北京2016年数学压轴题

顺义一模28.如图，△48C中，AB=AC,点P是三角形右外一点，且N4PB=N4BC.

(1)如图1,若NR4C=60。，点尸恰巧在NZ8C的平分线上，PA=2,求P8的长；

(2)如图2,若NA4c=60。，探究尸/,PB,PC的数量关系，并证明;

(3)如图3,若/8/C=120。，请直接写出P4PB,PC的数量关系.

29.己知：如图1,抛物线的顶点为M,平行于x轴的直线与该抛物线交于点A,8(点A

在点B左侧)，根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△A/WB为直角三角形

时，就称△AM8为该抛物线的“完美三角形”.

(1)①如图2,求出抛物线y=x'的“完美三角形"斜边A8的长；

②抛物线歹=X2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是；

(2)若抛物线了=依2+4的“完美三角形”的斜边长为4,求。的值；

(3)若抛物线y^mx2+2x+n-5的“完美三角形”斜边长为。，且y=加/+2x+n-5

的最大值为-1,求m,n的值.

图1图2备用图

怀柔一摸28.在等边AABC外侧作直线/P,点8关于直线zl尸的对称点为D,连接BD,CD,

其中CD交直线AP

于点E.

(1)依题意补全图1:

(2)若NPAB=30°,求NACE的度数；

(3)如图2,若60°<ZPAB<120°,判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角

的三角形，并证明.

29.对某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点所形成的图形，叫做符合这个条

件的点的轨迹.例如，平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半

径的圆.

(1)如图1,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,A(0,2),B是x轴上一动点，当点B在

x轴上运动时，点C在坐标系中运动，点C运动形成的轨迹是直线DE,且DE，x轴

于点G.

(2)当aABC是等边三角形时，在(1)的条件下，动点C形成的轨迹也是一条直线.

①当点B运动到如图2的位置时，AC〃x轴，则C点的坐标是.

②在备用图中画出动点C形成直线的示意图，并求出这条直线的表达式.

③设②中这条直线分别与x,y轴交于E,F两点，当点C在线段EF上运动时，点H在线

段OF上运动，(不与0、F重合)，且CH=CE,则CE的取值范围是.

AA

OxOx

备用图1备用图2

朝阳一模28.在△48C中，ZC=90°,/C=8C,点。在射线BC上(不与点5、C重合)，连接

AD,将4。绕点。顺时针旋转90。得到。E,连接8E.

(1)如图1,点。在8c边上.

①依题意补全图1:

②作。产，8c交于点/，若/C=8,DF=3,求BE的长；

(2)如图2,点。在8C边的延长线上，用等式表示线段48、BD、BE之间的数量关系

(直接写出结论).

29.定义:对于平面直角坐标系x°y中的线段P。和点M,在△MP。中，当尸。边上的高为

2时，称A/为尸。的“等高点”，称此时必+M。为尸0的“等高距离”.

(1)若尸(1,2),0(4,2).

①在点4(1,0),B(-,4),C(0,3)中，尸。的“等高点”是；

2

②若""0)为尸。的“等高点”，求产。的“等高距离”的最小值及此时，的值.

通州一模28.在菱形48C。中，ZABC=60°,E是对角线/C上任意一点，尸是线段BC

延长线上一点，HCF=AE,连接跖、EF.

(1)如图1,当£是线段/C的中点时，易证

(2)如图2,当点E不是线段ZC的中点，其它条件不变时,请你判断(1)中的结论:.

(填“成立”或“不成立”)

(3)如图3,当点E是线段/C延长线上的任意一点，其它条件不变时，(1)中的结论

是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

图1图2图3

29.如图，在平面直角坐标系中，已知点4(2,3)、8(6,3),连结若对于平面内一点

P,线段上都存在点°,使得PQW1,则称点尸是线段的“邻近点”.

(1)判断点。6学，是否线段48的“邻近点”____________(填“是”或“否”)；

(2)若点〃(团，〃)在一次函数y=x—1的图象上，且是线段的“邻近点”，求机的取

值范围.

(3)若一次函数y=x+6的图象上至少存在一个邻近点，直接写出6的取值范围.

咻

6-

5

4

4号

3

2

1-

1_IIIIII、

-1o123456X

丰台一模28.在△/8C中，CA=CB,8为边的中线，点尸是线段1C上任意一点(不

与点C重合)，过点产作PE交8于点E,使NCPE=LNC4B,过点C作CFLPE交PE

2

的延长线于点尸，交N8于点G

(1)如果//CB=90°,

①如图1,当点尸与点/重合时，依题意补全图形，并指出与△CQG全等的一个

三角形;

②如图2,当点p不与点/重合时，求电的值;

PE

CF

(2)如果NC3=4,如图3,请直接写出一的值.

PE

图I图2

29.设点Q到图形少上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离.例如正方形

438满足4(1,0),5(2,0),C(2,1),£)(1,1),那么点。(0,0)到正方形N3CD的

距离为1.

