能量原理与变分法

能量原理与变分法2023/5/71第1页，共54页，2023年，2月20日，星期四第一章弹性力学简介

第二节：能量原理与变分法1、弹性体形变势能2、泛函与变分——最小势能原理、里兹（Ritz）法、伽辽金（Galerkin）法3、位移变分方程4、应力变分方程——最小余能原理、卡氏（Castigliano）定理5、自然变分原理和广义变分原理6、弹性力学修正变分原理2023/5/72第2页，共54页，2023年，2月20日，星期四1.弹性力学问题的微分提法及其解法：（1）平衡微分方程（2）几何方程（3）物理方程（4）边界条件应力边界条件；位移边界条件；定解问题求解方法：（1）按位移求解基本方程：（a）以位移为基本未知量的平衡微分方程;（2）按应力求解基本方程：（a）平衡微分方程；（b）边界条件。（b）相容方程；（c）边界条件。（a）归结为求解联立的微分方程组；求解特点：（b）难以求得解析解。从研究微小单元体入手，考察其平衡、变形、材料性质，建立基本方程：（3）混合解法2023/5/73第3页，共54页，2023年，2月20日，星期四2.弹性力学问题的变分提法及其解法：基本思想：在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；将定解问题转变为求解线性方程组。弹性力学中的变分原理——能量原理直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的变分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题。（变分解法也称能量法）（a）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。（b）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。（c）同时以位移、应力、应变为未知量，广义（约束）变分原理。——位移法——力法——混合法有限单元法、边界元法、离散元法等数值解法。求解方法：里兹（Ritz）法、伽辽金（Galerkin）法、最小二乘法、力矩法等。2023/5/74第4页，共54页，2023年，2月20日，星期四3.弹性力学问题的数值解法：（a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程）——有限差分法；基本思想：将导数运算近似地用差分运算代替；将定解问题转变为求解线性方程组。典型软件：FLAC实质：将变量离散。（b）对变分方程进行数值求解——有限单元法、边界元法、离散元法等典型有限元软件：ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS等；基本思想：将求解区域离散，离散成有限个小区域（单元），在小区域（单元）上假设可能解，最后由能量原理（变分原理）确定其最优解。——将问题转变为求解大型的线性方程组。2023/5/75第5页，共54页，2023年，2月20日，星期四§1弹性体的变形能（应变能）1.变形能的一般表达式Pxl0l单向拉伸：PlO外力所做的功：由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能量损失很小，所外力功全部转化杆件的变形能（或应变能）U：杆件的体积令：——单位体积的变形能（应变能），称为应变能密度。2023/5/76第6页，共54页，2023年，2月20日，星期四三向应力状态：一点的应力状态：

xyz整个弹性体的应变能：若用张量表示：应变能密度：整体应变能：由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序无关，只取决于最终的状态。假定所有应力分量与应变分量全部按比例增加（线弹性），此时，单元体的应变能密度：2023/5/77第7页，共54页，2023年，2月20日，星期四2.应变能的应力分量表示在线弹性的情况下，由物理方程：代入应变能密度公式，整理得应变能密度的表达式：代入应变能公式，有：2023/5/78第8页，共54页，2023年，2月20日，星期四表明：弹性体的应变能密度对于任一应力分量的改变率，就等于相应的应变分量。3.应变能的应变分量表示用应变表示的物理方程：将应变能密度分别对6个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：2023/5/79第9页，共54页，2023年，2月20日，星期四代入应变能密度公式，并整理可得：将上式对6个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程比较，可得：2023/5/710第10页，共54页，2023年，2月20日，星期四将几何方程代入应变能的表达式，得：弹性体的应变能密度对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。4.应变能的位移分量表示表明：2023/5/711第11页，共54页，2023年，2月20日，星期四§2泛函与变分（1）函数与泛函的概念：函数：x——自变量；y——因变量；泛函：x——自变量；y——为一变函数，泛函的宗量；F——为函数y的泛函；例：U被称为形变势能泛函。2023/5/712第12页，共54页，2023年，2月20日，星期四（2）微分变分设函数：当自变量x有一增量：函数y也有一增量：dx与dy分别称为自变量x与函数y的

