第05章整数规划与分配问题

毕德春辽东学院信息技术学院运筹学第五章整数规划与分配问题第一节整数规划问题的数学模型例：某服务部门各时段（每2小时为一时段）需要的服务员人数如下表，按规定，服务员连续工作8小时（即4个时段）为一班，现要求安排服务员的工作时间，使服务部门服务员总数最小。时段12345678服务员最少数目10891113853解：设第j时段开始时上班的服务员人数为xj，由于第j时段开始时上班的服务员将在第(j+3)时段结束时下班，故决策变量只需考虑x1,x2,x3,x4,x5，此问题的数学模型为：第一节整数规划问题的数学模型此类问题数学模型的一般形式为：求一组变量X1,X2,…,Xn，使第一节整数规划问题的数学模型例：某单位有5个拟选择的投资项目，其所需投资额与期望收益如下表。由于各项目之间有一定联系，A、C、E之间必须选择一项且仅需选择一项；B和D之间需选择也仅需选择一项；又由于C和D两项目密切相关，C的实施必须以D的实施为前提条件，该单位共筹集资金15万元，问应该选择哪些项目投资，使期望收益最大？项目所需投资额（万元）期望收益（万元）A610B48C27D46E59第一节整数规划问题的数学模型解：决策变量：设目标函数：期望收益最大约束条件：投资额限制条件6x1+4x2+2x3+4x4+5x515项目A、C、E之间必须且只需选择一项：x1+x3+x5=1项目C的实施要以项目D的实施为前提条件：x3

x4项目B、D之间必须且只需选择一项：x2+x4=1归纳起来，其数学模型为：第一节整数规划问题的数学模型上例表明，利用0-1变量处理一类“可供选择条件”的问题非常简明方便。下面再进一步分别说明对0-1变量的应用。假定现有m种资源对可供选择的n个项目进行投资的数学模型为：求一组决策变量X1,X2,…,Xn，使第一节整数规划问题的数学模型根据变量取整数的情况，将整数规划分为：（1）纯整数规划，所有变量都取整数.（2）混合整数规划，一部分变量取整数,一部分变量取实数（3）0-1整数规划,所有变量均取0或1第一节整数规划问题的数学模型考虑纯整数问题：整数问题的松弛问题：第一节整数规划问题的数学模型求解ILP问题方法的思考：“舍入取整”法：即先不考虑整数性约束，而去求解其相应的LP问题（称为松驰问题），然后将得到的非整数最优解用“舍入取整”的方法。这样能否得到整数最优解？第一节整数规划问题的数学模型例

：设整数规划问题如下

首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（松弛问题）。第一节整数规划问题的数学模型用图解法求出最优解x1＝3/2,x2=10/3且有Z=29/6。现求整数解（最优解）：如用“舍入取整法”可得到4个点即(1，3)(2，3)(1，4)(2，4)。显然，它们都不可能是整数规划的最优解。按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集，如图所示。x1x2⑴⑵33(3/2,10/3)第一节整数规划问题的数学模型因此，可将集合内的整数点一一找出，其最大目标函数的值为最优解，此法为完全枚举法。如上例：其中（2，2）（3，1）点为最大值，Z=4。常用的求解整数规划的方法有：割平面法和分支定界法，对于0－1规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。第一节整数规划问题的数学模型第二节分配问题与匈牙利法在实际中经常会遇到这样的问题，有n项不同的任务，需要n个人分别完成其中的一项，但由于任务的性质和各人的专长不同，因此各人去完成不同的任务的效率（或花费的时间或费用）也就不同。于是产生了一个问题，应指派哪个人去完成哪项任务，使完成n项任务的总效率最高（或所需时间最少），这类问题称为指派问题或分派问题。分配第i个人去完成第j项任务不分配第i个人去完成第j项任务例：有一份说明书，要分别译成英、日、德、俄四种文字，交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因各人专长不同，他们完成翻译不同文字所需的时间（h）如下表，应如何分配，使这四个人分别完成这四项任务总的时间为最小？第二节分配问题与匈牙利法第二节分配问题与匈牙利法分配问题的数学模型：设n个人被分配去做n件工作，规定每个人只做一件工作，每件工作只有一个人去做。已知第I个人去做第j件工作的的效率（时间或费用）为Cij(i=1.2…n;j=1.2…n)并假设Cij≥0。问应如何分配才能使总效率（时间或费用）最高？设决策变量1分配第i个人去做第j件工作

xij=0相反(I,j=1.2.…n)其数学模型为：第二节分配问题与匈牙利法

任务人员ABCD甲215134乙1041415丙9141613丁78119例：用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩阵分别如下：第二节分配问题与匈牙利法2497第二节分配问题与匈牙利法42第二节分配问题与匈牙利法◎Ø◎ØØ◎◎第二节分配问题与匈牙利法例：

