抽象代数总结复习题包括

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抽象代数复习题及答案

《抽象代数》试题及答案 本科

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，

并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题

3分)

1. 设Q是有理数集，规定

(x)等于（B ）

f(x)=

x+2；g(x)=

x2+1,

则（fg

）

A.

x2

2x

1

B.

x2

3

C.

x2

4x

5

D.

x2

x 3

2. 设f是

（A ）

A到

B的单射，

g是

B到

C的单射，则

gf

是A到

C

的

A. 单射

B. 满射

C. 双射

可逆映射

设S3={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，

S3中与元素（132）不能交换的元的个数是

(C)。A.1B.2C.3D.44.在整数环Z中，可逆元的个数是(B)。A.1个B.2个C.4个D.无限个5.剩余类环Z10的子环有(B)。A.3个B.4个C.5个6个6.设G是有限群，aG,且a的阶|a|=12,则G中元素a8的阶为(B)A．2B.3C.6D.9

7．设G是有限群，对任意a,bG，以下结论正确的是(A)

A.

整除G的阶

(ab)1 b1a1 B. b的阶不一定

C.G 的单位元不唯一 D.G 中

消去律不成立设G是循环群，则以下结论不正确的是(A)．．．

A.G 的商群不是循环群 B.G 的任何子

群都是正规子群

C.G是交换群 D.G的任何子

群都是循环群

9.设集合A={a,b,c}, 以下AA的子集为等价关系的是( C )

A.

B.

C.

D.

R1

R2

R3

R4

{(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}

{(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}

{(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}

{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}

设f是A到B的满射，g是B到C的满射，则gf是A到C的

B）

A. 单射 B. 满射 C. 双射

可逆映射

设S3={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，

则S3中与元素（12）能交换的元的个数是(B)。A.1B.2C.3D.4

12.在剩余类环A.1

Z8中，其可逆元的个数是个B.2个

(

D )。

C. 3个

4个

设（R，+，·）是环，则下面结论不正确的有(

C )。

A. R的零元惟一

C. 对a R，a的负元不惟一

14. 设G是群，aG,且a

B. 若x a

D. 若a

的阶|a|=12,

0，则x a

b a c，则b

则G中元素

c

a32的

阶为(B )A．

2

B.3

C.

6

D. 9

15．设

G是有限群，对任意

a,b

G，以下结论正确的是

(A

)

A. |a||G|

元不唯一

D.

B.|b|=

方程ax

b在

∞

G中无解

C.G

的单位

设G是交换群，则以下结论正确的是(B)

．．

A.G的商群不是交换群B.G的任何子群都是正规子群C.G是循环群D.G的任何子群都是循环群17.设A={1，-1,i，-i}，B={1,-1},:A→B,aa2,a∈A，则是从A到B的(A)。A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射18.设A=R（实数域），B=R（正实数集），10a，a:a→∈A，则 是从A到B的(C) 。

A.满射而非单射

B. 单射而非满射

C. 一一映

射

19.设

映射作成

D. 既非单射也非满射

A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下

A到A的一个子集的同态满射的是 ( C )。

A.x

C.x

→10x

→|x|

B.x

D.x

→2x

→-x

数域P上的n阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法(

C )

A.构成一个交换群

B. 构成一个循环群

C.构

成一个群 D. 构成一个交换环

21.在高斯整数环Z[i]中，可逆元的个数为（ D ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

22.剩余类加群Z8的子群有( B )。

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

23. 下列含有零因子的环是 （ B ）

A.高斯整数环Z[i] B. 数域P上的n阶全矩阵环

C.偶数环2Z D. 剩余类环Z5

24．设(R,+,·)是一个环，则下列结论正确的是（ D ）

A.R中的每个元素都可逆 B. R的子环一定是理想 C.