微分。设泛函：函数y有一增量：泛函U也有一增量：泛函的增量U等称为变分。——微分问题研究自变函数的增量与泛函的增量间关系称为变分问题。是函数取极值的必要条件。是泛函取极值的必要条件。2023/5/713第13页，共54页，2023年，2月20日，星期四例如：Pcr（1）压杆稳定问题寻求压杆形变势能

U达到最大值时的压力P值。（2）最速降线问题12球从位置1下落至位置2，所需时间为T，——泛函的变分问题2023/5/714第14页，共54页，2023年，2月20日，星期四（3）变分及其性质定义：泛函增量：函数连续性：称函数y在x0点连续。当有称泛函U在y0(x)

处零阶接近。当有称泛函U在y0(x)

处一阶接近。当有称泛函U在y0(x)

处二阶接近。2023/5/715第15页，共54页，2023年，2月20日，星期四（4）变分的运算变分与微分运算：变分运算与微分运算互相交换。变分与积分运算：变分运算与积分运算互相交换。2023/5/716第16页，共54页，2023年，2月20日，星期四泛函的变分：一阶变分：二阶变分：2023/5/717第17页，共54页，2023年，2月20日，星期四一阶变分：二阶变分：——二阶变分用于判别驻值点是取得极大值还是极小值。2023/5/718第18页，共54页，2023年，2月20日，星期四建立：弹性体的形变势能与位移间变分的关系——位移变分方程qP应力边界

S位移边界

Su设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。边界：位移场：应力场：满足：平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件。——称为真实解§3位移变分方程应变场：2023/5/719第19页，共54页，2023年，2月20日，星期四任给弹性体一微小的位移变化：满足条件：位移边界条件。qP应力边界

S位移边界

Su考察弹性体的能量变化:（若可能位移为真实位移）由能量守恒原理：弹性体变形势能的增加，等于外力势能的减少。（在没有温度改变、动能改变的情况下）设：——表示弹性变形势能的增量；——表示外力在虚位移上所做的功，它在数值上等于外力势能的减少。则有：可能的位移状态：——称为位移的变分，或虚位移，对于的应变叫虚应变，满足几何方程。2023/5/720第20页，共54页，2023年，2月20日，星期四体力：面力：——外力代入前式：表明：物体应变能的变分，等于外力在虚位移上所做的虚功。——称为位移变分方程，也称Lagrange变分方程。外力的虚功：——外力的虚功表示：实际外力在虚位移上所做的虚功2023/5/721第21页，共54页，2023年，2月20日，星期四内力的虚功：由于:两边求变分:将U1