有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？

任务人员ABCD甲67112乙4598丙31104丁5982第二节分配问题与匈牙利法第一步，变换系数矩阵：－5第二步，试指派：◎◎◎ØØ

只找到3个独立零元素第二节分配问题与匈牙利法第三步，作最少的直线覆盖所有0元素：◎◎◎ØØ√√√独立零元素的个数m等于最少直线数l，即l＝m=3<n=4；第四步，变换矩阵(bij)以增加0元素：没有被直线覆盖的所有元素中的最小元素为1，然后打√各行都减去1；打√各列都加上1，得如下矩阵，并转第二步进行试指派：第二节分配问题与匈牙利法000000得到4个独立零元素，所以最优解矩阵为：◎◎◎ØØ√√√◎◎◎ØØ最优值:15=2+4=1+8◎◎◎ØØ◎第二节分配问题与匈牙利法115764戊69637丁86458丙9117129乙118957甲EDCBA费工作用人员例：用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩阵分别如下：第二节分配问题与匈牙利法-1-2第二节分配问题与匈牙利法◎Ø◎◎◎ØØ第二节分配问题与匈牙利法◎Ø◎◎◎ØØ√√√第二节分配问题与匈牙利法◎Ø◎◎◎ØØ第二节分配问题与匈牙利法◎Ø◎Ø◎Ø◎Ø√√√√√√√第二节分配问题与匈牙利法◎Ø◎Ø◎Ø◎Ø√√√√√√√第二节分配问题与匈牙利法◎Ø◎Ø◎Ø◎Ø√√√√√√√第二节分配问题与匈牙利法◎ØØ◎ØØ◎Ø◎Ø◎此问题有最优解是唯一的吗？最优值：28=5+7+6+6+4第二节分配问题与匈牙利法◎ØØ◎ØØ◎Ø◎Ø◎第二节分配问题与匈牙利法◎ØØ◎ØØ◎Ø◎Ø◎第二节分配问题与匈牙利法例：用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩阵分别如下：第二节分配问题与匈牙利法4821第二节分配问题与匈牙利法非标准型的指派问题最大化指派问题：设m为最大化指派问题系数矩阵C中最大元素。令矩阵B＝（m-cij）nn则以B为系数矩阵的最小化指派问题和原问题有相同的最优解。例：

某人事部门拟招聘4人任职4项工作，对他们综合考评的得分如下表（满分100分），如何安排工作使总分最多。第二节分配问题与匈牙利法解:选矩阵中最大元素95，减去其他元素。用匈牙利法求解C’，最优解为：即甲安排做第二项工作、乙做第三项、丙做第四项、丁做第三项,最高总分Z＝92＋95＋90＋80＝357第二节分配问题与匈牙利法不平衡的指派问题当人数m大于工作数n时，加上m－n项虚拟工作，例如：当人数m小于工作数n时，加上n－m个人，例如第二节分配问题与匈牙利法一个人可做几件事的指派问题：若某人可做几件事，则将该人化作相同的几个“人”来接受指派，且费用系数取值相同。例：丙可以同时任职A和C工作，求最优指派方案。第二节分配问题与匈牙利法某事一定不能由某人做的指派问题：将该人做此事的效率系数取做足够大的数，可用M表示。例：分配甲、乙、丙、丁四个人去完成A、B、C、D、E五项任务。每个人完成各项任务的时间如表所示。由于任务数多于人数，考虑任务E必须完成，其他4项中可任选3项完成。试确定最优分配方案，使完成任务的总时间最少。

任务人员ABCDE甲2529314237乙3938262033丙3427284032丁2442362345第二节分配问题与匈牙利法解:这是不平衡的指派问题，首先转换为标准型，再用匈牙利法求解。由于任务数多于人数，所以假定一名虚拟人，设为戊。因为工作E必须完成，故设戊完成E的时间为M（M为非常大的数），其余效率系数为0，则标准型的效率矩阵表示为：

