建筑力学第章平面力系

1建筑力学第二章平面力系

教师：邹定祺主要内容：平面汇交力系力对点的矩和力偶平面任意力系的合成与平衡重点：力在直角坐标轴上的投影合力投影定理力矩、力偶平面任意力系的合成与平衡平衡方程的应用22.1平面汇交力系的合成与平衡

平面汇交力系—所有的力的作用线都相交于一点的平面力系2.1.1平面汇交力系的合成与平衡的几何方法平面汇交力系的合成—力的多边形法；平面汇交力系的平衡—多边形闭合，最后一个力的终点与第一个力的起点相重合。

FRF4F5F4

F1F3

F2F1F2F3FR=F1+F2+F3+F4FR=F1+F2+F3+F4+F5=03F12F1232.1.2平面汇交力系的合成与平衡的解析法1.力在直角坐标轴上的投影

Fx=FcosαyFy=FcosβF=√Fx2+Fy2b2Bcosα=Fx/F

Fy

Fy

β

Fcosβ=Fy/Fa2Aα

Fx

oa1

FXb1

x

4注意：51、力的投影为代数量有正负号；2、在直角坐标系下，投影的绝对值等于分力的大小；3、若分力指向轴的正向，则投影为正，否则为负。

Fx=FcosαFy=-FsinαF=√Fx2+Fy2tanα=FyFxFYxyoa′b′FXαFBAab2.合力投影定理

CFR=F1+F2+F3+F4

F2F3FRx=ae

F1x=ab

BF2x=bcF3x=cdF1

DF4x=-deAae=ab+bc+cd-de

FREF4FRX=F1X+F2X+F3X+F4XabcedxFRX=F1X+F2X+…+FnX=∑FiX同理：FRy=F1y+F2y+…+Fny=∑Fiy63.平面汇交力系合成的解析法

α

为合力FR与x轴所夹的锐角，合力的指向由FRX、Fry的符号判定。74.平面汇交力系平衡的解析条件由可得平面汇交力系的平衡方程：8【例2-4】重量为W的重物，放在倾角为α的光滑斜面上，如下图所示，求保持重物平衡时需沿斜面方向所加的力F和重物对斜面的压力FN。【解】∑Fx=0Wsinα

–F=0

∑Fy=0-Wcosα

+FN=0解得F=Wsin

αFN=Wcosα

则，重物对斜面的压力FN’=Wcosα，指向与FN相反。

9FWWFFNyx

α

α

o【例2-5】重W=20kN的重物被绞车匀速吊起，绞车的绳子绕过光滑的定滑轮A,，滑轮由不计重量的杆AB、AC支撑，A、B、C三点均为光滑铰链，可忽略滑轮A的尺寸。求杆AB、AC所受的力。【解】（1）首先检查有无二力杆

注意到AB、AC都是二力杆，分别画出其受力图，它们的受力方向未知，假设两杆都受拉。10AB

CW3412AABCFABF’ABFBAFACFCAF’ACFT2FT1yxA（2）取滑轮A为研究对象（分离体），因忽略滑轮的尺寸，把A看成一个点。（3）画受力图

重物W通过绳索直接加在滑轮的一边，在其匀速上升时拉力FT1=W，而绳索又在滑轮的另一边施加同样大小的拉力，即FT1=FT2=W=20kN。AB、AC两杆作用在A上的反力也通过A点，如图所示,四个力交于一点，为平面汇交力系，取坐标轴Axy。（4）列平衡方程

四个力中F’AB和F’AC未知，平面汇交力系有两个方程，可解。F’AB∥x轴，那么，在∑Fy=0的方程中F’AB在y轴上的投影为0，方程中就只有一个未知力F’AC，11122.2力对点之矩与平面力偶2.2.1力对点之矩—简称为：力矩在力的作用下，物体将发生移动和转动。力的转动效应用力矩来衡量，即力矩是衡量力转动效应的物理量。讨论力的转动效应时，主要关心力矩的大小与转动方向。131.定义力臂—某定点O到力F的作用线的垂直距离。矩心—该点O称为矩心。力对点之矩—力使物体绕某点转动效应的度量。其数值等于力的大小F与力臂d的乘积。其方向，规定：力使物体绕矩心逆时钟方向转动时力矩为正，反之为负。记为MO(F)=±Fd力矩的单位是N·m或kN·m。

odF

14力对点之矩的特点：1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关，力矩随矩心的位置变化而变化。2）力对任一定点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。1516例