视为应变分量的函数而:2023/5/722第22页，共54页，2023年，2月20日，星期四将上式代入位移变分方程，有——虚位移方程或虚功方程表明：如果在虚位移发生前，弹性体处于平衡状态，则在虚位移发生过程中，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。虚功方程——是有限单元法的理论基础，也是许多变分原理的基础。表示：实际应力在虚应变上所做的虚功——内力的虚功2023/5/723第23页，共54页，2023年，2月20日，星期四最小势能原理——也是位移变分方程的一个应用位移变分方程：由于虚位移为微小的、满足位移边界条件的（通常称为基本边界条件），所以，可认为在虚位移发生过程中，外力的大小和方向都不变，只是作用点位置有微小变化。于是，有：若初始状态为零势能状态，并用V表示外力势能，则根据能量守恒，外力势能等于外力在实际位移上所做的功的相反值，则代入前式，有：外力在实际位移上做的功2023/5/724第24页，共54页，2023年，2月20日，星期四其中：——应变能能与外力势能的总和，称为系统的总势能表明：在给定的外力作用下，实际存在的位移应使系统的总势能的变分为零。平衡状态：（1）稳定平衡状态；（2）不稳定平衡状态；（3）随遇平衡状态；稳定平衡不稳定平衡随遇平衡——势能取极小值——势能取极大值——不定最小势能原理：在给定的外力作用下，满足几何方程和位移边界条件的各组位移中，实际存在的位移，应使系统的总势能取最小值。2023/5/725第25页，共54页，2023年，2月20日，星期四实际存在的位移应满足：（1）位移边界条件；（2）平衡方程（位移形式）；（3）应力边界条件。（1）位移边界条件；（基本边界条件）（2）最小势能原理。因而，有：（1）平衡方程（位移形式）；（2）应力边界条件。（自然边界条件）（可互相导出）最小势能原理伽辽金变分方程由虚位移方程的建立知道虚位移满足位移边界条件，若还满足应力边界条件时，弹性体的位移变分应满足的方程。将虚应变用虚位移表示：将其代入虚位移方程：2023/5/726第26页，共54页，2023年，2月20日，星期四2023/5/727第27页，共54页，2023年，2月20日，星期四同理，可得到其余各项的结果：将其代入虚位移方程，有：0002023/5/728第28页，共54页，2023年，2月20日，星期四——伽辽金（Galerkin）变分方程表明：当所取位移分量同时满足位移边界条件、应力边界条件时，其位移变分需满足的方程。2023/5/729第29页，共54页，2023年，2月20日，星期四1.里兹（Ritz）法基本思想：设定位移函数的表达形式，使其满足位移边界条件，其中含有若干待定常数，然后利用位移变分方程确定这些常数，即得位移解。设取位移的表达式如下：其中：为互不相关的3m个系数；为设定的函数，且在边界上有：为位移边界上为零的设定函数显然，上述函数满足位移边界条件。此时，位移的变分只能由系数Am、Bm、Cm的变分来实现。与变分无关。位移变分法：2023/5/730第30页，共54页，2023年，2月20日，星期四（a）位移的变分：形变势能的变分：（b）将式（a）、（b）代入位移变分方程，有：2023/5/731第31页，共54页，2023年，2月20日，星期四将上式整理、移项、合并，可得：完全任意，且互相独立，要使上式成立，则须有：2023/5/732第32页，共54页，2023年，2月20日，星期四——Ritz法方程或称Rayleigh-Ritz法方程说明：（1）由U的位移表达式可知，U是系数的二次函数，因而，上式为各系数的线性方程

