高等数学11单元第八章常微分方程

授课11单元教案第八章常微分方程授课单元名称第一节常微分方程的基本概念

授课学时 8单元教学目标

1、了解微分方程和常微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等概念；2（二阶常系数线性微分方程）及解法3会用微分方程解一些简单的应用题；1．掌握微分方程、通解、特解等概念2。掌握常用的几种微分方程解法。3主要教学知识点教材处理

1、微分方程、常微分方程、常微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件的概念；2、常见微分方程的类型（可 教学难分离变量方程、一阶线性方程、二阶常系数线性微分方程）及解法基本概念以教材一致，例题参考资料有调整

常微分方程的基本概念常见微分方程解法高等数学》，侯风波主编，高等教育出版社。《分层数学》，李德才主编，北京交通大学出版社。教学资源 1）教材2）课件3）参考书

1、常微分方程的基本概念2、常见微分方程的类型（可分教学方法与手段

启发式、讲练结合 考核评价点教学内容

离变量方程、一阶线性方程、二阶常系数线性微分方程）及解法第一节微分方程的基本概念教学过程一、引入新课知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。引例1二、新授课1、微分方程的定义：含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。dxxyd2y是常微分方程;dy dx2zxy是偏微分方程.x微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶一阶微分方程的一般形式为 F(x,y,y)0y)2x3y5x4

0，x(

)22ydyx0都是一阶微分方程。dx dx二阶微分方程的一般形式为 F(x,y,,0例如：

d2y2ydy

sinx0y)2k2(2y2)3都是二阶微分方程。dx2 dx类似可写出n阶微分方程的一般形式F(x,y,y,yy(n))0。其中F是n+2个变F(xyyy

y(n))0中，y(n)必须出现，而x,y,y,yyn1)yn)f(x)也是n阶微分方程。1．指出下列方程中哪些是微分方程，并说明它们的阶数：1(1)dyy2dx0; (2)y22yx;1d2y(3)xdyy2sinxdx0;

dt2

3ye2t;(5)yy'3x; (6)dy(7)xy(y')20.2、微分方程的解能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解求微分方程的解的过程，称为解微分方程

yxy2

dx;1例如，函数x3是微分方程6

d2dx2

x的解。如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数达式。1例如y=x3CxC1

是微分方程

d2

x的通解。6 1

dx2在通解中，利用附加条件确定任意常数的取值，所得的解称为该微分方程的特解，这种附加条件称为初始条件，例如微分方程1

d2ydx2

x，初始条件y(0)1,y'(0)2，则满足初始条件的特解为y=6

x32x1。带有初始条件的微分方程称为微方程的初值问题。微分方程的通解不一定包含所有的解，不在通解中的解称为奇解。由于微分方程的解是通过积分而获得的分曲线，把通解称为微分方程的积分曲线族。微分方程的解根据函数的形式可分为显式解和隐式解。2验证下列函数(其中C(1)xy'2y,yCx2,yx2;y''y,ysinx,y3sinx4cosx;dy2y,yex,yCe2x.dydx如果微分方程中关于未知函数及其导数x(t),x'(t),x"(t),...,x(n)(t)是一次有理整式，则称方程是线性的，称它是n阶线性微分方程，一般形式为：x(n)(t)a1

(t)x(n1)(t)

n1

(t)x'(t)an

x(t)f(t)如果f(t)0n为线性方程的非齐次项。三、小结四、练习课堂完成P97 2第二节常微分方程的分离变量法可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程：形如dyf(x)gy称为可分离变量的微分方程，其dx特点是方程的左端可分离为只含x的函数f(x)与只含y的函数g(y)的乘积。可分离变量的微分方程的求解步骤：第一步 分离变量为 g(y)dy=f(x)dx第二步将上式两端积分得：

g(y)dyf(x)dx设分别为、dyf(xgy的通解为dxG(y)F(x)Cdy y1求解方程dx xdy dx解分离变量，方程化为y x两端积分，即得通积分lnylnxC1或lnylnCx(C0)解出，得方程通解yCx (C0)y0.yCxC可以取零练习求微分方程dy2xy的通解dx2求解方程

