2017高考真题(理科数学)甲,乙,丙三卷合一

理科数学2017年高三全国甲卷

理科数学

考试时间：一分钟

题型单选题填空题简答题总分

得分

单选题（本大题共12小题，每小题一分，共一分。）

3+i

1.)

1+i

A.l+2i

B.l-2i

c.2+i

D.2-i

2.设集合”={1,2,4},8={x,_4x+m=0}.若4nB={1}，则8=()

A.PT

B.{1，°}

c.0.3)

D.{L5}

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请

问尖头几灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的

顶层共有灯（)

A.1盏

B.3盏

C.5盏

D.9盏

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去

一部分后所得，则该几何体的体积为（)

A.90n

B.63n

C.42n

D.36n

2x+3y-3<0

5.设x,y满足约束条件，2x—3y+3N0,则2=2x+y的最小值是()

7+3>0

A.-15

B.-9

C.1

D.9

6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有

()

A.12种

B.18种

C.24种

D.36种

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，

我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根

据以上信息，贝(1()

A.乙可以知道四人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

8.执行右面的程序框图，如果输入的°=一1，则输出的S=()

A.2

B.3

C.4

D.5

9.若双曲线C:——=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2『+/=4所截得的弦长为2,则C的

b2

离心率为()

A.2

B.

C.亚

2n

D.

3

10.已知直三棱柱45。一44G中，/4BC=12O。，AB=2,BC=CC】=k则异面直线力4与所成

角的余弦值为()

5

D,史

3

11.若x=-2是函数/Q)=(x2+ax-l)ci的极值点，则，(x)的极小值为()

A.-1

B.-2e~3

C.5c7

D.1

12.已知AJ8C是边长为2的等边三角形，p为平面48c内一点，则方•(而+定)的最小是

()

A.-2

L.-------

3

D.-1

填空题(本大题共4小题，每小题一分，共一分。)

13.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取10J次，X表示抽到的二等品

件数，则DX=.

lq冗

14.函数/(x)=sin2x^\]3cosx--(x的最大值是

"1

15.等差数列｛”“｝的前〃项和为s“，4=3,s4=io,则=__________.

*=is*

16.已知尸是抛物线。：/=8x的焦点，M是。上一点，的延长线交y轴于点N.若M为网的中

点,则|网|=.

简答题（综合题）（本大题共7小题，每小题一分，共一分。）

17.（12分）

ABC的内角4居C的对边分别为6,c，已知向（4+C）=8sin23.

⑴求cosB；

（2）若a+c=6,AJ此的面积为2,求b.

18.（12分）

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产

品的产量（单位：kg）.其频率分布直方图如下:

频率组距f频率姐能

00tSI.........................

o云

o

o蚣

o

o震

O

0O14

0::

7$404$$0$5M65-0

琉产置kg福广里kg

旧算殖法新赛殖法

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记/表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不

低于50kg”，估计/的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:

箱产置V50kg箱产量三50kg

旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）.

P（K：NA）0.0500.0100.001不〃（可-占婿

一人-----------3Mi~~~ioii-'"6）（c+"）（…xs

19.(12分)

如图，四棱锥物中，侧面为〃为等边三角形且垂直于底面/版,

AB=BC=-AD,ZLBAD=ZABC=90°,£是阳的中点.

2

(1)证明：直线CE〃平面以国

(2)点"在棱"1上，且直线5步与底面口所成角为45°，求二面角"-的余弦值.

r2

20.(12分)设0为坐标原点，动点M在椭圆G—+y2=1±,过〃作x轴的垂线，垂足为1点P满足

_2

每二及疝■

(1)求点尸的轨迹方程；

(2)设点。在直线x=-3上，且丽-尸0=1.证明：过点P且垂直于0。的直线/过。的左焦点冗

21.(12分)

已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx.且/(x)>0.

(1)求a；

(2)证明：/(x)存在唯一的极大值点X。,且e2</(不)<2-2.

22

所以e-</(x0)<2-.

22.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为

/9COS0=4.

（1）M为曲线Cl上的动点，点。在线段的上，且满足|OMH°P|=16,求点。的轨迹G的直角坐标方程;

71

（2）设点力的极坐标为（2,1）,点8在曲线G上，求△O仍面积的最大值.

23.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

［选修4—5：不等式选讲］（10分）

已知a>0,6>0,，+y=2.证明：

（1）（a+6Xa5+ft5）>4；

（2）a+b<2.

答案

单选题

1.D2.C3.B4.B5.A6.D7.D8.B9.A10.C11.A12.B

填空题

13.

