结构位移计算

结构位移计算第1页，共62页，2023年，2月20日，星期四1

前面所学五种静定结构(梁,刚架,拱,桁架,组合结构)的内力计算可归结为强度问题,而结构力学的重要任务之一是解决刚度问题_结构位移计算.

本章要讨论各种杆件结构的位移计算,依据虚功原理.先推导出杆件结构位移计算的一般公式,再讨论具体结构的位移.第2页，共62页，2023年，2月20日，星期四2A′第6章结构位移计算§6—1概述§6—2变形体系的虚功原理§6—3位移计算的一般公式§6—4静定结构在荷载作用下的位移计算§6—5图乘法§6—6静定结构温度变化时的位移计算§6—7静定结构支座移动时的位移计算§6—8线弹性结构的互等定理第3页，共62页，2023年，2月20日，星期四3§6—1概述1.变形和位移变形：是指结构形状的改变。位移：是指结构各处位置的移动。FA△Ay△Ax△A□A′A任何结构都由可变形体(固体)材料组成,在荷载作用下会产生变形和位移。F2.位移的分类截面的线位移：截面的角位移：A(△A)△Ay△Ax绝对位移杆件的角位移：AB第4页，共62页，2023年，2月20日，星期四4FABCD△C△D

两截面的相对线位移：△C+△D相对位移两杆件的相对角位移：AC+BD两截面的相对角位移：A+BBAC′D′F广义的位移——角、线位移；相对、绝对位移3.引起位移的原因（1）荷载作用——内力——变形——位移（2）温度变化——结构变形——位移（3）支座位移——几何位置改变——位移第5页，共62页，2023年，2月20日，星期四54．计算结构位移的目的

1）校核刚度——位移是否超过许用限值，防止构件和结构产生过大的变形而影响结构的正常使用。3.铁路钢板桥和钢桁梁：最大挠度<1/700和1/900跨度1.吊车梁:允许挠度<1/600

跨度；2.高层建筑:最大位移<1/1000

高度;

最大层间位移<1/800

层高第6页，共62页，2023年，2月20日，星期四6

2）满足施工要求结构的变形(可能与正常使用时完全不同)。1.悬臂拼装架梁:

正常使用时，最大挠度在跨中，施工时悬臂端B挠度最大，设计时考虑。B起拱高度△第7页，共62页，2023年，2月20日，星期四73）解超静定问题

平衡条件+变形协调条件(求结构的位移)4）结构动力计算的需要。5．位移计算的有关假定

1）线弹性;2）小变形;3）理想联结。第8页，共62页，2023年，2月20日，星期四8功=力×力作用点沿其方向的位移§6—2变形体系的虚功原理1.功的定义:S⌒AF⌒BFF常力功变力功第9页，共62页，2023年，2月20日，星期四9d力偶功M=FdFFFF

广义力可以是一个集中力、一对集中力，也可以是一个力偶、一对力偶；广义位移是相应的沿力方向的线位移和沿力偶转向的角位移或相对位移。第10页，共62页，2023年，2月20日，星期四10

1)作功的力系为一个集中力2)作功的力系为一个集中力偶3)作功的力系为两个等值反向的集中力偶4)作功的力系为两个等值反向的集中力其他形式的力或力系所作的功也用两个因子的乘积表示为：功=广义力×广义位移第11页，共62页，2023年，2月20日，星期四112实功与虚功实功：ABF11△虚功：ABF22△力在非自身所产生的位移（其它荷载、温度改变、支座移动、变形、制造误差等）上作的功,力与位移毫不相干。W12=F1·△2力在本身引起的位移上作的功。12F第12页，共62页，2023年，2月20日，星期四121.5ΔΔF11.5F1刚体的虚功原理:

理想约束的刚体系在力系作用下处于平衡时,所有外力在任何可能的虚位移上所作虚功总和为零。2ll=1.5F1根据力矩平衡条件F2F1第13页，共62页，2023年，2月20日，星期四13