x(y2y(x20解y分离变量得

，x1(x

y

1)0时，xdx ydy 0x21 y21积分，得方程的通积分lnx2

1lny

1lnC (C0))或 (x

y2

C (C0)练习1求微分方程(1+x2)dyxydx0的通解能用初等函数表达所求的结果，通常称为“积不出精三、小结四、练习11x2(2)

y'x,y

x0

0;2。课外作业

(4)y'

x2y2,y|xy

x1

1.P103 1 (1)（2）(4) 2 (3)求下列微分方程满足所给初始条件的特解：y'sinxylny,y

e;x2(3)y'e2xy,y

x0

0;6．设一曲线过原点，且在点(x,y)处的切线斜率等于2xy，求此曲线方程。第三节一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的形式是dyp(x)yf(x)（1）dx如果f(x)0，即dyp(x)y0 (2)dx称为.如果f(x)(1)为1、一阶线性非齐次方程的通解先考虑线性齐次方程(2)，(2)是一个变量可分离方程，由1.2节易知它的通解是yCep(x)dx

(3)下面使用常数变易法再求线性非齐次方程(1)的解.其想法是：当C为常数时，函数（3)的导数，恰等于该函数乘上-p(x),从而(3)为齐次方程(2)的解.现在要求非齐次方程(1)的解，则需要该函数的导数还要有一项等于f(x).为此，(3)CC(x)，即令yC(x)ep(x)dx

(4)为方程(1)的解，其中C(x)待定.将(4)代入(1)，有C(x)ep(x)dx

p(x)C(x)ep(x)dx

p(x)C(x)ep(x)dx

f(x)即 C(x)f(x)ep(x)dx积分后得C(x)

f(x)ep(x)dxdxC把上式代入(1.37)，得到(1)的通解公式为yCep(x)dxep(x)dxf(x)ep(x)dxdx (5)在求解具体方程时，不必记忆通解公式，只要按常数变易法的步骤来求解即可.例1求解方程dyyx2 (6)dx x解显然，这是一个一阶线性非齐次方程.先求对应齐次方程dyydx x的通解为 y=C(x)由常数变易法，令y=C(x)x为方程(6)的解，代入(6)有C(x)C(x)C(x)x2即 C(x)x1积分得 C(x) x2C12代回后得原方程(6)的通解为1yCx x32例2求解方程dyycotx2xsinx （7）dx解显然这也是一个一阶线性非齐次方程.先解对应齐次方程dyycotx0dx分离变量后再积分有dyy

cotxdxlnC即取指数后，得齐次通解由常数变易法，令为非齐次方程(7)的解，代入后得即积分得于是原方程7)的通解为仔细看一下非齐次方程(1)的通解公式(5)，我们可以发现它由两项组成.第一项是对应齐次方程的通解，第二项是非齐次方程的一个特解.因此有如下的结论：线性非齐次方程(1)的通解，等于它所对应的齐次方程(2)的通解与非齐次方程(1)的一个特解之和.为了求解初值问题常数变易法可采用定积分形式.即(4)可取为（8）代入(1)并化简，得积分得代入(8)得到将初值条件 代入上式，有 ，于是所求初值问题解为或小结会用常数变易法求解一阶线性微分方作业:P103 5 (1)第四节二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程解的性质

(9)(10)定义1：形如0 （1）的方程（其中p、q为常数），称为二阶常系数齐次线性微分方程定理1：若y,y1 2

是齐次线性方程ycy11

cy2

也是（1）的解，yy1 2

线性无关时，ycy11

cy2

就是式（1）的通解二、二阶常系数齐次线性微分方程解的求解方法令yerx为（1）的解并代入（1）得r2erxprerxqerx0所以有 r2prq0 称（2）为（1）的特征方程的根称为特征根。、当特征方程有两个不同的实根r和r1 2

时，则方程（1）有两个线性无关1求的通解.

y″－5y′=0解特征方程为λ2－5λ＝0λ1＝0，λ2＝5，故所求通解为y=C1+C2e5x其中C1，C2为任意常数.例2求方程y″－5y′+6y＝0x0时，y1,λ2－5λ+6＝0λ1＝2，λ2＝3，故所求通解为y=C1e2x