1.96

14.

1

15.

2〃

w+1

16.

6

简答题

17.

(1)cosfi=^|(2)b=2

18.

(1)尸(4)=0.4092(2)见解析(3)5235

19.

(1)见解析；(2)叵

5

20.

(1)x2+y2=2；(2)见解析

21.

(1)a=l；(2)见解析

22.

(1)(x-2)^/=4.(x*O)⑵2+6

23.

（1）见解析（2）见解析

解析

单选题

1.

由复数的除法运算法则有：=二£+?!，?=2—j,故选I).

14-1

2.

由＜DB={1}得lw8，即x=l是方程％2_4%+根=0的根，所以1-4+析=0,加=3,B={1,3},故选C.

3.

设塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个首项为X,公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有:

色宜处=381，解得X=3,即塔的顶层共有灯3盏，故选B.

1-2

4.

91-

由题意，其体积K=TCX32X4=367T,其体积匕=5x(71x32x6)=27兀，故该组合体的体积

y—Vx-vV2=36冗+27冗=63兀.故选B.

5.

绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点5(-6,-3)处取得最小值，最小值为

zf.=-12-3=-15.故选A.

由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有C：种方法,

然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有C：xA；=36种.故选D.

7.

四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话.甲不知自己成绩一乙、丙中必有一优一良，(若为两优，甲

会知道自己成绩；两良亦然)一乙看了丙成绩，知自己成绩一丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩.

8.

阅读程序框图，初始化数值a=-L%=LS=O.

循环结果执行如下：

第一次：S=。-1=—4=2；

第二次：S=-l+2=l,a=-1,4=3：

第三次：S=1-3=—2,。=1,2=4；

第四次：S=-2+4=2,。=-1,2=5；

第五次：S=2—5=—3,々=1,4=6；

第六次：3=-3+6=3,4=—1,4=7；

结束循环，输出S=3.故选B.

9.

取渐近线y=)x,化成一般式h-4=0,圆心(2,0)到直线距离为G=J叫

ay/^+b2

得，=而2，/=4，6=2.

10.

如图所示，补成门四棱柱/1BCD-44GA，

2

则所求角为ZBCtD,.-BQ=亚,BD=V2+l-2x2xlxcos60°=瓜C、D=ABX=

易得GO2=B〃2+8C：,因此005400=华=4=典，故选C.

(\DV55

/**(x)=[x?+(a+2)x+a-1]・,

则/'(一2)二14-2(a+2)+a-1]•e-3=0=>a二一1,

贝IJ/(x)=(x2-x-l).e-f(x)=(x3+x-2)

令/'(工)=0,得x=-2或x=l,

当x<-2或x>l时，ff(x)>0,

当一2Vx<1时，r（x）<0,

则/（X）极小值为/⑴=-I.

12.

如图，以为X轴，5。的垂直平分线04为y轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，则4（0,、行），

质一1,0）,C（l,0）,设所以而=（_x、若一y）,丽=（一l-x,-y），PC=（1-X,-J）.所以

P»+PC=（-2x,-2y）,

AN•（丽+尸心）=2*2-2夕（逐一①=2/+23-巫）2-。之一之，当尸（0,且）时，所求的最小值为一,，故

22222

选B.

填空题

13.

由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即刀~8（100,0.02）,由二项分布的期望公式可得

DY=np（l-p）=100x0.02x0.98=1.96.

14.

化简三角函数的解析式，则

/(X)=1-COS2X+x/^COSX--3=-<X)S2X+x/3cOSX+-1=-(COSX-7C

+1，由XG[0,Q]可得

cosxe[0,1],当cosx=正时，函数/(X)取得最大值1.

2

15.

设｛，｝首项为4，公差为

则《+2d-3

SA=4%+(>d-10

求得6=1,d=1,则a■二〃，S.="

《12222

念S*1x22x3n(n-l)n(n+1)

16.

如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点下，，作A/BJJ与点8，N4JJ与点A，

由抛物线的解析式可得准线方程为x=-2,则4V=2,m'=4,在直角梯形/A/卬'中，中位线

AN+FF'

BM=------------=3,由抛物线的定义有：M/；=MB=3,结合题意，有MN=MF=3,故

2

|/W|=|FAf|+加"|=3+3=6.

简答题

17.

(1)依题得：sinS=8sin2—=8«--竺0=4(1-cosb).