R一定含有单位元 D.R 的理想一定是子环

25．设群G是6阶循环群，则群 G的子群个数为（ A ）

A．4个 B.5 个 C. 6 个 D. 7

个26. 设A={a,b,c}，B={1,2,3},

则从集合

A到集合

B的满

射的个数为 (D)。

A. 1 B. 2 C. 3

D. 6

设集合A={a,b,c},则以下集合是集合A的分类的

(C)

A. P1={{a,b},{a,c}} B. P2 =

{{a},{b,c},{b,a}}

C. P3={{a},{b,c}} D. P4 =

{{a,b},{b,c},{c}}

28. 设R=

0a,bZ，那么R关于矩阵的加法和乘法构成0 b

环，则这个矩阵环是( A )。

A. 有单位元的交换环 B.

无单位元的交换环

C. 无单位元的非交换环 D.

有单位元的非交换环

设S3={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，

则S3的子群的个数是(D)。A.1B.2C.3D.630.在高斯整数环Z[i]中，单位元是(B)。A.0B.1C.iD.i31..设G是运算写作乘法的群，则下列关于群G的子群的结论正确的是(B)。A.任意两个子群的乘积还是子群B.

任意两个子群的交还是子群群的并还是子群定是正规子群

C.任意两个子

D.任意子群一

7阶循环群的生成元个数是(C)。A. 1

B. 2

C.

6

D. 7

(

33.设

D

A.

A={a,b,c}

)。

1

，B={1,2,3},

B. 6

则从集合

C.

A到集合B的映射有

18 D.

2734.设G,为群，其中G是实数集，而乘法

G中固定的常数。那么群 G, 中的单位元

:a b

e和元

a b k，这里k为

x的逆元分别是

D）

A.0和x； B.1 和0； C. k和x 2k； D. k和

(x 2k)}

35.设a,b,c和x都是群G中的元素，且 x2a bxc1,acx xac，那么 x

A）

A.bc1a1； B. c1a1； C. a1bc1； D. b1ca。

36.下列正确的命题是（A）

欧氏环一定是唯一分解环；B.主理想环必是欧氏环；

C.唯一分解环必是主理想环； D. 唯一分解环必是欧氏

环。

37．设H是群G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH。如果|H|6，那么G的阶G（B）

A.6；B.24；C.10；D.12。设G是有限群，则以下结论正确的是（A）

．．

A.G的子群的阶整除G的阶B.G的任何子群都是正规子群

C.G 是交换群 D.G 的任何子群都是循环

群

39．设f:G1 G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是

D）

A.f的同态核是G1的正规子群；B.G2的正规子群的原象是G1的正规子群；

C.G1的子群的象是G2的子群；D.G1的正规子群的象是G2的正规子群。

关于半群，下列说法正确的是：（A）A.半群可以有无穷多个右单位元 B.

群一定有一个右单位元

C.半群如果有右单位元则一定有左单位元

群一定至少有一个左单位元

半

D. 半

二、填空题

(每空

3分)

设A是m元集，B是n元集，那么A到B的映射共有

（nm）个.2.n次对称群Sn的阶是（n！）.3.一个有限非交换群至少含有（6）个元素.4.设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有（p1)个.5.除环的理想共有（2）个.

6.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是

（［4］）.7.在i+3,2,e-3中，（i3）是有理数域Q上的代数元.8.2在有理数域Q上的极小多项式是（x22）.9.设集合A={a,b}，B={1,2,3}，则AB={(a,1）（,b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)}.）

10.设R是交换环，则主理想(a)=（Ra{rama|rR,mZ}.）11．设(5431),则1(1345).12.设F是9阶有限域，则F的特征是（3）.13．设1(351),2(2154)是两个循环置换，则21（（1342））14.设F是125阶有限整环，则F的特征是（5）.15.设集合A含有3个元素，则AA的元素共有（9）个.设群G的阶是2n,子群H是G的正规子群，其阶是n,则G关于H的商群所含元素的个数是（2）.

17.设a、b是群G的两个元，则(ab)1=（b1a1）.18.环Z10的可逆元是（[1],[3],[7],[9]）.欧式环与主理想环的关系是（主理想环不一定是欧式环，但欧式环一定是主理想环）.

