高三数学上学期期末考试试题（含解析）苏教版

高三（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位

置上.

1.（5分）设集合A={1,心},B={a},若BUA,则实数a的值为0.

考点：集合的包含关系判断及应用.

专题：阅读型.

分析：根据集合关系，确定元素满足的条件，再求解.

解答：解：VB£A,.•.a=Fwi=a=0.

故答案是0

点评：本题考查集合中参数的确定.要注意验证集合中匹萎的互异性.

2.（5分）已知复数z=-1+i（为虚数单位），计算：-^==-i.

z-z

考点：复数代数形式的乘除运算.

专题：计算题.

分析：把复数z以及它的共辄复数代入表达式，化简后，复数的分母实数化，即可得到所求

结果.

解答：解：因移数Z=-1+i（为虚数单位），Z=-1-i,

所以-上》U1一>=2=J_=-i.

z-z-1+i-（-1-i）2ii,i

故答案为：~i.

点评：本题考查复数代数形式的混合运算，共胡复数的概念，考查计算能力.

22

3.（5分）已知双曲线工-上=1（a>0,b>0）的一条渐近线经过点（1，2）,则该双

a2b2

曲线的离心率的值为_遥_.

考点：双曲线的简单性质.

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析：由题意可得渐近线y=kx经过点（1,2）,可得b=2a,代入可得离心率

a

2222

:c=Va+b=Va+4a,化简即可.

e;

aaa

解答：22

解：双曲线至_-工=1的渐近线方程为y=±"x,

a2b2a

故丫=b（经过点（1,2）,可得b=2a,

a

故双曲线的离心率e=与Va2++4aM加

aaa

故答案为：Vs

点评：本题考查双曲线的离心率，涉及渐近线的方程，属中档题.

4.（5分）根据如图所示的算法，可知输出的结果为11.

S-0

WhileSS1023

S+S+2”

M+-M+1

EndWhile

Printn

考点：伪代码.

专题：计算题；概率与统计.

分析：根据题中的伪代码写出前几次循环的结果，得到该程序的功能是等比数列｛21｝的前

n项和，在SW1023的情况下继续循环体，直到S>1023时结束循环体并输出下一个

n值.由此结合题意即可得到本题答案.

解答：解：根据题中的伪代码，可得

该程序经过第一次循环得到S=2。，n=l；

然后经过第二次循环得到S=2°+21,n=2；

然后经过第三次循环得到S=2。+2'+手，n=2；

依此类推，当$=2。+242?+…+2">1023时，输出下一个n值

由以上规律，可得：

当n=10时，S=2°+2l+22+-+2w=2045,恰好大于1023,n变成11并且输出

由此可得，输出的结果为11

故答案为：11

点评：本题给出程序框图，求2"+2|+2旺…+2A1023时输出的n+1,属于基础题.解题的关

键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得

以解决.

5.（5分）已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品.某人在这次拍卖中随机

买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为1.

一「

考点：古典概型及其概率计算公式.

专题：概率与统计.

分析：利用古典概型的概率计算公式即可得出.

解答：解：从io幅名画中任买一件有c%=io种方法，若此人买入的这幅画是膺品的方法有

r1=2.

c2

因此此人买入的这幅画是膺品的事件的概率P=2二.

105

故答案为工

5

点评：正确理解古典概型的概率计算公式是解题的关键.

6.(5分)函数f(x)=cos手c。」一荐I一的最小正周期为，一.

考点：二倍角的正弦；诱导公式的作用；三角函数的周期性及其求法.

专题：计算题；三角函数的图像与性质.

分析：先利用诱导公式对已知函数化简，然后利用二倍角公式，再代入周期公式可求

解答：秋_兀X兀(X-1)_11_1

-

解：•f(x)-cos——cos-----n------cos—jfxsin—nx-^sinTTx

乙乙乙乙乙

根据周期公式可得丁=空=2

故答案为：2

点评：本题主要考查了诱导公式、二倍角公式在三角函数化简中的应用及周期公式的应用，

属于基础试题

2

7.(5分)函数f(x)=10g2(4-x)的值域为(-8,2].

考点：函数的值域.

专题：函数的性质及应用.