22

sin2B+cos'B-\>

16(1-cos时+cos?8=1,

:.(17cosB-15XcosB-l)=0,

cosB=—

17

Q

(2)由⑴可知sinB二一.

17

S..Rr=2,

-ac-sinB-2，

2

217

17

ac=—

2

VcosB=—,

.a'c?-/15

2ac17'

:.a2+c2-62=15，

.,.(a+c)2-2ac-62=I5,

:.36-17-ft2=15，

6=2.

18.

(1)记：“旧养殖法的箱产量低于50kg”为事件8

“新养殖法的箱产量不低于50kg”为事件C

而P(b)=0.040x5+0.034x5+0.024x5+0.014x5+0.012x5=0.62

PC)=0.068x5+0.046x540.010x5+0.008x5=0.66

P：A)=P(B)P(C)=0.4092

(2)

箱产量＜50kg箱产量。50kg

旧养殖法6238

新养殖法3466

由计算可得M的观测值为

200x(62x66-38x34)2

100x100x96x104

V15.705>6.635

:.$=6.635)«0.001

...有99%以上的把握产量的养殖方法有关.

(3)1+5=02,0.2-(0.004+0.02010.044)=0.032

88

0332-0.068=—,—x5=2.35

1717

51+235=5235,・••中位数为5235.

19.

(1)令尸4中点为F,连结即，BF,CE.

,/E,F为PD,P4中点，,EF为4PAD的中位线，；.EF^^AD.

又ZBAD=4tBe=90°,BC//AD.

又•：AB=BC=1AD,工BCQAD,：.EPJ^c-

22

四边形BCEF为平行四边形，.ICE//BF.

又BFu面415,/.CE//面P48

(2)取4。中点O,连PO,由于△7"。为正三角形

/.POLAD

又­/平面PAD1平面4AC/),平面PADA平面ABCD=AD

/.PO_L平面ABCD,连OC,四边形ABCD为正方形。

VPOu平面POC，，平面POOL平面ABCD

而平而POC。平面/BCD=OC

过扭作M〃_LOG,垂足为〃，,MH1平面ABCD

ZAfBH为MB与平面4BCD所成角，ZMBH=45°

•••MH=BH

在APCO中，MI///PO,

POCO

设■AB=BC=a,AD=2a,PO=>j3a，CO=a

.MHCH

MH=GCH

xl3aa

在RtABCH中，BH?=BC2+CH2,3cH?=a2+CH2

-'-CH=—a>MH=—a>OH=a-—a

222

以O为坐标原点，OC、OD.OP分别为X、y>z轴建立空间直角坐标系，M(a一与a,0,与G，

Z(0,—a,0),5(a,—a,0),

=乎•〃），AB0,0）

_J7

设平面扭zi"的法向量为"=（0,必1），nMA--ay-----。=0，•*•j=-------

22

.-.„=（0,-^,l），而平面4BC。的法向量为A=（0,0,1）

设二面角M45—O的大角为0（〃为锐角）

,一，1、尺

.cos0=|cos<nk>j=^-----.|=-----

■,y"35

20.

⑴设尸设N&,0),NP=(x-xo,y),NM=(0,yo).

由而=血而得/=工/0=4广

因为M(X0，K)在。上，所以二+或=1.

22

因此点尸的轨迹方程为X2+/=2.

(2)由题意知尸(一1,0).设0(-3j),P(m,〃)，

则丽=(_3,f),而=(_l_/n,—〃)，而•丽=3+3m-切，OP=(m,n),PQ=(-^-mtt-n).

由丽•玩=1得一3m一/+勿一〃2=1，又由(1)知加2+〃2=2,故3+3m—桁=0，

所以丽•丽=0，即而1万.

又过点。存在唯一直线垂直于0Q,所以过点户且垂直于00的直线/过C的左焦点F.

21.

(1)/(X)的定义域为(0/8)

设g(x)=ax-a-Znx,则/(x)=xg(x),f(x)2。等价于g(x)20

因为g(l)=。，S(x)N0,故g'(1)=0,而/(x)=a-Lg[l)=a-1,得a=1

若a=l,则g，(x)=1-：.当OVxVl时，g'(x)<O,g(x)单调递减；当x>l时，g'㈤>0,g(x)单调递增.所

以x=l是g(xj的极小值点，故g(x)2g⑴=0

综上，a=1

(2)/(x)=x2-x-xlnx,/*(x)=2x-2-lnx,x>0.

I?x-l

令A(x)=2x-2-lnx,则“(x)=2——=-----,x>0.

