基本初等函-任意角的三角函数-同角三角函数的基本关系式“衡水杯”一等奖

同角三角函数的基本关系式◆教学目标一、知识目标：1．掌握同角三角函数的两个基本关式:2．利用基本关系式推导其他重要关系式并掌握它们之间的关系二、能力目标：能熟练运用同角三角函数的基本关系式及其变式，进行三角函数的化简、求值与三角恒等式的证明等，提高学生分析问题解决问题的能力。三、情感目标：通过本节的学习，加深理解基本关系式在三角函数式中的地位，充分认识到本节内容的重要性，激发和培养学生的学习兴趣。◆重点难点利用同角三角函数关系式求值、化简和证明◆教学关键分析好基本关系式的用法，引导学生具体问题具体分析◆教学方法精讲精练、讲练结合◆教学用具多媒体计算机、高清晰度投影仪、练习题一份（下发）◆教学总体思路1．本节是在学习“角的概念与推广”、“弧度制”、“任意角的三角函数”以及“同角三角函数的基本关系式”以后，考虑到学生学习的实际，加设的一节习题课。帮助学生解除疑惑，增强应用意识，提高解题能力。2．同角三角函数关系式，内容重要，是学习后续章节内容的基础，必须学好。本节应有一定的难度要求和容量要求，因此，事先通知学生做好必要的准备工作，下发练习题一份，同时考虑采用多媒体计算机辅助教学（CAI），渗透现代教学思想，提高教学效率。3．上课时，师生首先一起理清“同角三角函数的基本关系式”的来胧去脉，掌握要点。然后切入本节的重点，精选例题习题，通过“精讲精练、讲练结合”，在教学中渗透“分类讨论”、“数形结合”等数学思想方法，增强学生运用关系式解题的意识，“具体问题具体分析”，“以不变应万变”，逐步提高分析问题解决问题的能力。◆板书设计及媒体使用§同角三角函数基本关系式（习题课）1．同角三角函数基本关系式2．其它重要关系式（画关系图）3．关系式的应用：化简、求值、证明例1．（题目投影）解法1.（板演解题过程）解法2.(板演要点)例2．（题目投影）分析：（第二黑板）例3．（题目投影）分析：例4．（题目投影）分析：教学小结：◆教学程序教师活动学生活动教学意图（一）引入：（引言）我们已学习了“角的概念与推广”、“弧度制”、“任意角的三角函数”与“同角三角函数的基本关系式”。今天上一节习题课，复习同角三角函数的基本关系式及相互关系，将重点讨论它们在三角函数式的求值、化简中的应用，兼顾三角恒等式的证明。巩固所学，提高我们分析问题解决问题的能力，增强应用关系式解题的意识。同时，“同角的三角函数关系式”这一内容，是学习后续三角函数内容的重要基础，应该努力学好。同角三角函数基本关系式进入状态；组织教学，引入课题。（二）小结与复习：提问:同角三角函数的两个基本关系式板书:注意关系式的“顺用、逆用、变形用”投影展示部分变形：……积极回忆；学生回答；记录要点；思考还有哪些变形？复习巩固,灵活提高；教师活动学生活动教学意图（三）新授：下面进一步考察同角三角函数的其它关系式，在解题中也经常使用。1．平方关系还有2个2．商数关系还有还有类似的关系吗？请试着自已写出.3．倒数关系还有：提醒：在学习中，同样要注意以上关系式的变形使用4．所学关系式及相互关系包含在一个正六边形中：（便于记忆）11利用三角函数的定义式尝试推导各关系式；首先观察图形：（1）相邻顶点，（2）主对角线，（3）辅对角线（3）三角形，其次找出它们之间的关系。再次按一定的顺序说出这些关系？学习其它关系式，把握它们之间的相互关系；提高灵活性；理解图形关系语言，建立数与形的联系，实现“数形结合”便于记忆。教师活动学生活动教学意图（四）典型例题分析与练习1．例1.已知，求的值。分析：若由的值，求出、值再代入原式求值，则需要分象限讨论，运算过程较繁。若把原式转化的表达式，可简化过程。解法一：，于是将代入（略）解法二：（同上略）解题小结：（1）两种解各有所长，都充分运用已知条件，对结论作出等价转化。