分析：利用二次函数和对数函数的单调性即可得出.

2

解答：解：；0<4-X2W4,...1%("x2)<log24=-

2

...函数f(x)=log2(4-x)的值域为(_8,2].

故答案为(-8,2].

点评：熟练掌握二次函数和对数函数的单调性是解题的关键.

8.(5分)已知点A(1,1)和点B(-1,-3)在曲线C：y=ax3+bx2+d(a,b,d为常数上,

若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3+b2+d=7.

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.

专题：导数的综合应用.

分析：曲线在点A和点B处的切线互相平行得，f'(1)=f(-1),再结合点在曲线上则

点的坐标适合方程建立方程组，解方程求出a、b、d值即可.

解答：解：设f(x)—ax3+bx2+d,

,.,f'(x)=3ax?+2bx,

(1)=3a+2b,f'(-1)=3a-2b.

根据题意得3a+2b=3a-2b,b=0.

又点A（1,1）和点B（-1,-3）在曲线C上,

fa+d=l(a=2

解得:

(-a+d=-3-1

a3+b2+d=7.

故答案为：7.

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道中档题.

9.（5分）已知向量a，b满足4+2^=（2,-4），3^-b-（-8,16），则向量a，b

的夹角的大小为n.

考点：数量积表示两个向量的夹角.

专题：平面向量及应用.

分析：利用向量的运算法则、向量的数量积及夹角公式即可得出.

解口,解：：第2心（2,-4）,3a~b=（-8,16），

/.a=（-2,4）,b=（2,-4）.

.*•a'b=-2X2+4X（-4）=-20,g|=^（，2）+lbI.

cos<a,b〉=1一；■J-1，

IaIIbI

<a.E>=m

或由£-E，得b>=K-

故向量W，E的夹角的大小为n.

故答案为m.

点评：熟练掌握向量的运算法则、向量的数量积及夹角公式是解题的关键.

10.（5分）给出下列命题：

（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直；

（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中，所有真命题的序号为（1）、（3）、（4）.

考点：命题的真假判断与应用.

专题：证明题.

分析：根据面面垂直的判定定理，可判断（1）；根据平面与平面平行的判定定理，可判断（2）；

根据空间直线夹角的定义，可判断（3）,根据面面垂直的性质定理及反证法，可判断

（4）

解答：解：由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面

相互垂直，故(1)正确；

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但

两条直线平行时，得不到平面平行，故(2)错误；

根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平

行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直，即(3)正确；

根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直

线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不

垂直，故(4)正确

故真命题有(1)、(3)、(4)三个

故答案为：⑴、⑶、(4)

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面

关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答的关键.

x>2

11.(5分)已知函数f(x)X,若关于x的方程f(x)=kx有两

(x-1)3,

个不同的实根，则实数k的取值范围是_(0,-1)

考点：函数零点的判定定理.

专题：函数的性质及应用.

分析：利用数形结合和函数的单调性即可得出.

解答：解：如图所不：

①当x22时，由函数f(x)=2单调递减可得：0<f(x)=241；

XX

②当0VxV2时，由函数f(x)=(x-1)3单调递增可得：-lVf(x)Vl.

由图象可知：由0<2kVl可得0<k<工，

2

故当0<k<△时，函数y=kx与y=f(x)的图象有且只有两个交点，

2

...满足关于X的方程f(x)=kx有两个不同的实根的实数k的取值范围是

(0,之)•

故答案为(o,A).

点评：熟练掌握数形结合的思想方法和函数的单调性是解题的关键.

12.（5分）已知数歹U®｝满足a[2，2-an+1^-^（n€N*），则£白_

ni—•1i

2-3n-n-2

4--

考点：数列递推式；数列的求和.

专题：计算题；等差数列与等比数列.

分析:

由4”12（n€N*），知a„”=^^,由此得至I」，+3=3（1+工）,

由a1后2&田_%+6

an+6an+l4an4

从而推导出工=3八'-工，由此能求出£工.

an4i=lai

解答：解・,•49__12/r*\

胎,2an+l=7j6（七区KT）'

2a、

••&1+1an+61

1二%+6_3/

a

n+lanan2

L+3=3（工+工），即%；+1Z,

an+l4an4—+^-

&n4

：.y上(3°+3+32+—+3"-1)-I!