求图中荷载对A、B两点之矩(a)(b)解：图（a）：MA=-8×2=-16kN·mMB=8×2=16kN·m图（b）：

MA=-4×2×1=-8kN·mMB=4×2×1=8kN·mFR=4kN/m×2m2.合力矩定理平面汇交力系的合力对该平面上任一点之矩等于各个分力对该点之矩的代数和。

反之，一个力对任一点的矩，可以分解为其各个分力对该点之矩的代数和。常用的是将一个力分解为互相垂直的两个力，其力矩等于这两个分力对该点之矩的代数和。17力对某点的矩等于该力沿坐标轴的分力对同一点之矩的代数和。MO(F)=xFy-yFx18yxOxyAB19例

求图中力F对A点之矩解：将力F沿X方向和Y方向等效分解为两个分力，由合力矩定理得：由于dx=0，所以：2.2.2力偶与力偶的性质1.力偶的概念力偶臂—大小相等、方向相反、F’作用线互相平行但不重d合的两个力所组成的力F系，称为力偶，记为（F,F’)。

202.力偶矩力偶的释作用效障用是使朗物体发尼生转动万。这个播效用的净度量称妹为力偶羡矩。力偶（F,博F’)对平面内念任意一点O之矩，可绘以看成力茄偶的两个踏力对O点之矩劝的和，旗即MO(F,欺F’)须=MO(F)炸+MO(F’)芹=F·(x狗+d)刘-F’认·x=狗Fdd炼F’F字x·o从上式，丹可以看出祖，力偶矩乓（力偶的宾转动效应币）与x无关，迷即与矩炉心O的位置无汉关，只取代决于力的肺大小和力井偶臂的长以短。21··故，力偶肚矩等于力耀偶的任一著力的大小顿与力偶臂众的乘积，汗用M(F,熟F’）或M表示，即M=M排(F,萄F’)遗=±Fd其转向，衔使物体逆汗时钟方向叠转动为正屋，反之为谜负。力偶的单缎位和力矩增的单位相叉同。为N.m或kN.m。力偶的三戴要素：力印偶矩的大视小、力偶款作用面在昂空间的方覆位和力偶扁在作用面旬内的转向昏。223.力偶的性孟质1）力偶瓣与力一牵样，是壳一种基始本力学石量：一个力偶洪中的两个城力F与F’在任意坐咏标轴上的棉投影的代链数和等于幸零，因此询不存在合锯力，不能瓦用一个力粥与之等效保，且其作老用线不在谈同一条直三线上，也约不是平衡乒力。即力润偶对物体卧只有转动贴效应，没市有移动效忽应。力偶旗是一种不圈可能再简踪蝶化的力系载，它与力隐一样，是都一种基本薪力学量。不能用锐力与力恨偶平衡验，力偶昨只能用再力偶来绩平衡。2）平面宏力偶的极等效定油理：同一平面占内的两个五力偶的力咸偶矩若相裤等，那么斥它们对刚刷体的转动邪效应完全熔相等，两肥力偶彼此混等效。由此可得文出下面两鞭个推论：23（1）只要保格持力偶矩纽奉不变，力司偶可以在还其作用的锄平面内任随意移动，借而不会改显变它对刚弃体的作用霜效应。（2）只要保巧持力偶的错转向和力艺偶矩的大边小不变，择可将力偶灾中的力和洋力偶臂做棉相应的改昼变，而不波会改变其吵对刚体的庸作用效应晃。因此，悬力偶可以司用其力的沾大小和力耳偶臂的长楚短来表示豆，也可以情用力偶矩疤来表示，细如下图所叫示。30N惨40乡丰N犬60N0.08已m匆=浮0.06垮m楼=扬0.凡04m划=某M=2.脚4N·m30N40N荷60N242.2赌.3平面力笋偶系的揪合成..M1F2’穗F1’慢FR’.蛮=挖d拥=妻d.御M2F2FR.乌F1F1=F1’=M1/d亚F2=F2’=M2/d赠M=FR·d=愚(F1-F2)d=M1+M2M=M1+M2+…+Mn=∑Mi2.2.忽4平面力偶迈系的平衡25【例2-8接】如图所万示三铰纸拱，其限左半部AC上作用一称力偶，其认力偶矩为M。求铰A和B处的反力仪。BC为二力担杆。FA和FB应组成腊一力偶记才能与M平衡，符故FA=-FB力偶臂d=2a奋cos4摊5o∑Mi=0槽FA·2ac费os45o-M=0Fa=FB=M√绵2/2a26FBFBMMAABBBFCBCFACCaaad.27力矩是力使副物体绕对某点转阴动效应亭的度量力偶矩是力偶病使物体葬转动效芽应的度筐量二者相同融点：单位统绑一,符号规定篇统一二者主要受区别：力矩随矩心位奏置的不同双而变化。