令〃(x)=O得x=g,

当。〈工」时,hl（x）＜0,Mx）单调递减;当时,力'（二）＞0,Mx）单调递增.

22

所以，爪吨)=1-2+ln2<0.

因为方（。"）=加以＞0h(2)=2-ln2>0,

所以在上，A（x）即广（门各有一个零点.

设re。在（0,和（；，+«）上的零点分别为天,亏，因为r（x）在（o,；）上单调减,

所以当0＜x＜x。时，r（x）＞0,/（“单调增；当时，f（x）＜9,/（x）单调减.因此，％是/（x）的

极大值点.

因为，/'（X）在6,+8）上单调增，所以当时，f（x）＜0,〃x）单调减，时，/（x）单调增，

因此。是/（x）的极小值点.

所以，/（x）有唯一的极大值点％.

由前面的证明可知，/《。七则/(%)>/甲)=屋+不>6-2.

因为/*(%)=2%-2-In。=0,所以111X0=2X0-2,则

又/(%)=XO2-XO-XO(2XO-2)=XO-42,因为。<工0<!，所以/(/)<?.

24

因此,e2

4

22.

⑴设“3,4),p(p,0)

则|QM=A，|OP|=〃.

ZPo=16

'A)COS4=4

f

解得夕=4cos。，化为直角坐标系方程为(x-2)z卜V=4.(x40)

⑵设点B的极坐标为伉，。)(0>0),由题设知

|O4|=2,qWcosa,于是AOAB面积

5=；忸M(iinAAOB

4J-(始

=4cosalsina-----

TI3)

=2sin2a--1

l3j2

<2+5/3

当a=_装时，S取得最大值2+百

所以AOAB面积的最大值为2+6

23.

(1)(a+"(a，+6,)=46+出>5+

=(a3_1_y)—2a3b3+ab(a4+)

=4+a方(a?—方？)

>4.

(2)因为

(a+A)3=3?3

f+3a2b+3ab+h

=2+3ab(a+6)

42+-^(则=2+-^

所以(a+b)3<8>因此a+bW2.

理科数学2017年高三2017年全国乙卷理科数学

理科数学

考试时间：一分钟

题型单选题填空题简答题总分

得分

单选题（本大题共12小题，每小题一分，共一分。）

1.已知集合在{习水1},6=33*<1},则（）

A.Jn^={x|x<0}

B.，U5=R

C./U8="|x>l}

D.4n8=0

2.如图，正方形/腼内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中

心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）

A-

8

C.1

2

D.-

4

3.设有下面四个命题

P,：若复数Z满足则ZGR；p：若复数Z满足deR，则ZGR；

z2

p..若复数4/2满足z^eR,则.：若复数zwR，则NwR.

其中的真命题为（)

A.Pi，P3

B.PI，PA

C-Pz，P3

D.Pz，P«

4.记S“为等差数列｛4｝的前〃项和.若4+4=24,§6=48,则｛4｝的公差为()

A.1

B.2

C.4

D.8

5.函数/(x)在(T»,X)单调递减，且为奇函数.若则满足一l4/(x-2)Vl的X的取值范围是

()

A.[-2,2]

B.[-1,1]

C.[0,4]

D.[1,3]

6.Q+[xi+x)6展开式中X?的系数为()

X

A.15

B.20

C.30

D.35

7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,

俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

()

A.10

B.12

C.14

D.16

8.下面程序框图是为了求出满足3-2">1000的最小偶数〃，那么在。和n两个空白框中，可以分别填入

B.A>1000和/尸加2

C.^<1000和炉加1

D.A<\000和炉加2

2兀

9.已知曲线G：产cos%,G：尸sin（2广—）,则下面结论正确的是（)

3

A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移上个单位长度，得到曲线G

6

B.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移三个单位长度，得到曲线G

12

C.把G上各点的横坐标缩短到原来的一倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移上个单位长度，得到曲线C-

26

D.把G上各点的横坐标缩短到原来的一倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移上•个单位长度，得到曲线

212

G

10.己知分为抛物线G的焦点，过夕作两条互相垂直的直线心h直线》与。交于力、8两点，直线Z

与。交于〃、£两点，则|力引+|分|的最小值为（)

A.16

B.14

C.12

D.10

IL设x、八z为正数，且2*=3y=5"则（）

A.