(1)如果。尸是以(3,4)为圆心，1为半径的圆，那么点0(0,0)到。尸的距离

为;

(2)①求点〃(3,0)到直线y=2x+l的距离；

②如果点N(0M)到直线y=2x+l的距离为3,那么a的值是；

(3)如果点G(0,b)到抛物线y=/的距离为3,

请直接写出6的v

4-

值.

3-

2-

1'

-4-3-2-10-1~2~3~4^x

-1■

-2-

-3-

-4-

延庆一模28.已知，点尸是△ZBC边N8上一动点(不与8重合)分别过点48向直

线”作垂线，垂足分别为E,F,。为边48的中点.

(1)如图1,当点尸与点。重合时，AE与BF的位置关系是,QE与QF的数

量关系是;

(2)如图2,当点尸在线段48上不与点。重合时，试判断QE与。产的数量关系，并给予

证明；

(3)如图3,当点P在线段84的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？请画出图形

并给予证明.

29.对于平面直角坐标系中的点尸和线段为8,给出如下定义：在线段外有一点P,

如果在线段48上存在两点C、D,使得NCP〃=90°,那么就把点P叫做线段Z8的悬

垂点.

(1)已知点/(2,0),O(0,0)

①若C(l-),£>(1,1),£(1,2),在点C,D,E中，线段力。的悬垂点是；

②如果点P(利，〃)在直线y=x-l上，且是线段ZO的悬垂点，求〃7的取值范围；

(2)如下图是帽形M(半圆与一条直径组成，点〃是半圆的圆心)，且圆M的半径是

1,若帽形内部的所有点是某一条线段的悬垂点，求此线段长的取值范围.

y八

28(西一)“8C中，AB=AC.取8c边的中点。，作OE_L/C于点E,取DE的中点厂,

连接8E,/尸交于点

Ap

⑴如图1,如果/£4C=90。，那么4"B=°,—=；

BE

(2)如图2,如果NB4C=60。，猜想N4/3的度数和"的值，并证明你的结论；

BE

Ap

(3)如果N84C=a,那么"二.(用含a的表达式表示)

BE

29给出如下规定：两个图形G1和Gz，点P为G1上任一点，点。为G2上任一点，如果

线段P0的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离.

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点.

(1)点Z的坐标为4(1,0),则点8(2,3)和射线OA之间的距离为，点C(-2,3)

和射线0/之间的距离为；

(2)如果直线尸和双曲线y="之间的距离为应，那么4；(可在图1中进

X

行研究)

(3)点E的坐标为(1,由)，将射线OE绕原点。逆时针旋转60。，得到射线OF,在坐

标平面内所有和射线。£，。产之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M.

①请在图2中画出图形M,并描述图形M的组成部分；(若涉及平面中某个区域

时可以用阴影表示)

②将射线OE，。尸组成的图形记为图形W,抛物线y=x2-2与图形M的

公共部分记为图形N,请直接写出图形W和图形N之间的距离.

(平一)28.(1)如图1,在四边形/BCD中，AB=BC,N/8C=80°,//+/C=180。，点

“是边上一点，把射线BM绕点B顺时针旋转40°,与CD边交于点N,请你补全

图形，求MMAM,CN的数量关系；

图3

(2)如图2,在菱形/BCD中，点M是/。边上任意一点，把射线8M绕点8顺时针

旋LzABC,与CD边交于点N,连结MN,请你补全图形并画出辅助线，直接写出

2

AM,CN,MN的数量关系是；

(3)如图3,正方形/BC。的边长是1,点M,N分别在8上，若△。朋N的周

长为2,则△MSN的面积最小值为•

29.设。力是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式。能6的实数x的所有取值的全体

叫做闭区间，表示为［。⑸.对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当机生〃

时，有根金〃，我们就称此函数是闭区间［”网上的“闭函数如函数y=-x+4,当x=l

时，尸3；当x=3时，y=\,即当lWx43时，有14歹43,所以说函数y=-x+4是

闭区间［1,3］上的“闭函数”.

（1）反比例函数尸型”■是闭区间［1,2015］上的“闭函数”吗?请判断并说明理由；

X

（2）若二次函数尸l—2x-左是闭区间［1,2］上的“闭函数”，求左的值；

（3）若一次函数严日+6（原0）是闭区间即网上的“闭函数”,求此函数的解析式（用含机，

〃的代数式表示）.

(门一)28.在RtZ\48C中，ZACB=90°,。是的中点，DE工BC于E,连接CD.

(1)如图1,如果N4=30。，那么。E与CE之间的数量关系是.

(2)如图2,在(1)的条件下，P是线段C8匕一点，连接。P,将线段DP绕点。逆

时针旋转60°,得到线段DF,连接8兄请猜想DE、BF、8P三者之间的数量关系，

并证明你的结论.

(3)如图3,如果/N=a(0°<a<90°),尸是射线C8上一动点(不与8、C重合),

连接。P,将线段。P绕点。逆时针旋转2a,得到线段。尸，连接8凡请直接写出

DE、BF、8P三者之间的数量关系(不需证明).