力偶使物体枕转动的芳效果与在所选矩绩心的位戒置无关,它完全由朋力偶矩这芳个代数量豆唯一确定馋。力矩与力腊偶的比较P42：习题牺：2-1棵,2-贡2,2松-3,导2-4仰,2-砌5282.3平面任盼意力系漠的合成滴与平衡2.3留.1力的平渐移定理.仓y搞y绝FBy希FB.科B泳BdB戚M.蹦A馆FAF’BA月FAA..0蔬x炎0纸x鲁0叙xFA=FB=-F’BM=FA·d=MB(FA).作用在刚民体上点A的力，疫可以将穴其平移松到刚体揪上任一烟点B，但必土须同时断附加一袖个力偶职，这力皆偶的矩萝等于原坑力对新挡作用点B的矩。29力的等桐效平移蝴的几个查性质：1、当力优平移时啄，力的材大小、睡方向都赏不改变托，但附阴加力偶饲的矩的侍大小与浩正负一财般要随世指定O点的位置堪的不同而势不同。2、力平移由的过程是恐可逆的，罪即作用在蛇同一平面深内的一个溪力和一个捐力偶，总温可以归纳志为一个和滑原力大小谦相等的平堤行力。3、力平移碗定理是把途刚体上平鼓面任意力某系分解为熊一个平面停共点力系号和一个平帜面力偶系鸽的依据。302.3.介2平面任耀意力系矛向作用腰面内任抵一点的贱简化力系向扒任意一利点O的简化应用力的捏等效平移名定理，将潜平面一般乘力系中的各减个力（以缺三个力为碌例）全部悼平行移到作用京面内某谋一给定麻点O。从而翁这力系傲被分解为一宫个平面越汇交力贸系和一絮个平面类力偶系闻。这种等效窑变换的方错法称为力福系向给定进点O的简化。关点O称为简化禽中心。31平面任锈意力系土向作用听面内任厚一点的孕简化可哨得一主矢与一主矩yy.劈燕y拣F1FR’M0(F1)愧F1’.诞0削x攀0优x乒0截M0xF2F2M0(F3)盾M0(F2).炉F3F3’截F2’汇交力系F1、F2、F3的合成结匹果为一作诞用在点O的力FR。这个力豆矢FR称为原平贵面任意力密系主矢。附加力翻偶系的迁合成结俱果是一匪个作用瓶在同一近平面内的力偶M，称为原丑平面任意侦力系对简捆化中心O的主矩。32主矢FR’=F1+F2+…+Fn=∑Fi主矩M0=M0(F1)+M0(F2)+…+也M0(Fn)=∑M0(Fi)注意：主矢的把大小和贪方向与薄简化中或心的位宫置无关主矩大小亩与转向与塘简化中心受的位置有方关。33为了求干出平面够任意力净系的主黎矢的大豪小和方碌向，可钉应用解胀析法。舌通过0点取坐肆标系xoy，应用漠合力投阻影定理滤，则有342.3夏.3平面任意扎力系简化陪结果得讨钳论分析（1）FR’=0浴,M0=0—平衡（2）FR’=0姐,沿M0≠0—主矩(合力偶）（3）FR’≠们0阿,M0=0—主矢（引合力）（4）FR’≠丛0踢,M0≠0级FR’≠我0针,M0=0—主矢..溪FR’胞FR’对FRFR.供M0.盲=额=.表0雄0报d势0野’鸦0枕0括’.垮FR’’.d=M0/FR’352.3.镇4平面任弊意力系务的平衡抓条件和勤平衡方引程由FR’=0拦,钻M0=0可表达为各：(1)一矩式梁：猴∑Fix=0∑Fiy=0∑MB(Fi)=0(2)二矩式祝∑Fix=0式中矩心A、B两点∑MA(Fi)=0的连线不勇能与x轴∑MB(Fi)=0垂直。(3)三矩式是∑MA(Fi)=0式中三捡个矩心A、∑MB(Fi)=0录B、C不能在一慨条∑MC(Fi)=0直线上。36【例2-1访1】如图所讯示的平座面梁。质梁上受邀最大集页度为q的分布荷里载，并在B端受一凉集中力F。求A端的约束部反力。【解】（1）取分离妹体，以AB为研究对土象。（2）画受力题图。AB上的主顷动力有鸣集中力F和一个三腥角形分布浓荷载，三康角形分布婚荷载可以失合成为一落个合力F1，其大球小为F1=qL/卧2,方向与分区布力相同害，作用点渗在距A点L/3处。A端为固裹定端，些约束反光力为Fax,Fay,MA。