外力与虚位移无关，为分析方便，力状态与位移状态分开。

力状态——所有外力(荷载与支反力)处于平衡状态；

位移状态——虚位移由其它任何原因(别的力、温度变化、支座移动等)引起，但须是约束条件允许的微小位移。

2.变形体的虚功原理：

·dsABqFAyFAxFByF1F2dsAB力状态：静力平衡位移状态：其它原因引起第14页，共62页，2023年，2月20日，星期四14·ABqFAyFAxFByF1F2力状态：静力平衡M+dMMFN+dFNFNFS+dFSFSdsq考察微段ds上总虚功:按外力虚功与内力虚功计算:MFNFSqkjM+dMFN+dFNFS+dFSqi相邻微段k、j、i连续，变形协调，位移相等，而力为作用力与反作用力，虚功相互抵消，即W内=0，故：ds位移状态：其它原因引起第15页，共62页，2023年，2月20日，星期四15·AB位移状态：其它原因引起(2)按刚体虚功与变形虚功计算:

dsdsBACDB'A'C'D'A''B''C''D''微段ds处于平衡状态，由刚体的虚功原理知：dW刚＝０，故：将ds虚位移分解为：刚体虚位移:

ABCDA'B'C'D'由(a)(b)两式，变形体的虚功原理：变形虚位移:

A'B'C'D'A''B''C''D''力状态：静力平衡第16页，共62页，2023年，2月20日，星期四16结论：P91

变形体处于平衡状态，当发生任一虚位移时，变形体所受外力在此虚位移上所做的总虚功，恒等于各微段在其变形位移上所做的虚功之和。注意：１.适用于任何类型的结构，弹性、非弹性、线性、非线性；２.外力与虚位移相互独立，两者毫不相干，虚位移由其它原因引起，外力在此虚位移上做虚功。

实际应用时两种情形：

a)给定力状态，另设一位移状态，用虚功方程求力状态的未知力，称为虚位移原理；

b)给定位移状态，另设一力状态，用虚功方程求位移状态的未知位移，称为虚力原理。第17页，共62页，2023年，2月20日，星期四17FN+dFNFN３．变形虚功的计算

B'A'C'D'A''B''C''D''M+dMMFS+dFSFSFN+dFNFNFN+dFNFNdsdu=dsdFS+dFSFSdsM+dMMMM+dMd=kds轴向变形虚功：

dW=FNdu=FNdds剪切变形虚功：

dW=Fsds弯曲变形虚功：

dW=Md=Mkds微段变形虚功：dW变=FNdds+Fsds+Mkds=(FNd+Fs+Mk)ds整个体系总变形虚功：W变=(FNd+Fs+Mk)ds由变形体的虚功原理：W外=(FNd+Fs+Mk)ds注意：FN、FS、M——力状态的内力；du、、d——位移状态的变形；第18页，共62页，2023年，2月20日，星期四18kkFK=1K1.位移计算的一般公式一刚架因外荷载(F1、F2)、温度变化(t1、t2)、及支座移动(C1、C2、C3)等因素引起位移如图示。F2F1kkKK′△Kds求任一指定截面K沿任一指定方向k—k上的位移△K。t1t2c2c3c1§6—3位移计算的一般公式单位荷载法实际状态－位移状态△K，ci虚拟状态－力状态利用虚功原理：外力虚功：W外=变形虚功：W变=du、d、ds×外力虚功×变形虚功第19页，共62页，2023年，2月20日，星期四19可得：结构位移计算的一般公式，若计算结果为正，所求位移△K与假设的FK=1同向,称为单位荷载法。实际位移状态的位移、变形虚拟力状态的外力、内力？待求位移虚设单位力负号哪来的？外力虚功变形虚功第20页，共62页，2023年，2月20日，星期四202力的虚设方法