任务人员ABCDE甲2529314237乙3938262033丙3427284032丁2442362345戊0000M第二节分配问题与匈牙利法用匈牙利法求出最优指派方案为：即甲－B，乙－D，丙－E，丁－A,任务C放弃。最少时间为105。第二节分配问题与匈牙利法第三节0-1整数规划与隐枚举法例：求解下列0－1规划问题解：对于0－1规划问题，由于每个变量只取0，1两个值，一般会用穷举法来解，即将所有的0，1组合找出，使目标函数达到极值要求就可求得最优解。x1.x2.x3约束条件满足条件Z值(1)(2)(3)(4)是∨否×(0.0.0)0000∨0(0.0.1)

－1101∨5(0.1.0)2414∨－2(1.0.0)1110∨3(0.1.1)15 ×(1.0.1)0211∨8(1.1.0)3×(1.1.1)26×第三节0-1整数规划与隐枚举法由上表可知，问题的最优解为X*=(x1=1x2=0x3=1)由上表可知：x1=0x2=0x3=1是一个可行解，为尽快找到最优解，可将3x1－2x2＋5x3≥5作为一个约束，凡是目标函数值小于5的组合不必讨论，如下表。x1.x2.x3约束条件满足条件Z值(0)(1)(2)(3)(4)是∨否×(0.0.0)00000∨0(0.0.1)5－1101∨5(0.1.0)-2×(0.1.1)3×(1.0.0)3×(1.0.1)80211∨8(1.1.0)1×(1.1.1)4×第三节0-1整数规划与隐枚举法例：求解下列0－1规划问题解：由于目标函数中变量x1,x2,

x4

的系数均为负数，可作如下变换：令x1

＝1－

x1′

,x2=1-x2′,x3=x3′,x4=1-x4′带入原题中，但需重新调整变量编号。令x3′=x1′,x4′=x2′得到下式。第三节0-1整数规划与隐枚举法

可以从(1.1.1.1)开始试算，x′(3)＝(1.1.0.1)最优解。x(3)＝(1.0.1.0)是原问题的最优解，Z*=－2第三节0-1整数规划与隐枚举法例：求解下列0－1规划问题令y1=x5,y2=x4,y3=x2,y4=x3,y5=x1

得到下式第三节0-1整数规划与隐枚举法y1.y2.y3.y4.y5约束条件满足条件Z值(1)(2)是∨否×(0，0，0，0，0)00×(1，0，0，0，0)1-1×(0，1，0，0，0)-11×(0，0，1，0，0)-21×(0，0，0，1，0)4-4∨8(0，0，0，0，1)3-2×所以，

Y*=（0.0.0.1.0），原问题的最优解为：X*

＝（0.0.1.0.0），Z*=8第三节0-1整数规划与隐枚举法（0，1，1，0，0）练习：用隐枚举法求解0—1规划问题第三节0-1整数规划与隐枚举法割平面法的基本思想：若的分量不全是整数，则对增加一个割平面条件，将的可行区域割掉一块，恰好在被割掉的区域内，而原ILP问题的任何一个可行解（格点）都没有被割去.第四节割平面法把增添了割平面条件的问题记为，用对偶单纯形法求解LP问题.若的最优解是整数向量，则是原ILP问题的最优解，计算结束；否则对问题在增加一个割平面条件，形成问题，…，如此继续下去，通过求解不断改进的松弛LP问题，知道得到最优整数解为止。第四节割平面法第四节割平面法例

：用割平面法求解整数规划问题解：增加松弛变量x3和x4

，得到(LP)的初始单纯形表和最优单纯形表：Cj0100CBXBbx1x2x3x40x3632100x40-3201－Z00100Cj0100CBXBbx1x2x3x40x11101/6-1/61x23/2011/41/4－Z-3/200-1/4-1/4第四节割平面法此题的最优解为：X＊

