC«r=12.

I迈］

X6r=12-

•,喳.

综上，。0的半径为LL或丝;

_5jnu

⑶解：连接AF,如图，

「AB为。。的直径，

.,.AF±BC.

•・•。0是AABC的切圆，AC是。。的切边，

.-.AB±AC.

△ACF-△BAF.

,AFBFl

CPAF|

.AF10]

8AF]

..AF=4局.

2212

■■-AC=7CF*AF|='

AB=|^AF2-hRF2|=6|75.

•.'D是弧BF的中点,

,.zFAD=zBAD.

.胆里睡二2

设FE=2k,则BE=3k,

'.BF=FE+BE=1O,

.-.2k+3k=10.

.•.k=2.

.-.EF=4,BE=6.

-.EH±AB,AC±AB,

/.EHIIAC.

.BEEHl°

,BC-AC'

.6二EH

"8-t-lO^12'

.-.EH=4.

16.(1)证明:如图1,-.ABllCD,BCllAD,

二•四边形ABCD是平行四边形，

..zA=zC,

•.四边形ABCD内接于。O,

.-.zA+zC=180°,

.-.zA=zC=90°,

“ABCD是矩形；

(2)①解：•.点D乾的中点，