37qαLFABαFLABxyFAYFAXMAL/3F1（3）建立疮图示坐邀标系，艺列平衡狗方程。∑Fix=0,潮FAx-Fsi液nα=0∑Fiy=0,碗FAy-Fco元sα-F1=0∑MA(Fi)=0,壳-MA-F1L/3宇-FL支cosα=0解得FAx=Fs伶inα,Fay=qL/舱2+Fc沟osα,MA=-q右L2/6-沟Flc丽osα38FF1FAyFAxMAyxLαL/3AB【例2-12绸】图(a)所示伸臂啊梁，求支级座约束反垫力。【解】（1）取分离没体，受力绑图如（图育（b）所示耍。（2）建坐借标系，擦列平衡琴方程由∑Fix=0,可知反由力FAx=0,因此，梁AC受到平面乱平行力系趴作用，即狮梁上所有龄的力都平播行于y轴。以后库遇到这种膨类似的情怜况，就可坏以不画FAx。39qF=qa2aaABCyxFAxFAyF1=q2筝aF=qaFBaaa(a)(b)∑Fiy=0狼FAy+FB-F1-F剧=0FAy+FB-q威2a-辣qa=懂0∑MA(Fi)=0愉FB×2a钢-币F1×方a-乞F×易3a=间0FB×2a慰-班2qa2–3湖qa2=0解得Fay=qa矿/2翁FB=qa5蕉/2由此题饰可以得昼出，当柏平面力仇系中所侨有力的英作用线相互平行茅时，则组蹄成平面平听行力系，王平面平行候力系可列出两蕉个独立的熄平衡方程娃，只能出训求两个未膜知量。即傍∑Fiy=0∑MA(Fi)=0此为平面读平行力系惰平衡方程40【例2-13筝】图(a)所示结决构，已F=15祖kN,M傻=20k竞N.m,求各约束疯反力，图屠中长度单至位为m。【解】（1）画出分柱离体AB。（2）受力分币析，画受力图。CD、BE都是二力除杆，A是可动沉支座，凤反力的作用线可违知，如图(b)。(3)建立坐问标，列碗平衡方捉程列平衡勿方程，叉尽可能爬一个方啄程含一访个未知判量，故41FMABCD45o60oE45o60oMFyxFAFCFBFACB(b)(a)D’422∑MD’(Fi)=0,辨FBsin6涉0o×8+FBcos巾60o×4-月F×2团-M=0∑Fix=0,度FCsin昌45o-FBcos6屋0o=0∑Fiy=0,您FA+FCcos4令5o+FBsin6假0o–F=忽0解得FB=3.纸36k此N,当FC=2.3鞭8kN,马FA=10江.41由kN解题步秒骤：（1）根据题垮意取研究慕对象，取惜出分离体挠。（2）分析研临究对象的域受力情况俊，正确画男出受力图雄。（3）建立款坐标系现，列平窃衡方程娇。列平掘衡方程浮时，力夏求一个朱方程中胀只出现咬一个未融知量，厨尽量避王免解联泻立方程桨。422.3怠.5物体系登的平衡也、静定思和超静军定问题静定问外题（结摄构）—系统（结君构）中未债知量的数胶目等于独讯立平衡方谣程的数目础时，则所出有的未知木量都能由冤平衡方程略求出。超静定明问题（兵结构）—系统（色结构）铜中未知乒量的数渔目多于娘独立平卵衡方程刘的数目转时，仅锄通过静燥力学平央衡方程福不能完峰全确定今这些未游知量。求解物防体系平江衡问题睬时，应阴根据问民题的特产点和待定未知帽量，可技选取整距个系统重或每个赖物体、劫也可选辟部分物体为梦研究对象爬，有目的渗的列出平零衡方程，顶并使每一个咐平衡方崖程中的要未知量哨个数尽炮可能少惜，最好敲是只含一尺个未知件量，以乳避免解顶联立方盗程。43【例2-14显】如下图(a),已知F1=10k还N,F2=20遇kN,求约束反轻力。图中叫长度单位能为m。【解】44F1F2ADCB2221.51.560OF1F2ADCB60OFAxFAyFDFB(a)(b)F1FDFAyFAxF’CxF’CyFBF260OFCxFCy(c)(d)（1）以CD为研究对呢象,其受力馋如（d）图所浙示。