29.如图，在平面直角坐标系xQy中，抛物线yj/f+bx+c（a>0）的顶点为直线尸机

与x轴平行，且与抛物线交于点力和点B,如果△力融为等腰直角三角形，我们把抛

物线上/、8两点之间部分与线段围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点M称为

碟顶，线段的长称为碟宽.

（1）抛物线y=的碟宽为,抛物线产水2（67>0）的碟宽为.

（2）如果抛物线尸q（x—I）?—6〃（<7>0）的碟宽为6,那么。=.

（3）将抛物线为十小+“>玛（%>0）的准蝶形记为尸〃（片1,2,3,-）,我们定义为，

&,…，为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比.如果尸“与F„.,的相似比为!，

2

且此的碟顶是入〃的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为为，其对应的准

蝶形记为居.

①求抛物线处的表达式；

②请判断Q,F2,3的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该

直线的表达式；如果不是，说明理由.

y

7-

6-

5-

4-

3-

1-

-2-1012345x

（石一）28.在△ZBC中，=90°.

（1）如图1,直线/是5C的垂直平分线，请在图1中画出点4关于直线/的对称点21

连接Z'C,A'B,A'C与AB殳于点、E；

（2）将图1中的直线48沿着EC方向平移，与直线EC交于点。，与直线8C交于

点尸，过点尸作直线48的垂线，垂足为点”.

①如图2,若点。在线段EC上，请猜想线段DF,4c之间的数量关系,

并证明；

②若点。在线段EC的延长线上，直接写出线段FH,DF,/C之间的数量关

29.在平面直角坐标系xQy中，点4在直线/上，以4为圆心，CM为半径的圆与y轴的

另一个交点为£.给出如下定义：若线段0E,。力和直线/上分别存在点5,点。和

点。，使得四边形"BCD是矩形(点48,。,。顺时针排列)，则称矩形为直

线/的“理想矩形”.

例如,下图中的矩形48s为直线/的“理想矩形”.:

(1)若点四边形N8CD为直线x=—l的“理想矩形”，则点。的坐标

为;

(2)若点4(3,4),求直线卜=履+1(左/0)的“理想矩形”的面积；

(3)若点/(I,-3),直线/的“理想矩形”面积的最大值为,

此时点D的坐标为.

（房一）28.如图1,已知线段8c=2,点8关于直线NC的对称点是点。，点E为射线C4

上一点，且即=8。，连接。E,BE.

（1）依题意补全图1,并证明：A8DE为等边三角形；

（2）若N/C8=45。，点C关于直线班）的对称点为点凡连接FZ）、尸艮将ACDE绕点。

顺时针旋转a度（0。<<2<360。）得到AC'DE',点E的对应点为E，点C的对应点为点C.

①如图2,当《=30。时，连接BC'.证明：EF=BC'x

②如图3,点〃为。C中点，点尸为线段C'E'上的任意一点，试探究：在此旋转过程

中，线段尸M长度的取值范围？

29.【探究】如图1,点N（肛耳是抛物线必一i上的任意一点，/是过点（o,_2）且与

x轴平行的直线，过点N作直线垂足为H.

①计算：机=0时，NH=;相=4时,NO=.

②猜想:m取任意值时，NONH（填“>”、"=”或“<”）.

【定义】我们定义：平面内到一个定点厂和一条直线/（点F不在直线/上）距离相等的点

的集合叫做抛物线，其中点尸叫做抛物线的“焦点”，直线/叫做抛物线的“准线”.如图1

中的点。即为抛物线必的“焦点”,直线/：y=-2即为抛物线必的“准线”.可以发现“焦

点”尸在抛物线的对称轴上.

1,

【应用】（1）如图2,“焦点”为尸（-4,-1）、“准线”为/的抛物线为=］（》+4）~+左与y

轴交于点N（0,2）,点M为直线成与抛物线的另一交点.九于点0,直线/交y轴于

点，.

①直接写出抛物线力的“准线”/：;

②计算求值:焉+焉=:

（2）如图3,在平面直角坐标系中，以原点。为圆心，半径为1的。。与x轴

分别交于1、8两点（/在8的左侧），直线尸坐x+〃与。。只有一个公共点尸，求以尸为

“焦点”、x轴为“准线”的抛物线为=。？+云+。的表达式.

图1图2图3

(燕一)28.△ABC中，NN8c=45。，AHLBC于点、H,将绕点〃逆时针旋转90。

后，点C的对应点为点。，直线8。与直线/C交于点E,连接E”.

图1图2

(1)如图1,当/历1C为锐角时，

①求证：BEA.AC-,

②求切的度数；

(2)当N2/C为钝角时，

请依题意用实线补全图2,并用等式表示出线段EC,ED,E4之间的数量关系.

29.在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点.例如点

(1,1),(—―,——(-,—y[2),•••,都是和谐点.

(1)分别判断函数y=-2x+l和y=/+i的图象上是否存在和谐点，若存在，求

出其和谐点的坐标；

(2)若二次函数歹="2+4》+。(“。0)的图象上有且只有一个和谐点弓，I),

3

且当OWxW加时，函数夕=ax2+4x+c——(aw0)的最小值为一3,最大值

4

为