4

n

=1X(1-3)_n

1-34

n

=2'3-n-2

-4

故答案为：2寸-!!-2.

4

点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想、构造法、

等比数列性质的合理运用.

13.(5分)在平面直角坐标系xOy中，圆C：x?+y2=4分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M,

N两点，点P为圆C上任意一点，则而•许的最大值为_4+4立

考点：平面向量数量积的运算.

专题：平面向量及应用.

分析：利用向量的数量积及三角函数的单调性即可求出.

解答：解：令x=0,得y2=4,解得y=±2,取N(0,-2).

令y=0,得x?=4,解得x=±2,取M(2,0).

设点P(2cos0,2sin0)(0e[0,2n)).

则而•俞(2-2cos9，-2sin9)•((-2cos9,-2-2sin0)

=-2cos。(2-2cos0)+2sin0(2+2sin9)

=4sin。-4cos0+4

=4V2sin(8-)+4W4+472-当且仅当sin(。-©)=1时取等号.

••♦西•五5的最大值为4+孰历.

故答案为4+472.

点评：熟练掌握向量的数量积及三角函数的单调性是解题的关键.

14.(5分)己知实数x,y同时满足4-*+27一丫1,log27y-log4X>l，27'-4，Wl,

则x+y的取值范围是昌.

考点：有理数指数基的化简求值；对数的运算性质.

专题：探究型；函数的性质及应用.

分析“题目给出了一个等式和两个不等式，分析给出的等式的特点，得到当x=Ly=3时该

23

等式成立，同时把相应的x和y的值代入后面的两个不等式等号也成立，把给出的等

式的左边变负指数累为正指数幕，分析x和y的变化规律，知道y随x的增大而减小,

而当x增大y减小时，两不等式不成立，因此断定，同时满足等式和不等式的x,y

取值唯一，从而可得x+y的取值范围.

解答：解：当xJ,y皂时，

23

4~x+27~y=4'+27

，Jb

log21y-10g4X=lo§27^-l°g^=--3'H2^6，

27y-4X=273-42=3-2=1-

由4-、+27-丫J+,q知，等式右边一定，左边y随x的增大而减小，

4X27y6

而当y减小x增大时，log27y-logix<2,

6

当x减小y增大时，27，-4*>l.

均与题中所给条件不等式矛盾.

综上，只有x=3,y=3时，条件成立，

23

所以x+y的取值范围为但｝.

6

故答案为位.

6

点评：本题考查了有理指数基的化简与求值，考查了对数式的运算性质，考查了特值验证法,

培养了学生的探究能力，此题是中档题.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤.

15.(14分)已知a,B均为锐角，且sina=2tan(a-P)=---

53

(1)求sin(a-0)的值；

(2)求cosB的值.

考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数.

专题：三角函数的求值.

分析：(1)根据a、B的范围，利用同角三角函数的基本关系，求得sin(Q-B)的值.

(2)由(1)可得，cos(a-BC0Sa=A根据cosB=cos[a-(a

105

-P)],利用两角差的余弦公式求得结果.

解答：解：（I）VQ,BE（o,2L）,从而

又；tan(a-B)=-工<o，•••-2<a-B〈o.…(4分)

32

利用同角三角函数的基本关系可得sin?(a-B)+cos2(a-p)=1,且

sin(Q-8)=_1

cos(a-B)3

解得sin(a-B)=--…(6分)

(2)由(1)可得，COS(a-6)=之叵.•••a为锐角，sina=&

105

**•cosCl="1-…(10分)

5

AcosB=cos[a-(a-P)]=cosacos(a-B)+sinasin(a-6)••,(12分)

告密守（书）嚼（14分）

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题.

16.（14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PDJ_底面ABCD,AD1AB,CD/7AB,ABW^AD=2,

CD=3,直线PA与底面ABCD所成角为60°,点M、N分别是PA,PB的中点.

（1）求证：MN〃平面PCD；

（2）求证：四边形MNCD是直角梯形；

（3）求证：DN_L平面PCB.

考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.

专题：空间位置关系与距离.

