经济数学第二章极限与连续

经济数学第二章极限与连续第1页，共45页，2023年，2月20日，星期四2、数列极限的定性描述一个确定的常数A,增大时的极限，

收敛于a或称数列记为或则称常数A为数列当n无限若当n无限增大时,或称数列发散则称数列

的极限不存在，第2页，共45页，2023年，2月20日，星期四①C=C（常数列的极限就是这个常数）②设a>0，则特别地③设q∈(-1，1)，则qn=0；或不存在。几个常用极限第3页，共45页，2023年，2月20日，星期四2.1.3函数的极限自变量变化过程的六种形式:沿x轴的正向与负向同时无限远离原点沿x轴的正向无限远离原点沿x轴的负向无限远离原点x从x0点的左侧趋向于x0x从x0点的右侧趋向于x0x从x0点的两侧趋向于x0第4页，共45页，2023年，2月20日，星期四函数极限主要讲两个内容:1、自变量趋于无穷大时函数的极限2、自变量趋于有限值时函数的极限第5页，共45页，2023年，2月20日，星期四1、自变量趋于无穷大时函数的极限直观定义:

设在()时有定义,若无限增大时,无限趋近于确定常数A,则称时,以A为极限,记为第6页，共45页，2023年，2月20日，星期四由极限的直观定义可知所以f（x）=的极限是0记为：例：当时，研究f（x）=的极限。第7页，共45页，2023年，2月20日，星期四直观定义:

设函数在点的某一邻域内有定义

(点可以除外),若以任意方式趋近于时,

无限趋近于确定常数,则称时,以为

极限.记为2、自变量趋于有限值时函数的极限第8页，共45页，2023年，2月20日，星期四函数的左右极限的定义函数的左右极限统称为单侧极限记作：记作：第9页，共45页，2023年，2月20日，星期四函数的左右极限的定义定理：第10页，共45页，2023年，2月20日，星期四例设函数讨论时的极限是否存在.解:利用定理结合图示法.因为

显然所以不存在.第11页，共45页，2023年，2月20日，星期四讨论分段函数在分段点处的极限时，当分段点两侧函数表达式不同时，要用左右极限讨论解：因为：第12页，共45页，2023年，2月20日，星期四2.2极限的运算法则则有法则1：若法则2：若则有第13页，共45页，2023年，2月20日，星期四法则3：

若且B≠0,则有推论1.(C为常数)推论2.(n为正整数)第14页，共45页，2023年，2月20日，星期四特别：若则有第15页，共45页，2023年，2月20日，星期四例1求解：原式=第16页，共45页，2023年，2月20日，星期四例2求解：原式第17页，共45页，2023年，2月20日，星期四解运用法则1、2及推论可得:例3因此第18页，共45页，2023年，2月20日，星期四解：因为例4，在分式里分母不能为0，所以要对分子和分母进行因式分解，得：第19页，共45页，2023年，2月20日，星期四作业3求解:

时,分子分子分母同除以则分母原式第20页，共45页，2023年，2月20日，星期四

一般的处理方法是先通分再运用前面介绍过的求极限的方法.例6第21页，共45页，2023年，2月20日，星期四2.3极限存在准则与两个重要极限1.夹逼准则(两边夹定理）一极限存在准则定理Ⅰ如果函数g（x）、f（x）及h（x）满足下列条件:那么函数f（x）的极限存在,第22页，共45页，2023年，2月20日，星期四例1解由夹逼准则得第23页，共45页，2023年，2月20日，星期四2.单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:第24页，共45页，2023年，2月20日，星期四证：(舍去).)n例2(的极限存在式重根证明数列第25页，共45页，2023年，2月20日，星期四二、两个重要极限1、第26页，共45页，2023年，2月20日，星期四BD<弧BC<ACsinx<x<tanx上式同时除以sinx,得：再进一步处理，得：上式子对于也成立由于由夹逼准则得：第27页，共45页，2023年，2月20日，星期四例1.求解:第28页，共45页，2023年，2月20日，星期四例2（1）解:第29页，共45页，2023年，2月20日，星期四2、定义第30页，共45页，2023年，2月20日，星期四2、无穷大量1、无穷小量

2.4、无穷小与无穷大,无穷小的比较3、无穷小的比较第31页，共45页，2023年，2月20日，星期四当1、无穷小量定义1.若时,函数则称函数例如:函数

当时为无穷小;函数时为无穷小;为时的无穷小

量.简称无穷小第32页，共45页，2023年，2月20日，星期四2、

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

3、常数与无穷小的乘积是无穷小.4、有限个无穷小的乘积是无穷小.无穷小运算法则1、有限个无穷小的代数和还是无穷小说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!第33页，共45页，2023年，2月20日，星期四其中为时的无穷小量.定理2.1.(无穷小与函数极限的关系)注：时结论也成立。第34页，共45页，2023年，2月20日，星期四定义2.若时,函数的绝对值无限增大，为时的无穷小大量.简称无穷大则称记为：2.4.2无穷大第35页，共45页，2023年，2月20日，星期四2、

极限非零的变量与无穷大之积仍为无穷大3、无穷大与无穷小之积仍为无穷大无穷大的性质1、有界变量与无穷大之和仍为无穷大第36页，共45页，2023年，2月20日，星期四无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.2.在自变量的同一变化过程中,说明:第37页，共45页，2023年，2月20日，星期四例：

求解(由无穷小与无穷大的关系)x=1时分母=0,分子≠0,因第38页，共45页，2023年，2月20日，星期四2.4.3、无穷小的比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限第39页，共45页，2023年，2月20日，星期四定义2.11：设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且是的高阶无穷小，记作=0（）是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小，记为~是的k阶无穷小第40页，共45页，2023年，2月20日，星期四等价无穷小替换定理2.3(等价无穷小替换定理)证第41页，共45页，2023年，2月20日，星期四常用等价无穷小:第42页，共45页，2023年，2月20日，星期四例1解第43页，共45页，2023年，2月20日，星期四例2解第44页，共45页，2023年，2月20日，星期四内容小结1