20．如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f1fa (a)。

21.设群G中元素a的阶为m，如果an e，那么m与n存在整除关系为（m整除n）。22．设(31425)是一个5-循环置换，那么((52413)).。123．有限群G的阶是素数p，则G是（循环24．若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么

）群。

中的元素

可以表达为

（{有限和 xiayi|xi,yi R}）。i

25．群(Z12,)的子群有（ 6 ）个。

26．由凯莱定理，任一个抽象群G都同一个（群G的变换群）同构。

27．设A、B分别是 m、n个元组成的集合，则|AB|=

（mn）。28．设A={a,b,c}，则可定义A的（5）个不同的等价关系。A的分类M={{a,c},{b}}确定的等价关系是R({(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a)}）。29.设G是6阶循环群，则G的生成元有（2）个。非零复数乘群C*中由-i生成的子群是

（{i,i,1,1}）。31.剩余类环Z7的零因子个数等于（0）。32.素数阶有限群G的子群个数等于（2）。剩余类环Z6的子环S={［0］,［3］},则S的单位元是

（ [3] ）。

34．群 :G~~G，e是G的单位元，则 (e)是（G的单位元 ）。

35.复数域的特征是（0）.36.在剩余类环(Z12,,?)中，[6]?[7]=（[6]）.37.在3-次对称群S3中，元素(123)的阶为：（3）.38.设Z和Zm分别表示整数环和模m剩余类环，则环同态f:ZZm,n[n]的同态核为（mZ{mr|rZ}）39.32在有理数域上的极小多项式为（x32）40.无限循环群一定和（整数加群(Z,)）同构.三、判断题(判断下列说法是否正确，正确的请打“√”，错误的请打“”，每小题3分)设G是群，则群G的任意两个子群的并仍是群G的

子群。（）

群的有限子集（非空）构成子群，当且仅当该非空子集的任何两个元素在G的运算之下，仍在该非空子集之中。（√）

3.设G是非零实数在数的乘法运算之下构成的群。 f:

G→G是一个映射，且 f(x)=7x,xG.则f是G到G的同态映

射。（ ）

一个环如果有单位元，则它的子环也一定有单位元。

（）

5.设G是群，则群G的任意两个正规子群的交仍是群G的正规子群。（√）

设G是n阶有限循环群，则G同构于模n剩余类加群Zn。（√）

7.设:G°G是群同态，则将G的单位元不一定映射为的单位元。（）°

设R是环，A，B是R的任意两个理想，则AB也是

R的理想。（√）

9. 域 的 特 征 可 以 为 任 何 自 然 数 .

（ ）

群的任何两个正规子群的乘积仍然是正规子群.

（√ ）

4次交错群A4在4次对称群S4中的指数为4.

（ ）

复数域是实数域的单代数扩张。

（√）

13.除环一定是域.（）14.3-次对称群S3的中心是(1).

（ √ ）

15. 整 数 环 的 商 域 是 有 理 数 域 .

（ √ ）

无限循环群和整数加群同构.

（√）17.多项式x23在有理数域上可约。（）在特征为p的域F中始终有(ab)papbp,a,bF.

（ √ ）

19. 高 斯 整 数 环 Z[i] 是 唯 一 分 解 环 .

（ √ ）

20．有限集合到有限集合的单射不一定是满射。

（ ）

有限群的任何子群的阶一定整除这个群的阶。

（√）

22.设:G1 G2是群G1到群G2的同态， 则同态核Ker()是G1的正

规子群. （ √ ）

素数阶群不一定是循环群。

（）

24.设(Z,,?)为整数环，p为素数，则(pZ,,?)是(Z,,?)的极大理想。

（√ ）

四、证明题

设Q为有理数域，设T{ab2|a,bQ}，则T按数的乘法和加法构成一个域.（6分）

证明：T非空，且T是实数域的一个子集。T关于数的加法、乘法封闭是显然的，而且0ab2T,(ab2)1T,这样我们就得T关于加法、乘法构成实数域的一个子域.，因此T按数的乘法和加法构成一个域.。

设E是F的扩域，且（E：F）=1，则E=F.（6分）

证明：用反证法：若EF，则存在xE,xF，这样(E:F)2，矛盾！

证明：交换群的商群是交换群.（8分）

证明：设G为交换群， 且HG，则GHG关于正规子群

的商群，且对任意aH,bHH,有,G(aH)(bH)(ab)H(ba)H(bH)(aH)

GH是交换群.