分析：（1）利用三角形的中位线性质证明MN〃AB,再由已知条件和公理4证明MN〃CD,再

利用直线和平面平行的判定定理证得MN〃平面PCD.

（2）由（1）可得MN〃CD.先由条件利用直线和平面垂直的判定证明CD,平面PAD,

从而证得CDXMD,从而得到四边形MNCD是直角梯形.

（3）由条件求得/PAD=60°,利用勾股定理求得DNJ_CN.在RtZ\PDB中，由PD=DB=加,

N是PB的中点，证得DN_LPB,再根据直线和平面垂直的判定定理证得DNJ_平面PCB.

解答：证明：（1）因为点M,N分别是PA,PB的中点，所以MN〃AB.…（2分）

因为CD〃AB,所以MN〃CD.

又CDu平面PCD,而MNQ平面PCD,所以MN〃平面PCD.…（4分）

（2）由（1）可得MN〃CD.

因为AD_LAB,CD〃AB,所以CD_LAD.又因为PD_L底面ABCD,CDu平面ABCD,

所以CD_LPD,又ADCPD=D,所以CD_L平面PAD.…（6分）

因为MDu平面PAD,所以CDLMD,所以四边形MNCD是直角梯形.…（8分）

（3）因为PDJ_底面ABCD,所以/PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而

ZPAD=60°.…（9分）

在RtaPDA中，AD=V2>PD=V6>PA=2F，MD=A/2.

在直角梯形MNCD中，MN=1,ND=V3,CD=3,CN二而年而二逐，

从而DM+CN'CD",所以DN_LCN.…（11分）

在RtaPDB中，PD=DB=A/6'N是PB的中点，则DN_LPB.…（13分）

又因为PB（1CN=N,所以DN_L平面PCB.…（14分）

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理，以及直线和平面垂直的判定定理和性质性

质定理的应用，属于中档题.

17.（14分）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的

形状是大小一定的矩形ABCD,BC=a,CD=b.a,b为常数且满足bVa.组委会决定从该矩形

地块中划出一个直角三角形地块AEF建游客休息区（点E,F分别在线段AB,AD上），且该

直角三角形AEF的周长为（l>2b）,如图.设AE=x,4AEF的面积为S.

（1）求S关于x的函数关系式；

（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积$最大，并求出S的最大值.

考根据实际问题选择函数类型；函数解析式的求解及常用方法.

点：

专应用题.

题：

分（1）根据题意，分析可得，欲求，AAEF场地占地面积，只须求出图中直角三角形的

析：周长求出另一边长AF,再结合直角三角形的面积计算公式求出它们的面积即得；

（2）对于（1）所列不等式，可利用导数研究它的单调性求它的最大值，从而解决问题.

源解：⑴设AF=y,则x+*x2+2=i，

合：

]2-21x

整理，得产士_”.…（3分）

y2（1-x）

S二x尸x（广21x）,（0,小…（4分）

52厂4（1-x）

(2)

（x_"+；勾）,x€（0,b]

.•.当叵］时，S'>0,S在(0,b］递增，

故当x=b时，s二bl"二,.；

max4(b-1)

当b〉2丁1时,在x€(0,2T］)上，S，>0,S递增，在

x€(2丁1,b)上，S'<0,S递减，

故当x=2-&i时,s=3-叫2.

x2max41

点本小题主要考查函数模型的选择与应用、函数解析式的求解及常用方法及导数的应用等

评:基础知识，属于基础题.

18.(16分)如图，在平面直角坐标系xoy中，已知Fi,F?分别是椭圆E：

22______

三+二>1(a>b>0)的左、右焦点，A,B分别是椭圆E的左、右顶点，且X工+5区工=柞

a2b222

(1)求椭圆E的离心率；

(2)已知点D(1,0)为线段0F?的中点，M为椭圆E上的动点(异于点A、B),连接MR

并延长交椭圆E于点N,连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q,连接PQ,设直线MN、

PQ的斜率存在且分别为k”k”试问是否存在常数X,使得ki+AL=0恒成立？若存在，求

出X的值；若不存在，说明理由.

考函数恒成立问题；三点共线；椭圆的简单性质.