B.5z<2X3y

C.3y<5z<2x

D.3jK2x<5z

12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学

题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,

8,1,2,4,8,16,其中第一项是2°,接下来的两项是2",2',再接下来的三项是2°,2',22,依此类推.求

满足如下条件的最小整数N：A0100且该数列的前"项和为2的整数事.那么该款软件的激活码是

（）

A.440

B.330

C.220

D.110

填空题（本大题共4小题，每小题一分，共一分.）

13.已知向量a,I的夹角为60。，|a|=2,|引=1,则|a+2b|=

x+2y<L

14.设x,y满足约束条件，2x+yN-L则z=3x-2y的最小值为

x-y<0,

15.已知双曲线C：3-口=1（a>0,6>0）的右顶点为4,以力为圆心，6为半径作圆力,圆/与双曲线。的一

ab

条渐近线交于M,N两点.若N极1忙60°,则，的离心率为___.

16.如图，圆形纸片的圆心为0,半径为5cm,该纸片上的等边三角形4比■的中心为〃〃，E,尸为圆。上的点，

/\DBC,t\ECA,△物8分别是以a；CA,为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以a；CA,48为折痕折

起△的G△£、<%,△必6,使得〃E,尸重合，得到三棱锥.当△/回的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm'）

的最大值为—.

简答题(综合题)(本大题共7小题，每小题__分，共—分。)

17.(12分)

2

△466的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知的面积为------

3sin4

(1)求sinbsinC\

(2)若6cos&osC=1,年3,求△/比'的周长.

18.(12分)

如图，在四棱锥/T6W中，AB//CD,且/龙(P=NCDP=9(r.

(1)证明：平面处反L平面为〃；

⑵若PA=PAAB=DC,N/LPD=9(T，求二面角儿取。的余弦值.

19.(12分)

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单

位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N3，b2).

(1)假设生产状态正常，记才表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(/z-3b,4+3b)之外的零件数，求

P[XN1)及JT的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在3-3b,〃+3b)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产

过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；

(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.

04

10,269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

116J116H16

经计算得三=正£%=9.97,s=自力8-寸=Jj力寸-16/)z0.212,其中％为抽取的

16z\16筮丫16tj

第i个零件的尺寸，i=L2,…,16.

用样本平均数工作为〃的估计值A,用样本标准差”乍为。的估计造d,利用它计值判断是否需对当

天的生产过程进行检查？别除S-3亍,A+36)之外的数据，用剩下的皴据估计4和。(精确到0.01).

附：若随机变量Z服从正态分布则尸(〃-3C<Z<〃+3C)=0.9974,

0.9974iex0.9592,j0.008x0.09.

20.(12分)

已知椭圆G=+A=l(a>6>0),四点月(1,1),A(0,1),A(-1,立)，P(1,—)中恰有三点

a2b222

在椭圆C±.

(1)求C的方程；

(2)设直线/不经过A点且与C相交于/,小两点.若直线7U与直线的斜率的和为-1,证明：/过定点.

21.(12分)

已知函数y(x)=ac2x+(a—2)cx—x.

(1)讨论/Q)的单调性；

(2)若/(x)有两个零点，求a的取值范围.

22.选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

x=3cos。，

在直角坐标系X。中，曲线C的参数方程为.昨sin。，("为参数)，直线,的参数方程为

j'=a+4/,、，/=、

,ax为参数).

g-f,

(1)若炉T,求C与/的交点坐标;

(2)若C上的点到/距离的最大值为国,求a

23.选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知函数/(J)=-X2+OX+4,g(r)=|x+l|-+|x-l|.

(1)当小1时，求不等式/(x)Ng(x)的解集;

(2)若不等式/(x)NgQ)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.

答案

单选题

1.A2.B3.B4.C5.D6.C7.B8.D9.D10.A11.D12.A

填空题

13.

2.6

14.

一5

15.

迈

一1

16.

4/15

简答题

17.

2「

⑴(2)3+屈

18.

(1)见解析；(2)—也

3

19.

(1)0.0416(2)(i)见解析(ii)A=10.02,<7=0.09

20.

(1)C的方程为=+/二1；(2)见解析

4

21.

(1)见解析；(2)(0,1)

22.

2124

(1)(3,0)或(——(2)a=8或Q=-K.

2525

23.

（1）{x\-l<x<~i+^}^（2）[-1,1]

解析

单选题

1.

由3”<1可得3、<3°，则x<0，即8={x|x<0},所以/n3={x|x<l}n{x|x<0}

={x|x<0},XUfi={x|x<l}U{Jc|x<O）={x|x<l},故选A.

2.

aU77

设正方形边长为a,则圆的半径为一，正方形的面积为a2,圆的面积为竺二.由图形的对称性可知，太极图中

24

黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是

1na2

24_兀，选B.

a2-8

3.

