高考数学大一轮复习平面向量的概念及线性运算理苏教版

高考数学大一轮复习平面向量的概念及线性运算理苏教版第1页/共90页1.向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称为)平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意的记作__单位向量长度等于长度的向量大小方向长度模01个单位0第2页/共90页平行向量方向

或

的非零向量0与任一向量

或共线共线向量

的非零向量又称为共线向量相等向量长度

且方向

的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度

且方向

的向量0的相反向量为0相同相反方向相同或相反相等相同相等相反平行第3页/共90页2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝

.(2)结合律：(a＋b)＋c＝

.三角形平行四边形b＋aa＋(b＋c)第4页/共90页减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

法则a－b＝a＋(－b)三角形第5页/共90页数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝

；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向

；当λ<0时，λa的方向与a的方向

；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝

λ(μa)＝

；(λ＋μ)

a＝

；λ(a＋b)＝

|λ||a|相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb第6页/共90页3.向量共线定理如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.第7页/共90页思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.(

)(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.(

)(3)已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝2.(

)×√×第8页/共90页(4)△ABC中，D是BC中点，则

＝

( ＋

).(

)(5)向量

与向量

是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.(

)(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.(

)返回√×√第9页/共90页题号答案解析12343－1－2

Enter第10页/共90页解析第11页/共90页题型一平面向量的概念例1给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝

”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________.解析答案思维升华第12页/共90页①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.题型一平面向量的概念例1给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝

”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________.又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；解析答案思维升华第13页/共90页反之，若四边形ABCD为平行四边形，题型一平面向量的概念例1给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝

”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________.解析答案思维升华第14页/共90页题型一平面向量的概念例1给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝

”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________.③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确.当a∥b且方向相反时，解析答案思维升华第15页/共90页题型一平面向量的概念例1给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝

”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________.即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③.解析答案思维升华第16页/共90页题型一平面向量的概念例1给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝

”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________.即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③.②③解析答案思维升华第17页/共90页(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.题型一平面向量的概念例1给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝

”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________.②③解析答案思维升华第18页/共90页题型一平面向量的概念例1给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝

”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________.②③解析答案思维升华第19页/共90页跟踪训练1

下列命题中，正确的是________.(填序号)①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量

与向量

共线，则A、B、C、D四点共线；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c；⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.第20页/共90页解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④不正确，如果b＝0，则a与c不一定平行；⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.答案⑤第21页/共90页题型二平面向量的线性运算解析答案思维升华例2

(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若

＝a，

＝b，则

＝_________.(用a，b表示)第22页/共90页由题意知，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，题型二平面向量的线性运算例2

(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若

＝a，

＝b，则

＝_________.(用a，b表示)解析答案思维升华第23页/共90页题型二平面向量的线性运算例2

(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若

＝a，

＝b，则

＝_________.(用a，b表示)解析答案思维升华第24页/共90页题型二平面向量的线性运算例2

(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若

＝a，

＝b，则

＝_________.(用a，b表示)解析答案思维升华第25页/共90页(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.题型二平面向量的线性运算例2

(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若

＝a，

＝b，则

＝_________.(用a，b表示)解析答案思维升华第26页/共90页(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.题型二平面向量的线性运算例2

(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若

＝a，

＝b，则

＝_________.(用a，b表示)解析答案思维升华第27页/共90页解析答案思维升华第28页/共90页解析答案思维升华第29页/共90页解析答案思维升华第30页/共90页(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.解析答案思维升华第31页/共90页(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.解析答案思维升华第32页/共90页第33页/共90页第34页/共90页第35页/共90页题型三共线定理的应用解析思维升华第36页/共90页题型三共线定理的应用解析思维升华第37页/共90页题型三共线定理的应用又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线.解析思维升华第38页/共90页(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.题型三共线定理的应用解析思维升华第39页/共90页(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b不共线.题型三共线定理的应用解析思维升华第40页/共90页例3

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.解析思维升华第41页/共90页例3

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.解∵ka＋b和a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是两个不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.解析思维升华第42页/共90页例3

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.解析思维升华第43页/共90页例3

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.解析思维升华(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b不共线.第44页/共90页第45页/共90页又因为点D是BC边上靠近B的三等分点，答案③第46页/共90页3第47页/共90页思想与方法系列7方程思想在平面向量的线性运算中的应用思维点拨规范解答温馨提醒第48页/共90页(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.(2)既然

能用a、b表示，那我们不妨设出

＝ma＋nb.(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解.思维点拨规范解答温馨提醒第49页/共90页4分

思维点拨规范解答温馨提醒第50页/共90页6分

即m＋2n＝1.①

9分

思维点拨规范解答温馨提醒第51页/共90页12分

又∵C、M、B三点共线，思维点拨规范解答温馨提醒第52页/共90页消去t1得，4m＋n＝1.②14分

思维点拨规范解答温馨提醒第53页/共90页返回(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度.(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.思维点拨规范解答温馨提醒第54页/共90页方法与技巧1.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.第55页/共90页方法与技巧2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.第56页/共90页失误与防范1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.返回第57页/共90页234567891011.下列说法正确的个数是________.①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；②零向量没有方向；③向量的模一定是正数；④非零向量的单位向量是唯一的.解析①错误，只有速度和位移是向量；第58页/共90页23456789101②错误，零向量是有方向的，它的方向是任意的；③错误，|0|＝0；④显然错误.答案0第59页/共90页345678910122.已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝________.解析2a－b＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7).(5,7)第60页/共90页24567891013第61页/共90页24567891013∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.答案－1第62页/共90页235678910144.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且

＝0，则△ABC的内角A＝________.又O为△ABC外接圆的圆心，∴△ABC为等边三角形，A＝60°.60°第63页/共90页23467891015第64页/共90页234578910166.下列命题：①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一方向相同；④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等.其中假命题的序号为________.第65页/共90页23457891016解析①若a与b长度相等，方向相反，则a＋b＝0；③A，B，C三点可能在一条直线上；④|a|＋|b|≥|a＋b|.答案①③④第66页/共90页23456891017解析设D为AC的中点，连结OD，第67页/共90页23456891017从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2.答案1∶2第68页/共90页23456910178第69页/共90页23456910178第70页/共90页234567810199.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？解∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k