点:

专向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程.

题：

分(1)由AF；+5BF；=d得AF；=5F总从而有a+c=5(a-C),结合离心率定义即可

析：2222

求得答案；

(2)由点D(1,0)为线段0&的中点可求得c值，进而可求出a值、b值，得到椭圆

、一,x,-1

方程，设M(xi,yl,N(X2,y?),P(x3,ya).Q(x4,y4),则直线MD的方程为x-------y+1-

与椭圆方程联立及韦达定理可把P、Q坐标用M、N坐标表示出来，再根据三点M、K、N

共线及斜率公式可得L、L间的关系式，由此可得答案.

2,解:⑴：其+5呵=忤,其=5第

口•

a+c=5(a-c),化简得2a=3c,

故椭圆E的离心率为2.

3

(2)存在满足条件的常数X,入=-_1

7_

•点D(1,0)为线段OF2的中点，.•.c=2,从而a=3,

22

左焦点R(-2,0),椭圆E的方程为三+二口.

95

,一，x,-1

设M(xi,yi),N(x2,yz),P(x3,y3),Q(xt,yi),则直线MD的方程为*=------y+1，

225-xj9x1-1

代入椭圆方程工+匕=1，整理得，-TTY+――y-4=0.

95yjyt

..,丫1(X1T).4yl

y+y=

,l3X1-51

从而XR=5XI_9,故点P(%_-ILL).同理，点

Jxj-5x「5x「5

,三点M、Fi、N共线，~1--"―,从而xiyz-xzyi=2(y,-y2).

X[+2x2+2

从而

4yl_4y2

-

y3y4Xj-5x2-5乂此一X2V/5(y1一y2)?访一丫？)小

---

x3-x45xj95x294(X「X2)4(xjx2)4

-

Xi-5x25

4k/

故k,---=0-从而存在满足条件的常数入，X=

17U7

点本题考查函数恒成立、三点共线及椭圆的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，

评：综合性强，难度大，对能力要求较高，属难题.

19.（16分）已知数列⑸｝是等差数列，ai+a2+a3=15,数列瓜｝是等比数列，刖4=27.

（1）若ai=bz,a4=ba.求数列｛aj和｛bj的通项公式;

（2）若ai+b”a2+b2,as+bs是正整数且成等比数列,求a3的最大值.

考点：等比数列的通项公式；数列的函数特性；等差数列的通项公式.

专题：计算题；等差数列与等比数列.

分析：（1）由已知可求出，b2,结合已知ai=bz,可得等差数列｛aj的公差d,可求a“=,然

后由b产a“可求®｝的公比q,进而可求bn

（2）设等差数列｛a,,｝的公差为d,等比数列｛b,J的公比为q,由已知可得

•（a3+b3）=（az+b2）2=64•分别利用等差数列及等比数列的通

项表示已知项可得关于d,q的方程，解方程可求d,即可求解

解答：解：（1）由ai+a2+@3=15,bib2b3=27.

可得a2=5,b2=3,

所以a尸b2=3,从而等差数列瓜｝的公差d=2,

所以an=2n+l,从而b、3刊=9,｛bj的公比q=3

所以二3八7-（3分）

（2）设等差数列⑸｝的公差为d,等比数列｛bj的公比为q,

则ai=5-d,ka3=5+d,b3=3q.

1q

因为ai+bi,a2+b2,加+6成等比数列，所以

(Sj+bj)"(&3+匕3)=(a2+b2)2-64,

a[+b]-ID

设4m,n£N*,mn=64,

a3+^3=n

5-d+心二加

则q,整理得，d2+(m-n)d+5(m+n)-80=0.

5+d+3q=n

n川—（舍去负根）.

解得d=

2

a3=5+d,

，要使得a3最大，即需要d最大，即n-m及（m+n-10）'取最大值.

Vm,nGN*,mn=64,

，当且仅当n=64且m=l时，n-m及（m+n-10）之取最大值.

从而最大的小竺与画，

所以，最大的a、J3+7疸…（16分）

32

点评：本题主要考查了等差数列、等比数列的性质及通项公式的应用，等比数列的性质的综

合应用及一定的逻辑推理运算的能力

20.(16分)已知函数f(x)=x|x-a|-Inx.