1]abi

々z=a+6i（a,bwR）,则由一=----=；-VeR得6=0,所以ZGR,目正确;

za+bia+ZT

由『=-ieR,知，Pz不正确；

由4=z2=j•z2=-11A知03不正确；

“显然正确，故选B.

4.

6x5

设公差为

d，a4+%=%+3d+%+4d=2al+74=24,S6=6q+2d=6ax4-15J=48,联立

2al+7d=24

解得d=4,故选C

6ax+15d=48’

5.

因为/CO为奇函数且在（TQ,+8）单调递减，要使-成立，则X满足一从而由

一14工一241得l4x<3,即满足一1«/（工-2）41成立的工的取值范围为[1,3],选D.

6.

因为Q+；Xl+X)6/l-(l+X)6+3.(l+X)6,则(l+x)6展开式中含X：的项为1-CX2=15X2,1-(1+X)6展

X23中=15x*X215+15=30X

开式中含的项为十，故的系数为，选C.

7.

由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这

些梯形的面积之和为2X(2+4)X2X；=12,故选B.

8.

由题意，因为3"—2">1000,且框图中在''否"时输出，所以判定框内不能输入4>1000,故填4K1000,

又要求〃为偶数且初始值为0,所以矩形框内填”=〃+2,故选D.

9.

因为函数名不同，所以先将G利用诱导公式转化成与G相同的函数名，则

21T2冗ILTT1

C:y=sin(2x+—)=c<>s(2x+-------)=cos(2x+一),则由C上各点的横坐标缩短到原来的一倍变为

3326t2

V

y=cos2x,再将曲线向左平移一个单位长度得到G，故选D.

12

10.

设直线4方程为y=占3-1)

y2=4x

取方程《

y=A|(x-l)

得片x?-2片工-4x+M=0

-2片一4_2苗+4

同理直线4与抛物线的交点满足三+4=生吧

由抛物线定义可知|+天

AB\-^\DE\=XX-^X2+x4+2p

2叶+424+4.44°一16

=f，+三—+4=—+—+8>2H-^-+8=16

k：片k：片M片

当且仅当仁=-e=i（或一1）时，取得等号.

H.

lok

令2、=3,=5"=A(A>1),则x=log22，y=g3'z=\og5k

2x=21g£lg31g9

万一京,咏一藤>1,则2x>3y,

2.c=21g£Jg5_=lg25

-<1,则2x<5z,故选D.

~5z~lg2'5^I1^32

12.

由题意得，数列如下:

L

L2,

L2,4,

1,2,4,-,2*-,

则该数列的前」+2+-+1=无6+1)项和为

2

S"("+D=l+(l+2)+-+(l+2+-+2*l)=24u-jt-2,

12“

要使":1)>100,有AA14,此时A+2<2*"，所以A42是第4+1组等比数列1,2,…,2”的部分和，设

4+2=1+2+…+2'T=2'-1，

所以左=2'—3N14,贝卜之5,此时A=2$—3=29，

29x30

所以对应满足条件的最小整数汽=------+5=440,故选A.

2

填空题

13.

|a+2A|2=|fl|2+4aA+4|A|2=4+4x2xlxcos60o+4=12，所以|4+2b|=^=2vG.

14.

不等式组表示的可行域如图所示,

易求得冏—1,1),5(-/，-3，。(，3，

3z

由z=3x-2y得y=在丁轴上的截距越大，z就越小，

所以，当直线z=3x-2y过点人时，z取得最小值，

所以z的最小值为3x(-1)一2x1=7.

15.

如图所示，作4PLMN,因为圆1与双曲线C的一条渐近线交于双M两点，则为双曲线的渐近线

y=2x上的点，且N(a,O),|4A/|弓4/V|=b,

而APJLMN，所以NP/W=30°，

b|/尸|=网

点4(a,0)到直线y=-x的距离

a

在RtA/MN中，cos"lN=g|,代入计算得，=3反，即a=出6，

\NA\

由。2=。2+/得C=2A,

16.

如下图，设正三角形的边长为x,则OG=1x好』.

326

令心),=5x，-争，，则叫x)=20Y一竽

令”3=。，d-2=。，K=

VM=^x48x>/r^=4厉.

।sm/i

由正弦定理得一sinCsinB=—：---

23sin/I

故sinBsinC=—.

（2）由题设及（1）得00$8005。一行118§111。=一!，，即COS（〃+C）=—L.