组。互不相关，因而，总可以求出全部的系数。（2）求出了系数就可求得其它量，如位移、应力等（3）在假定位移函数时，须保证其满足全部位移边界条件。2023/5/733第33页，共54页，2023年，2月20日，星期四2.伽辽金（Galerkin）法设取位移的表达式如下：同时满足：（1）位移边界条件；（2）应力边界条件；位移的变分：将其代入伽辽金变分方程：得到：2023/5/734第34页，共54页，2023年，2月20日，星期四完全任意，且互相独立，要使上式成立，则须有：2023/5/735第35页，共54页，2023年，2月20日，星期四将物理方程和几何方程代入，有——伽辽金（Galerkin）法方程说明：（1）与Ritz法类似，得3m阶的线性方程组，可求出3m个系数。（2）伽辽金（Galerkin）法与Ritz法的区别：在于设位移函数时，前者要求同时满足应力、位移边界条件，而后者只要求满足位移边界条件。2023/5/736第36页，共54页，2023年，2月20日，星期四（1）位移变分方程（2）虚位移方程位移变分方程小结：——也称Lagrange变分方程：（3）最小势能原理说明：（1）只要求：虚位移满足位移边界条件；（2）对虚位移方程，也适用各种材料的物理方程。如：塑性材料、非线性弹性材料等。2023/5/737第37页，共54页，2023年，2月20日，星期四（4）伽辽金（Galerkin）变分方程要求：可能（虚）位移满足：（1）位移边界条件；（2）应力边界条件。2023/5/738第38页，共54页，2023年，2月20日，星期四x§4应力变分方程余能密度Pl0lO（1）单向应力状态设：——一般的应力应变关系形变势能：d00——单位体积的形变势能余能密度：——单位体积的形变余能对线弹性体，显然有：——应变能密度等于余能密度表明：余能密度在数值上等于图中矩形面积减去U1后余下的面积。一般情形：——单位体积的形变势能——单位体积的形变余能2023/5/739第39页，共54页，2023年，2月20日，星期四（2）三向应力状态对线弹性体，有：弹性体余能：对线弹性体：物体余能常用应力表示：2023/5/740第40页，共54页，2023年，2月20日，星期四（3）余能的变分对照余能密度的表达式，有：2023/5/741第41页，共54页，2023年，2月20日，星期四若将上式中应变分量利用几何方程表示成位移形式，有：代入余能的变分表达式，有：2023/5/742第42页，共54页，2023年，2月20日，星期四应力变分方程设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡状态。其应力和位移分别为：——实际的应力和位移建立：物体余能的变分与应力变分之间的关系。（1）应力的变分假设：作用于物体的体力不变，而应力分量发生如下变分：——常称为虚应力变化后应力状态：（2）应力变分方程（假定可能应力是问题的解）都满足平衡方程并作用于同样的体力，将其分别代入平衡微分方程，并进行比较，应有：此应力状态满足平衡方程以及应力边界条件（基本边界条件）.2023/5/743第43页，共54页，2023年，2月20日，星期四（a）张量表示在位移给定的边界上，由于应力的变分（增量）将引起一个允许表面力：由边界上应力与边界面法向余弦关系，在位移给定边界上，应有：（b）张量表示在应力边界上，满足无外力的边界条件：（c）张量表示2023/5/744第44页，共54页，2023年，2月20日，星期四由余能的变分：利用奥-高公式，将上式每一项作变换，如：将其代入余能的变分，并整理有：2023/5/745第45页，共54页，2023年，2月20日，星期四000得到：上式表明：由于应力的变分，余能的变分等于允许表面力的变分在实际位移上所做的功（虚功）。——应力变分方程，也称Castigliano变分方程。2023/5/746第46页，共54页，2023年，2月20日，星期四说明：（1）要求应力的变分满足：平衡微分方程；应力边界条件；（2）由应力变分方程：可得；右边的积分仅当在给定非零位移的边界上才不为零；而在应力边界和固定位移边界均为零。（3）实际存在的应力应满足：（1）平衡方程；（2）相容方程；（3）应力边界条件；（4）位移边界条件。（1）平衡方程；（2）应力边界条件；（3）应力变分方程可见：应力变分方程（1）相容方程；（2）位移边界条件。特别当位移边界为固定边界时，应力变分方程等价于相容方程，且有：2023/5/747第47页，共54页，2023年，2月20日，星期四最小余能原理将应力变分方程：改写为：（c）∵在要积分的边界上，位移是给定的，其变分恒为零，∴上式可写为（d）式中：U*为形变余能；——外力余能；——总余能；于是式（d）可写成：（d）′2023/5/748第48页，共54页，2023年，2月20日，星期四（d）（d）′或：上式表明：在满足平衡微分方程和应力边界条件的各组应力中，实际存在的应力应使弹性体的总余能成为极值。如果考虑二阶变分，可以证明该极值为极小值。——最小余能原理最小余能原理：是应力变分方程的一个应用，等价于弹性体的相容方程与位移边界条件。说明：应力变分方程或最小余能原理，仅限于单连体问题。对于多连体问题，还需考虑位移单值条件，而在应力变分方程中考虑位移单值是非常复杂的问题。2023/5/749第49页，共54页，2023年，2月20日，星期四1.应力分量的设定——以应力为未知量的近似解法满足平衡微分方程；应力分量设定的要求：满足应力边界条件。帕普考维奇应力分量设定：其中：（1）A