(1,3/2)Z=3/2但不是整数最优解，引入割平面。以x2为源行生成割平面，由于1/4=0+1/4,3/2=1+1/2,我们已将所需要的数分解为整数和分数，所以，生成割平面的条件为:第四节割平面法将x3=6-3x1-2x2,x4=3x1-2x2,带入中，得到等价割平面条件：x2≤1如图。x1x2⑴⑵33第一个割平面第四节割平面法Cj01000CBXBbx1x2x3x4s10x11101/6-1/601x23/2011/41/400s1-1/200-1/4-1/41－Z-3/200-1/4-1/40现将生成的割平面条件加入松弛变量，然后加到表中：CBXBbx1x2x3x4s10x12/3100-1/32/31x21010010x320011-4－Z-10000-1第四节割平面法

此时，X1

＝(2/3,1),Z=1,仍不是整数解。继续以x1为源行生成割平面，其条件为：用上表的约束解出x4和s1，将它们带入上式得到等价的割平面条件：x1≥x2，见图：x1x2⑴⑵33第一个割平面第二个割平面第四节割平面法将生成的割平面条件加入松弛变量，然后加到表中：CBXBbx1x2x3x4s1s20x12/3100-1/32/301x210100100x320011-400s2-2/3000-2/3-2/31－Z-10000-10CBXBbx1x2x3x4s1s20x10100-1011x20010-103/20x3600150-60s1100011-3/2－Z000010-3/2第四节割平面法CBXBbx1x2x3x4s1s20x1110001-1/21x210100100x310010-53/20x4100011-3/2－Z-10000-10至此得到最优表，其最优解为X＊=(1,1),Z=1,这也是原问题的最优解。第四节割平面法例：

用割平面法求解数规划问题Cj1100CBXBbx1x2x3x40x3621100x4204501－Z1100CBXBbx1x2x3x41x15/3105/6－1/61x28/301－2/31/3－Z-13/300－1/6－1/6初始表最优表第四节割平面法将系数和常数都分解成整数和非负真分数之和第四节割平面法以上式子只须考虑一个即可，解题经验表明，考虑式子右端最大真分数的式子，往往会较快地找到所需割平面约束条件。以上两个式子右端真分数相等，可任选一个考虑。现选第二个式子，并将真分数移到右边得：引入松弛变量s1后得到下式，将此约束条件加到上表中，继续求解。第四节割平面法Cj11000CBXBbx1x2x3x4s11x15/3105/6－1/601x28/301－2/31/300s1－2/300－1/3－1/31－Z－13/300－1/6－1/60Cj11000CBXBbx1x2x3x4s11x10100－101x240101－20x320011－3－Z－40000－1/2﹡此整数规划有两个最优解：X＊=(0,4),Z=4,或X＊=(2,2),Z=4。

第四节割平面法例：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算）记为（IP）解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题记为（LP）第五节分枝定界法用图解法求（LP）的最优解，如图所示。x1＝18/11,x2=40/11,Z(0)=－218/11≈(－19.8)即Z也是（IP）最小值的下限。对于x1＝18/11≈1.64，取值x1≤1，x1≥2对于x2=40/11≈3.64，取值x2≤3，x2≥4先将（LP）划分为（LP1）和（LP2）,取x1≤1,x1≥2x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶第五节分枝定界法

现在只要求出（LP1）和（LP2）的最优解即可。第五节分枝定界法x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶先求（LP1）,如图所示。此时B在点取得最优解。x1＝1,x2=3,Z(1)＝－16找到整数解，问题已探明，此枝停止计算。同理求（LP2）,如图所示。在C

点取得最优解。即x1＝2,x2=10/3,Z(2)

＝－56/3≈－18.7∵Z2<Z1＝－16∴原问题有比（－16）更小的最优解，但x2不是整数，故利用3≥10/3≥4加入条件。11BAC第五节分枝定界法加入条件：x2≤3,x2≥4有下式：只要求出（LP3）和（LP4）的最优解即可。第五节分枝定界法x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11BAC先求（LP3）,如图所示。此时D在点取得最优解。即x1＝12/5≈2.4,x2=3,Z(3)＝-87/5≈-17.4<Z≈-19.8但x1＝12/5不是整数，可继续分枝。即3≤x1≤2。求（LP4），如图所示。无可行解，不再分枝。D第五节分枝定界法

在（LP3）的基础上继续分枝。加入条件3≤x1≤2有下式：只要求出（LP5）和（LP6）的最优解即可。第五节分枝定界法x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11BACD先求（LP5）,如图所示。此时E在点取得最优解。即x1＝2,x2=3,Z(5)＝－17找到整数解，问题探明，此枝停止计算。求（LP6），如图所示。此时F在点取得最优解。x1＝3,x2=2.5,Z(6)＝－31/2≈－15.5>Z(5)