力的大小—一般虚设单位力。力的位置—作用在所求位移的点及方向上。

力的方向—随意假设，若求出的位移是正的，说明位移与假设方向一致。力的性质—求线位移加单位集中力；求转角加单位力矩；求二点的相对位移加一对相反的单位集中力；求二点相对转角加一对单位力矩。

应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应的虚拟力状态。第21页，共62页，2023年，2月20日，星期四例如:A求△Ax实际状态虚拟状态A1A求A1虚拟状态AA虚拟状态虚拟状态B求△AB11B求AB11广义力与广义位移对应第22页，共62页，2023年，2月20日，星期四22Fp=1求C点竖向位移求B点水平位移Fp=1Fp=1Fp=1Fp=1Fp=1CB求A、B两点相对竖向位移AB求A、B两点相对水平位移AB练习:第23页，共62页，2023年，2月20日，星期四M=1求C点相对转角位移Fp=1/LFp=1/LC求CD杆相对转角位移

C

DL第24页，共62页，2023年，2月20日，星期四§6—4静定结构在荷载作用下的位移计算当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位移△KP，此时没有支座位移，故一般公式为△KP=式中：为虚拟状态中微段上的内力；dP、duP、

Pds为实际状态中微段上的变形。由材料力学知dP=duP=Pds=将以上诸式代入，得△KP=这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。第25页，共62页，2023年，2月20日，星期四252.公式简化1.梁和刚架△K=2.桁架△K=3.组合结构△K=

在实际计算时，根据结构的具体情况,一般公式可以简化：以弯曲变形为主，轴向、剪切变形可略去。只有轴力，同一杆件轴力为常数。第26页，共62页，2023年，2月20日，星期四263.计算步骤1）.虚设2）.求3）.求4）.代入相应的简化公式，求解。第27页，共62页，2023年，2月20日，星期四27

P100例6—1

求图示刚架A点的竖向位移△Ay。E、A、I为常数。ABCqLLA`实际状态虚拟状态ABC1解：1.设置虚拟状态xx选取坐标如图。则各杆弯矩方程为:AB段：x,BC段：2.实际状态中各杆弯矩方程为AB段：BC段：MP=MP=xx3.代入公式,得△Ay=，()=(-x)(-2qx2)EIdx+(-L)(-2qL2)EIdx注意：若同时考虑刚架轴向、剪切变形的影响，则结果见P101上。第28页，共62页，2023年，2月20日，星期四28作业：

P1176-16-46-6（用积分法）预习：图乘法第29页，共62页，2023年，2月20日，星期四29

学习小结摘选

“…（抄教材绪论）…通过学习,我意识到课程与今后专业课的联系密切，今后…”“…（总结各章主要知识点）…老师讲能听懂,但有时做题感到无从下手，有的题目开始不会做，问同学后觉得豁然开朗。…”“…（抄教材目录）…感到课程很重要，今后一定…但愿期末…”——迫于无奈，苦学期待性的学习

“…（总结学习感想，体会学习乐趣）…这门课给了我冥思苦想之把难题应刃而解的快感，开阔了思路，让我变得智慧…我认为学习应…”“…（总结学习内容、解题方法）…成绩的好坏，老师只起引导作用，关键在于自己的点滴积累，今后要做到课前…”——习惯性的学习，好学——期待性的学习，会学

“…（详细总结知识点，梳理知识结构）…很适应老师的讲课节奏…有的题目同学常常经过激烈讨论…我认为学习应…”"昨夜西风凋碧树,独上高楼,望尽天涯路(求索)“衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴"(曲折)"众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处”(顿悟)第30页，共62页，2023年，2月20日，星期四30ABABMP图§6—5图乘法符合下述条件时,积分可简化:（1）杆轴为直线；（2）EI=常数；（3）和M两弯矩图至少其一为直线。

