力学大会2015集交通土木建筑工程学院

概率与方差（交通大学土木建筑：概率方差目前研究是随机动力学的一个热点，其是基于地面运动激励的反应谱设计如果随机动力学的激励是一个平稳过程，则称其为概率 𝑢+ +𝜔2𝑢= 中，𝐸[𝑓(𝑡)]0，𝐸[𝑓(𝑡)𝑓(𝑡𝜏0)𝑅𝑓(𝜏0)𝑅𝑓(0)=𝜎2𝑅(0)=， 对𝑅𝑓(𝜏)，𝑅𝑢(𝜏)作Fourier变换，即谱密度函𝑆𝑓(𝜔)=𝑆𝑢(𝜔)=𝑅𝑓(𝑡)=𝐹‒𝑅𝑢(𝑡)=𝐹‒𝜎2=𝐹‒1[𝑆 𝑡=报告人简介：1988.5-，计算力学，博士𝜎2=𝐹‒1[𝑆 𝑡=设系统(1)对应的Green函数𝐺(𝑡1,𝑡2)=ℎ(𝑡1‒𝑡2)，其中ℎ(𝑡)的Fourier1𝐹[ℎ(𝑡)]=𝐻(𝜔)= 𝜔2‒𝜔2+ 𝑢(𝑡)=ℎ(𝑡)∗其中为卷积，其Fourier𝐹[𝑢(𝑡)]=𝐹[ℎ(𝑡)∗𝑓(𝑡)]=𝐹[ℎ(𝑡)]𝐹[𝑓(𝑡)]=𝑆𝑓(𝜔)=𝐹[𝑓(𝑡)]𝐹[𝑓(̅𝑡)]=𝑆𝑢(𝜔)=𝐹[𝑢(𝑡)]𝐹[𝑢(̅𝑡)]=𝐻(𝜔)𝐹(𝜔)𝐻(𝜔)̅𝐹(𝜔)=𝜎2

∙̅为共轭∞∞1∫𝑆𝑢(𝜔)𝑑𝜔∞∞

1 ‒∞1

‒∞1 𝜎2

𝜔2𝑆(𝜔)𝑑𝜔‒∞1

𝜔2|𝐻(𝜔)|2𝑆‒∞1 𝜎2

𝜔4𝑆(𝜔)𝑑𝜔‒

𝜔4|𝐻(𝜔)|2𝑆‒‒𝑅𝑓(𝑡)= 则𝑆(𝜔)=𝐹[𝑅(𝑡)]

𝜎2𝜎2分别计算𝑢，𝑣，

1+2∞=2𝜋∫|𝐻(𝜔)|=2𝜋∫|𝐻(𝜔)|2𝑆𝑓(𝜔)𝑑𝜔=2𝜋∫

2 22‒‒ 𝜔2 1+22‒‒ 1𝜏=𝜔(1‒

2=4𝜔4𝜁(1‒2其中 时 2 ‒1 ‒

|1𝜏

1𝜎

=2𝜋∫𝜔2|𝐻(𝜔)|2𝑆𝑓(𝜔)𝑑𝜔=

𝜔2𝜔2‒𝜔2+‒

21+ 𝑛时 𝑛时 2 ‒1 ‒

|𝜏

1‒

1𝜎

=2𝜋∫𝜔4|𝐻(𝜔)|2𝑆𝑓(𝜔)𝑑𝜔=

‒∞𝜔4𝜔2‒𝜔2+

21+

𝑛时 4𝜁(1‒𝑢+ 𝜔4+(2𝜁 𝑆(𝜔) (𝜔2‒𝜔2)2+(2𝜁𝜔𝜔 其中𝐼,𝜁𝑔,𝜔𝑔分别为对应的强度、阻尼比和自然频率。有1 1+𝜎2= 𝑆(𝜔)𝑑𝜔=