设A{1,1,i,i},B{1,1}，“·”是数的乘法，证明：（A，·）～（B，·）。（这里“～”表示（A，·）与（B，·）是满同态）（8分）

证明：构造映射： f:A B,1 1,1 1,i 1,i 1，则容易验证 f是

(A,)到（B,)的同态映射.

5.证明：设G=a0|aR，则G关于矩阵乘法构成（R22,）的子00半群.（6分）证明：对任意的

a0b0a0b0ab00,0G,00000G，故由子半群000的判定知， G关于矩阵乘法构成（ R22,）的子半群，得证 .

设a是群G的任一元素，若a的阶|a|=2，求证：aa1.（6分）证明：由题设我们知道：a2e,对这个式子的两边同时乘

a1得

a1a2 a1e, (a1a)a a1

利用群G中逆元和单位元的性质，即得， a a1.7.设ε=13i，即31=1，G=1,,2，证明：有如下的群同构：2（Z3， ）≌（G，·），这里σ（[0]）=1，σ（[1]）=ε，σ（[2]）

2。（8分）

证明：容易验证下述映射

：Z3G,[0]1,[1],[2]2是双射，且保持运算，即：([i][j])([i])([j]),[i],[j]Z3.由同构映射的定义，即得（Z3，）≌（G，·）.设G是R2×2中所有可逆矩阵组成的集合，

（i）.证明G关于矩阵的乘法成群。（6分）

(ii).01的阶是多少？（4分）-10(iii).11的阶是多少？（4分）01(iv).证明G不是交换群.（6分）

解：（i）注意到由线性代数知识有：方阵可逆当且仅当它的

行列式不为零， 而且两个方阵的乘积的行列式等于它们行列

式的乘积，由此A,BG,A1G,ABG,故G关于矩阵的乘法成群.(ii).注意到此时群G的单位元是：10，经过简单计算，我们0101可知-10的阶是3.

(iii).11的阶是.01(iv).通过简单计算，得01111101，故G是非交换10010110群。

解答题：

设Q是有理数集，“+”是数的加法，找（Q，+）的所有不同的自同构映射。（8分）

解：对任意xQ，定义fx:QQ,aax,对aQ,则集合{fx|xQ,但x0}为(Q,)的所有自同构映射.２．设G=，其中A1=101010A1,A2,,A801,A20-1,A301,A4=10,A5i0,A6i0A7=i0,A8i00-10i0-i0-i0i列出G的乘法（矩阵乘法）运算表。

解：运算表如下：

A1 A2 A3 A4 A5 A6·A7 A8

A1 A1 A2 A3 A4 A5 A6

A7 A8

A2A2A1A4A3A6A5A3A3A8A7A4A4A4A2A8A7A6A5A5A6A5A6A6A3A2A1A7A8A7A7A5A6A8A8A6A8A7A2A1A3A4A5A7A8A1A2A4A3A8A6A5A3A4A2A1A7A5A6A4A3A1A2

３．（１）写出３－次对称群 S3的所有元素；（４分）

（２） 求出S3中所有元素的阶；（６分）

（３）求出 S3中所有元素的逆元 .（６分）

解：

(１)S3的全部元素为：0123，123，123，3123，1123113222132314323，5123．21312（２）各元素的阶为：|1||2||4|2,|3||5|3,|0|1.（３）0，1，2，3，4，5的逆元分别为：0，1，2，5，4，3．

４．找出Z12中的所有零因子．（６分）解：[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]为所有的零因子．５．在有理数域的扩域Q（32）中，求1+32的逆。（１０分）解：由于32在Q上的最小多项式是p(x)=x3-2，因此由定理，得到Q(32){a0a132a224a0,a1,a2Q}由于1+32在Q(32)的逆元仍然是Q(32)中的元素，故可设1+32在Q(32)的逆元为a0a132a234,则（1+32）（a0a132a234）=1将p(32)=(32)3-2=0代于上式，并经过简单计算，得到(132)1设H{[0],[3],[6],[9]}≤Z12，写出Z1