(1)若a=l,求函数f(x)在区间［1,e］的最大值;

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)若f(x)>0恒成立，求a的取值范围.

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小

值问题中的应用.

专题：导数的综合应用.

分析：(1)当a=l时，利用导数可判断f(x)在［1,e］上的单调性，由单调性即可求得其

最大值；

(2)求出f(x)的定义域，先按(i)aWO,(ii)a>0两种情况进行讨论，其中a

>0时讨论去绝对值符号，利用导数符号即可判断单调性；

(3)函数f(x)的定义域为xe(0,+8),f(x)>0,即上空根据应

XX

的符号对X进行分类讨论：x£(0,1)时，当x=l时，当X>1时、其中X>1时去

掉绝对值符号转化为求函数最值即可解决.

解答：解：(1)若a=l,则f(x)=x|x-11-Inx.

当x£［1,e］时，f(x)=x2-x-Inx,

2

/f、c,12x-X-1

f(x)=2x-1--=-------------->0，

XX

所以f(x)在［1,e］上单调增，

••f(x)=f(e)=e2-e-1•

max

(2)由于f(x)=x|x-a|-Inx,xW(0,+°°).

(i)当aWO时,则f(x)=x2-ax-Inx,

令f'(x)=0,得Xc=a+'w2tg>0(负根舍去),

04

且当x£(0,xo)时，f'(x)<0；当*£(xo,+°°)时，f'(x)>0,

所以f(x)在(0,更立至)上单调递减，在(空逞至，+8)上单调递增.

44

(ii)当a>0时，

①当x》a时，f'(x)=2x-a-「/J-el1,

XX

令『⑺=。，得干呼舍)，

若里耳控《&，即a》l,则f'(x)20,

所以f(x)在(a,+8)上单调增；

若a+Yq2±3〉a，即o<a<l,则当xd(0,x。时，f'(x)<0；当xd(X1,+~)

4

时，f'(x)>0,

所以f(x)在区间(0,史鱼宝)上是单调减，在(a+jg2场+8)上单调

44

增.

②当0<xVa时，f'(x)=-2x+a-

xx

令f'(x)=0,得-2x?+ax-1=0,记△=a'-8,

若△=a2-8W0,即0<a<2亚，则f'(x)W0,

故f(x)在(0,a)上单调减；

若△=a2-8>0,即a>M，

则由f'(x)=0得x°二@一空屋二，且0<x3<xVa,

A3444

当x£(0,X3)时，f'(x)<0；当乂£(x3,x4)时，f'(x)>0；当*£(X4,

+8)时，ff(x)>0,

所以f(x)在区间(o,a-Va2-8)上是单调减，在

4

2

^a-7a-8a+{a28上单调增；在(史夕三1+co)上单调减.

444

综上所述，当a<l时，f(x)的单调递减区间是(0,a+"+8),单调递增区

4

间是(困烂+8).

当l<a<2\历时，f(X)单调递减区间是(0,a),单调的递增区间是(a,+~)；

当a>氏历时，f(x)单调递减区间是(0,a-Va2-8)和(至国二§,&),

44

单调的递增区间是(刍二a?-8

T~

(3)函数f(x)的定义域为xG(0,+8).

由f(x)>0,得|x-a|〉应.*

X

(i)当xd(0,1)时，|x-a|20,血<0,不等式*恒成立，所以aGR；

X

(ii)当x=l时，11-a|20,Li二0,所以aWl；

x

(iii)当x>l时，不等式*恒成立等价于Mx-1空恒成立或a>x+1竺恒成立・

xx

令h(x)r—上以则h，(x)=X

xx2

因为x>l,所以h'(x)>0,从而h(x)>1.

因为a〈x-上更恒成立等价于a<(h(x))足，所以aWl.

X

令g(x)=x+®，则/(x)=/+l：lnx.

XX2

再令e(x)=x2+l-Inx,则e'(x)=2x-工〉旅xE(1，+°°)上恒成立，e(x)

x

在xG(1,+8)上无最大值.

综上所述，满足条件的a的取值范围是(-8,1).