列里平衡方喊程∑Fix=0,况FCx–F2cos6及0o=0∑MC(Fi)=0略,姨FB×3鼠-F2cos6升0o×1.5密=0∑Fiy=0,绍FB+FCy–F2sin6帝0o=0解得FCx=10k常N,FCy=8.6北6kN,嚷FB=8.3瓶3kN（2）以系牺统整体减为研究神对象，告其受力近如图(b)所示，列平衡溜方程∑Fix=0,台FAx-F2cos泉60o=0∑MA(Fi)=0黑,FB×9+滑FD×4-疑F2sin6基0o×7.5拿–F1×2=蹄0∑Fiy=0,巾FAy+FD–F1–F2sin6曾0o=0解得FAx=10k佩N,滔FAy=0.6论6kN,未FD=18k的N45【例2-15汇】如图(a)组合梁小。已知F=1四kN,没M=0拌.5k爹N.m。各杆封的重量开不计。踢求固定抖端A的约束茧反力。462222MAEBGCFD3F(b)(c)(a)BMCFBxFByFGDGF’GDDFDFFDEF’DGFDGAEBCMFGDFDFMAFAxFAy(d)(e)（1）整体有确四个未知柱约束力，钱故首选BC研究对疗象，DG为二力遭杆，如嫁图(b)、(c)所示。∑MB(Fi)=0准,胁-霸M+(甜FGD×3/√条32+42)×2盐=0解得FGD=5/1汇2kN（2）以节点D为对象蔽，DE、DF为二力刚杆，如图(d)∑Fix=0,踢-柜(F’DG×4/场√32+42)-俘FDF=0解得FDF=-妖1/3依kN（3）以整瓶体为研尘究对象戒，如图(e)所示。∑Fix=0,冰Fax-FDF=0∑Fiy=0,辣FAy-F=棵0∑MA(Fi)=0挽,享F×橡4+里M豆-FDF×3于–MA=0解得FAx=-1/屯3kN,落FAy=1k揭N,饿MA=3.5贼kN47*习题豆：2-5，2-6，2-7，2-9（b)489、静夜帅四无邻溪，荒居僻旧业贫桂。。4月-叛234月-2吧3Fri疏day鞭,A栏pri舒l2小8,获202挣310、雨中黄亭叶树，灯辅下白头人矮。。11:4倦0:2811:4此0:2811:陵404/2蹄8/2恭023蓬11削:40裹:28淹AM11、以我吵独沈久丸，愧君旅相见频棵。。4月-2泳311:4弃0:2811:4散0Apr-枝2328-A板pr-2膜312、故人江丛海别，几篇度隔山川猪。。11:暑40:笋2811:4塔0:2811:4净0Fri锣day围,A眠pri败l2速8,蕉202畏313、乍见网翻疑梦胞，相悲呼各问年倘。。4月-2访34月-捡2311:4哭0:2911:4郑0:29Apr智il英28,难20盆2314、他乡生责白发，旧摆国见青山伶。。28四弓月20返2311:4裁0:29汽上午11:4谱0:294月-岩2315、比不了例得就不比书，得不到违的就不要搁。。。四月2唤311:姻40有上午4月-2锈311:始40Apr寄il术28,妈20闪2316、行动奖出成果谊，工作委出财富属。。2023拾/4/2遥811匪:40:征2911:蒙40:纹2928纵Apr派il径202采317、做前，湾能够环视殃四周；做剥时，你只富能或者最章好沿着以圣脚为起点弹的射线向合前。。11:也40:森29突上午11:签40逃上午11:裕40:茧294月-2遗39、没有尺失败，究只有暂缸时停止紫成功！煌。4月-销234月-走23Frid索ay,州Apri刷l28私,20将2310、很多雷事情努利力了未砌必有结层果，但犯是不努男力却什牌么改变对也没有角。。11:钓40:聚2911:4会0:2911:4真04/28供/202痛311勒:40:兵29A殃M11、成功就晴是日复一膜日那一点驴点小小努师力的积累他。。4月-2抛311:袖40:舍2911:将40Apr外-2328-却Apr暗-2312、世间成岔事，不求壮其绝对圆道满，留一腿份不足，铸可得无限节完美。。11:鲜40:咸2911:4浆0:2911:习40Frid蛛ay,算Apri像l28挠,20猴2313、不知流香积寺诸，数里碰入云峰贡。。4月-散2