MP(x)dxdAxxyO⌒公式推导

梁和刚架在荷载作用下的位移，需积分:设直杆AB段的两个弯矩图中，MP图任意,则:为直线直杆ds=dx常数第31页，共62页，2023年，2月20日，星期四31ABABMP图MP(x)dxdAxxyO⌒C形心xCyC

=xCtg

几何意义——一个弯矩图的面积A乘以其形心处所对应的另一个直线弯矩图的竖标yC，再除以EI，即得结构上某截面处的位移。×形心AyC这种直接在MP图和M图上进行的相乘求位移的方法即为图乘法。

图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。第32页，共62页，2023年，2月20日，星期四32若结构上各杆段均可图乘则位移计算公式可写成：注意事项:P104（2）竖标yC只能取自直线图形；两图均为直线时，A，yC

可任意分别取自两图；（3）若A与yC在基线同侧则乘积为正;（4）不要漏掉EI。

（1）必须符合上述前提条件。第33页，共62页，2023年，2月20日，星期四332.熟记常见图形的面积和形心P104图6-14lh形心2l/3l/3直角三角形第34页，共62页，2023年，2月20日，星期四34lh标准二次抛物线顶点l/2标准二次抛物线3l/85l/8A1A2顶点h3l/4l/4l顶点:切线平行于底边的点，顶点在中点或端点的称为标准抛物线。第35页，共62页，2023年，2月20日，星期四35图（

）图BAq例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角解:1第36页，共62页，2023年，2月20日，星期四36

P106例6-4

求刚架C、D两点间距离的改变。设EI=常数。ABCDLhq解：1.作实际状态的MP图。MP图2.设置虚拟状态并作。11hhyC=h3.代入公式计算（→←）∆CD=∑EIAyC=EI1(328qL2L)h=12EIqhL2A形心第37页，共62页，2023年，2月20日，星期四373.复杂图形图乘时的分解当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。例如：MP图abcdl则y1=2c/3+d/3y2=c/3+2d/3MP图abcdy1y2此时y1=2c/3－d/3y2=2d/3－c/3y2y1A1A2第38页，共62页，2023年，2月20日，星期四38MP图abcdly2y1A1A2两梯形之间的图乘速记公式：当a、b、c、d在基线同侧时乘积为正，反之为负。练习：第39页，共62页，2023年，2月20日，星期四39练习：21136mMP图1246m1MP图326m2第40页，共62页，2023年，2月20日，星期四40＝MAQAMAQBMBMB均布荷载作用下的直杆，其弯矩图均可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。叠加后的抛物线图形（）与原抛物线图形（）的面积大小和形心位置以及形心处的竖标仍然是相同的。↷↶ABL第41页，共62页，2023年，2月20日，星期四41当yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。A1A2A3y1y2y3A1A2A3y1y2y3△=(A1y1+A2y2+A3y3)I1I2I3△=练习：P1186-5判断正误第42页，共62页，2023年，2月20日，星期四42

P106例6-5求图示刚架A点的竖向位移△Ay。FABCDEIEI2EILLL/2解：1.作MP图、FFLMP图1L；2.图乘计算。△Ay=（↓）∑EIAyC=EI1(2L‧L2FL(L‧4=16EIFL2)-2EI123L)FL第43页，共62页，2023年，2月20日，星期四43

P106例6-6

求图示外伸梁C点的竖向位移△Cy。

EI=常数。qABCL图1A1y2y3+解：1.作MP图2.作图3.图乘计算y1=y2=y3=△Cy=y1MP图A2A3第44页，共62页，2023年，2月20日，星期四44练习1:求三铰刚架铰c两侧截面的相对角位移C

，EI=常数。解：1）作实际状态的弯矩图：

2）建立虚设状态，并作弯矩图：

3）由公式求位移：第45页，共62页，2023年，2月20日，星期四45练习2:

刚架EI=1.5×105kN.m2，求△Cy和C。6m6mCAB10kN/m20kNCAB300300MP(kN.m)45CAB166MCABM111第46页，共62页，2023年，2月20日，星期四46作业：