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值及函数恒成立问题，

考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大，对能力

要求较高.

选做题：21-24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内

作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

21.(10分)(2013•南通二模)如图，AB是。。的直径，C,F是。0上的两点，0CXAB,过

点F作。0的切线FD交AB的延长线于点D.连接CF交AB于点E.

求证:DE=DB«DA.

考点：与圆有关的比例线段.

专题：证明题.

分析：欲证D『=DB・DA,由于由切割线定理得DF?=DB・DA,故只须证：DF=DE,也就是要证:

ZCFD=ZDEF,这个等式利用垂直关系通过互余角的转换即得.

解答：证明：连接OF.

因为DF切。0于F,所以/0FD=90°.

所以N0FC+/CFD=90°.

因为OC=OF,所以/OCF=/OFC.

因为CO_LAB于0,所以N0CF+NCE0=90°.（5分）

所以NCFD=/CEO=NDEF,所以DF=DE.

因为DF是。0的切线，所以DF'DB-DA.所以DE?=DB・DA.（10分）

点评：本题考查的与圆有关的比例线段、切线的性质、切割线定理的运用.属于基础题.

22.（10分）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵人=3:,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为可属于特征值1的

一「2"

一个特征向量为a.求矩阵A的逆矩阵.

2-2

考点：特征值与特征向量的计算.

专题：计算题.

分析：利用特征值与特征向量的定义，建立方程组，即可求得A,求出A的行列式，即可求

得逆矩阵A）

解答：解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为可=［；］可得|331=61

11

即c+d=6；

由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为石二°可得,3333

2

-2d-2-2

即3c-2d=-2,

解得c=2

d=4'

£__1

'33'-3

即A=,A逆矩阵是

24_1

~3~2

点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵，正确理解特

征值与特征向量是关键，属于中档题.

23.已知曲线G的极坐标方程为pcos(9-—)-曲线G的极坐标方程为

3=lr

p=2j^cos(e-^)，判断两曲线的位置关系-

考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系.

专题：直线与圆.

分析：把参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离大于半径，由此可得两曲线的位置

关系.

解答：解：将曲线G,G化为直角坐标方程得：Cl：x+Jgy+2=0,表示一条直线.

曲线，2：x?+y2-2x-2尸0,即C2：(x-1)2+(y-1)J2，表示一个圆，

半径为我.

圆心到直线的距离d=卜一+2|二怨亚,

Vl2+(V3)22

，曲线G与C2相离.

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和

圆的位置关系应用，属于基础题.

24.设f(x)=x'-x+14,且|x-a|Vl,求证：|f(x)-f(a)|<2(IaI+1).

考点：不等式的证明.

专题：不等式的解法及应用.

分析：先利用函数f(x)的解析式，代入左边的式子|f(x)-f(a)1中，再根据If(x)

-f(a)|=|x2-x-a+a|=|x-a|,x+a-11<|x+a-1|=|x-a+2a-l|W|x-a|+|2a

-l1<l+|2a|+l,进行放缩即可证得结果.

解答：证明：由If(x)-f(a)|=|x2-a+a-x|=|(x-a)(x+a-1)|

=|x-a||x+a-11<ix+a-11=I(x-a)+2aT|W|x-a|+|2a|+1V12a|+2

=2(|a|+l).

AIf(x)-f(a)|<2(|a|+l).

点评：本题主要考查绝对值不等式的性质，用放缩法证明不等式，体现了化归的数学思想，

属于中档题.

25.(10分)袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为巨.现

12

甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球

部放回，直到其中有一人去的白球时终止.用X表示取球终止时取球的总次数.

(1)求袋中原有白球的个数；

(2)求随机变量X的概率分布及数学期望E(X).

考离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列.

点:

专计算题；压轴题.

题：

分（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件是

析：从9个球中取2个球，共有C/种结果，而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有

种结果，列出概率使它等于已知，解关于n的方程，舍去不合题意的结果.

（2）用X表示取球终止时取球的总次数，由题意知X的可能取值为1,2,3,4,结合

变量对应的事件，用等可能事件的概率公式做出结果，写出分布列和期望.

解解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，

答：试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C/种结果

而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有种结果

C2

设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为T，

C2