如对Z(6)

继续分解，其最小值也不会低于－15.5，问题探明,剪枝。EF第五节分枝定界法至此，原问题（IP）的最优解为：x1=2，x2=3,Z*=Z(5)

＝－17以上的求解过程可以用一个树形图表示如右：LP1x1=1,x2=3Z(1)

＝－16LPx1=18/11,x2=40/11Z(0)

＝－19.8LP2x1=2,x2=10/3Z(2)

＝－18.5LP3x1=12/5,x2=3Z(3)

＝－17.4LP4无可行解LP5x1=2,x2=3Z(5)

＝－17LP6x1=3,x2=5/2Z(6)

＝－15.5x1≤1x1≥2x2≤3x2≥4x1≤2x1≥3＃＃＃＃第五节分枝定界法例：用分枝定界法求解整数规划问题（图解法）

第五节分枝定界法LP1x1=1,x2=7/3Z(1)

＝10/3LPx1=3/2,x2=10/3Z(0)

＝29/6LP2x1=2,x2=23/9Z(2)

＝41/9x1≤1x1≥2LP5x1=1,x2=2Z(5)

＝3LP6无可行解＃＃x2≤2x2≥3LP3x1=33/14,x2=2Z(3)

＝61/14LP4无可行解x2≤2x2≥3＃LP7x1=2,x2=2Z(7)

＝4LP8x1=3,x2=1Z(8)

＝4x1≤2x1≥3＃＃第五节分枝定界法LP1x1=1,x2=7/3Z(1)

＝10/3LPx1=2/3,x2=10/3Z(0)

＝29/6LP2x1=2,x2=23/9Z(2)

＝41/9LP3x1=33/14,x2=2Z(3)

＝61/14LP4无可行解LP7x1=2,x2=2Z(7)

＝4LP8x1=3,x2=1Z(8)

＝4x1≤1x1≥2x2≤2x2≥3x1≤2x1≥3＃＃＃＃第五节分枝定界法3200CB

XB

b

x1x2x3x40x3921109/20x414230114/2-Z032003200CB

XB

b

x1x2x3x43x113/4103/4-1/42x25/201-1/21/2-Z-59/400-5/4-1/4解:用单纯形法解对应的(LP)问题,如表所示,获得最优解。初始表最终表例：用分枝定界法求解整数规划问题（单纯形法）第五节分枝定界法x1=13/4x2=5/2Z(0)=59/4≈14.75.选x2进行分枝，即增加两个约束，2≥x2≥3有下式：分别在(LP1)和(LP2)中引入松弛变量x5、x6

，将新约束条件加入上表计算。即x2+x5=2,－x2+x6=－3

如表:第五节分枝定界法32000CB

XB

b

x1x2x3x4x53x113/4103/4-1/402x25/201-1/21/200x5201001-Z-59/400-5/4-1/403x113/4103/4-1/402x25/201-1/21/200x5-1/2001/2

-1/21-Z-59/400-5/4-1/403x17/2101/20-1/22x22010010x4100-11-2-Z-29/200-3/20-1/2x1=7/2，

x2=2，Z(1)=29/2=14.5继续分枝，加入约束3≥x1≥4LP1第五节分枝定界法32000CB

XB

b

x1x2x3x4x63x113/4103/4-1/402x25/201-1/21/200x6-30-1001-Z-59/400-5/4-1/403x113/4103/4-1/402x25/201-1/21/200x6-1/200-1/2

1/21-Z-59/400-5/4-1/403x15/21001/23/22x230100-10x31001-1-2-Z-27/2000-3/2-5/2LP2x1=5/2,x2=3，Z(2)=27/2=13.5∵Z(2)<Z(1)∴先不考虑分枝第五节分枝定界法接(LP1)继续分枝，加入约束4≤x1≤3，有下式：分别引入松弛变量x7和x8，然后进行计算。第五节分枝定界法CB

XB

bx1x2x3x4x5x73x17/2101/20-1/202x220100100x4100-11-200x73100001-Z-29/200-3/20-1/203x17/2101/20-1/202x220100100x4100-11-200x7-1/200-1/2