𝑔𝜔 ‒

总加速度为𝑢𝑢𝑔，其谱密度

=

+𝑢𝑔]𝐹[𝑢+𝑢𝑔]=(𝜔2𝐻(𝜔)𝐹[𝑢𝑔]+𝐹[𝑢𝑔])(𝜔2𝐻(𝜔)𝐹[𝑢̅𝑔]2

1 (1+ +(1+4𝜁2)𝜔3𝜁+ 𝜔(𝜔1 𝑆(𝜔)𝑑𝜔 𝑔 𝑔 4𝜁𝜁(𝜔4+𝜔4+ 𝜔𝜔(𝜔2+𝜔2)+𝜎2

‒𝜔𝑔𝜔𝑛∗

𝑔𝑔 分别计算相对于地面运动的𝑢，𝑣， 1 𝜔 +4𝜁𝜔2𝜔𝜁2+ ∫|𝐻(𝜔)|2𝑆(𝜔)𝑑𝜔 𝑔 𝑔𝑛 𝑔 4𝜁𝜔3𝜁(𝜔4+𝜔4+4𝜁𝜔3𝜔𝜁+‒∗

𝑛 𝑔𝑛 1 += ∫𝜔2|𝐻(𝜔)|2𝑆(𝜔)𝑑𝜔= 𝑔𝑔 𝑛𝑔 4𝜁𝜔𝜁(𝜔4+𝜔4+4𝜁𝜔3𝜔𝜁+‒∗

𝑛 𝑔𝑛 1 𝜔2(4𝜔3𝜁3+ 𝜔2𝜁4+𝜔3(𝜁= ∫𝜔4|𝐻(𝜔)|2𝑆(𝜔)𝑑𝜔= 𝑛𝑔 𝑔𝑛𝑔 (𝜔4+𝜔4+4𝜁𝜔3𝜔𝜁+4𝜁𝜔

∗

‒𝑀𝑈+𝐶𝑈+𝐾𝑈=

𝑔𝑛 Φ𝑇𝑀Φ=𝐼，Φ𝑇𝐾Φ= Φ𝑇𝐶Φ=同时𝑈=故耦合系统(3)等价于非耦合系

=Φ𝐷𝑈=

𝐷+𝑑𝑖𝑎𝑔{2𝜁1𝜔1,2𝜁2𝜔2,…}𝐷+𝑑𝑖𝑎𝑔{𝜔2,𝜔2,…}𝐷= (Φ𝑇𝐹)𝑖=若𝑓𝑗是期望为 𝑅𝑓𝑗(𝑡)， 𝑆𝑓(𝜔)=𝐹[𝑅𝑓 则(4)式对应的谱密度𝑆𝐹(𝜔)=

𝜎 𝜎 𝜎分别计算第𝑖个子方程的位移方差𝑑0,𝑖、速度方差𝑑1,𝑖、加速度方差2==1∑𝜙2∞|𝐻 1

‒∞

𝜎2=∑𝜙2∫𝜔2|𝐻 1

‒∞

𝜎2=∑𝜙2∫𝜔4|𝐻

‒

𝜎 𝜎 𝜎分别计算第𝑖个位移未知量𝑖对应的位移方差𝑢𝑖、速度方差𝑣𝑖、加速度方差∑𝜙2∫∑𝜙2∫|𝐻(𝜔)|2𝑆 ∞𝜎2𝜎2=∑𝜙2𝜎2=1

1

(

‒∞

)

1

( ‒(∞

∑𝜙2∫𝜔4|𝐻

𝑓

‒参考文献Chopra,A.(1981).DynamicsofStructures,APrimer,EarthquakeEngineeringResearchInstitute,Berkeley,CA,126pp.Clough,R.W.andPenzien,J.(1993).DynamicsofStructures,2nded.,McGraw-Hill,NewYork.Lin,Y.K.,andYong,Y.(1987).“EvolutionaryKanai-models”,ASCEJ.Engng.Mech.113,1119-1137.Xu,X.F.(2011).“Stochasticcomputationbasedonorthogonalexpansionofrandomfields”,Comput.MethodsAppl.Mech.Engrg.200(41-44)2871-2881.Xu,X.F.(2012).“Quasi-weakandweakformulationofs