P1186-6（用图乘法）6-86-10

预习：第6-6、6-7、6-8节第47页，共62页，2023年，2月20日，星期四47K1虚K实§6—6静定结构温度变化时的位移计算

静定结构在温度变化时，不产生内力，但由于材料热胀冷缩，结构将产生变形和位移。设结构外侧温度升高t1，内侧温度升高t2,求K点的竖向位移△Kt。t1t2研究实际状态中任一微段ds,

由于温度变化产生的变形：t1t2t2dst1dsdtdut=(t1ds+t2ds)/2=tdsdsdsK`dsh式中△t=t2－t1dt=(t2ds-t1ds)/h=h∆tds式中代入，得：△Kt=温度变化不会引起剪切变形，即t=0温度变化引起的变形△Ktds第48页，共62页，2023年，2月20日，星期四48若各杆均为等截面时，则有：正负号的确定：当实际温度变形与虚拟内力方向一致时其乘积为正，相反时为负。梁和刚架可略去轴力的影响。桁架在温度变化时的位移计算公式为：P110书上例题6-8自学：第49页，共62页，2023年，2月20日，星期四49

例：6—5

图示刚架施工时温度为20℃，求冬季外侧温度为－10℃，内侧温度为0℃时A点的竖向位移△Ay。已知L=4m，=10－5，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。LLt1t2实解：外侧温度变化绘图，AA1虚1代入公式，并注意正负号(判断)，L△Ay可得

t1=－10℃－20℃=－30℃,内侧温度变化

t2=0℃－20℃=－20℃。

t=(t1+t2)/2=－25℃,△t=t2－t1=10℃第50页，共62页，2023年，2月20日，星期四50§6—7静定结构支座移动时的位移计算静定结构的支座移动并不引起变形,但会使某些截面产生位移。实际状态变形为零此时，位移计算公式化简为:虚拟状态的支反力实际状态的支座移动

?

?注意:第51页，共62页，2023年，2月20日，星期四51hL/2L/2ABC

P111例6-9三铰刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m↓水平位移△Bx=0.04m→,已知L=12m，h=8m。求A

。△Bx△By实解：虚拟状态如图。ABC1=0.0075rad()虚第52页，共62页，2023年，2月20日，星期四52解：虚拟状态如图。=0.005rad()练习:刚架支座A水平、竖向位移分别为a=3cm和b=1.5cm,试求支座C处截面的转角。

ABbCA'4m3m3m6maABC虚实11/41/41/6第53页，共62页，2023年，2月20日，星期四53拓展知识——制造误差引起的位移计算静定结构由于制造误差引起位移的计算,原理与温度变化引起位移的计算相同，只需将制造误差引起的实际变形视为虚拟状态的虚位移。由P95一般公式6-5：虚拟状态的杆轴力杆件的制造误差注意:对桁架：第54页，共62页，2023年，2月20日，星期四54解：虚拟状态如图。=-0.01a()练习:=

。2、图示桁架，设其制作完工后，各杆均发生1/1000的收缩，则结点

C

的竖向位移=

。图示桁架，设其制作时两上弦杆均比设计尺寸长了1/100，求结点C的竖向位移△Cy。=

。实虚11-0.5-0.5第55页，共62页，2023年，2月20日，星期四5512§6—8线弹性结构的互等定理（1）功的互等定理：第一状态M1、FN1、FS1、F1、△21F1△2112第一状态的外力在第二状态相应的位移上所作的虚功W12;四个定理,最基本的是功的互等定理,为以后的力法用。设两组外力F1、F2分别作用于同一线弹性结构上，分别称为第一状态和第二状态。第一状态M2、FN2、FS2、F2、△12第一状态的内力在第二状态相应的变形上所作的虚功W12i;原因方位△12F2据虚功原理：W12=W12i，第56页，共62页，2023年，2月20日，星期四56W12=或W12=W21故