尤其是解法二，将1化成，“以退为进”，不失为良策。（2）把式子化为的表达式，成功地利用了已知条件！思考方法，分析解题策略；探求三角函数式求值的方法；师生一起下水，板演解题过程，熟悉格式；注重多种解法的训练；及时总结是重要的学习方法，要引导学生经常这样做。教师活动学生活动教学意图2．课常练习1已知，其中，x是三角形的一个内角，则的值是（C）A．B.C.D.3．例2．若，判定的符号分析：由已知可得，所以角为第二或第四象限角.1）当为第二象限角时，，，所以<0.2）当为第四象限角时，，，所以>0解题小结：（1）解本题的关键：是把视为“角”，控制好它们的范围；（2）分类讨论是一种重要的数学思想方法，分类要做到不重复不遗漏。有时需要分类讨论，有时则需要避免，以求过程明快。先做练习，后回答解题思路。思考：条件与结论的关系；及时巩固，形成能力。根据条件判断符号；体现分类讨论思想；理清解题思路。教师活动学生活动教学意图4．课堂练习2使成立的所在象限是（B）A．第一、二象限B.第二、三象限C．第三、四象限D.第一、四象限5．例3.已知,求：、的值。分析一：由于，即，在m不同范围内，、的值不同，我们把，0，1这三个特征数作为分类讨论的依据.（1）当0<m<1时,为第一或第四象限角。若在第一象限角，则，若为第四象限角，则，（2）当时，为第二或第三象限角，若为第二象限角，则，若为第三象限角，则，（3）当m=1时，（4）当时，做练习2；由学生分析归纳解题策略：化切为弦，设法去掉根号；分析讨论合理的分类方法；随堂练习，巩固所学；考察分类合理性，思维周密性；先展示第一种分类方法，再让学生思考还没有其它分类方法。由于两种证法的过程都较长，故采用计算机辅助教学，提高教学效率。本题重点：分类方法。教师活动学生活动教学意图（5）当m=0时，若不存在.若不存在.再思考：还有其它分类方法吗？分析二：方法一是按参数m的值分类，也可以按参数（终边位置）的值分类。因，的终边可在任何象限，也可以与坐标轴重合，因此（1）若为第一或第二象限时，，（2）若为第三或第四象限时，，（3）若的终边与x轴重合时，（4）若的终边与y轴重合时，的值不存在。解题小结：①用平方关系化简或求值，需留意三角函数值符号的变化；②若条件中含有字母参数时，往往需要讨论，注意分类标准要恰当；考虑其它分类方法；各抒己见；记录要点；第一种分类方法稍繁。引导学生思考其它分类方法，抓住其思维的火花。第二种分类更明快些。小结解题思路，提高适应力。教师活动学生活动教学意图6．例4．求证：分析：证明恒等式常用的方法有：左右互推法，两边夹，综合法，分析法，比较法等证法一：（左→右）因为，所以左=右；证法二：（综合法）因为所以，即由合分比定理得：即；证法三：（两边夹）左右，左=右。证法四：（作差法）（过程略）师生分析四种证题思路，理清每种证法的关键，试着写出解题过程。通过四种证法的学习，让学生在比较的基础上掌握证明三角恒等式的基本方法，提高证题能力。7．课堂练习3（1）若，，则的值等于（）A．B.C.D.（2）若，求=_________（3）在⊿ABC中，若，则________,_______（4）已知，则_________（5）求证：（6）化简：（7）已知，求：的值。（8）若，且，化简：附：课堂练习参考答案（1）A（2）（3）,（4）（5）本题有多种证法，可用“作差比较法”。（6）（7）(提示：用换底公式，将已知条件化为以为底的对数)（8）由知0，又，，故为第一象限角，从而。当k为偶数时，位于第一象限；当k为奇数时，位于第三象限.所以原式=（五）课堂小结本节重点是复习同角三角函数的关系式，并通过例题和练习巩固所学，提高分析和解决问题的能力。2．在计算或化简、证明三角函数式时，常用的技巧有：①减少不同名的三角函数：化弦为切或化切为弦；②多项式运算技巧的运用，如因式