K概率（理科）（高考真题+模拟新题）

K概率

KI随事件的概率

19.KI、K5、K6［2012•浙江卷］已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一

个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3

个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和.

(1)求X的分布列；

(2)求X的数学期望反㈤.

19.解:(1)由解意得X取3,4,5,6,且

d5

P(X=3)=^=转，

C41

P(X=6)甘亓

所以X的分布列为

X3456

51051

P

4221142?

(2)由(1)知

E(X)=3P(X=3)+4P(X=4)+5•尸(X=5)+&P(X=6)=y.

K2古典概型

15.K2［2012♦重庆卷］某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课

和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为

(用数字作答).

15.1［解析］6节课共有收=720种排法，相邻两节文化课间最多间隔1节艺术课排法

分两类：

(1)两节相邻文化课之间没有艺术课间隔：可将三节文化课捆绑为一个元素，然后再与

另三节艺术课进行全排列，排法有A认;=144种；

(2)三节文化课间都有1节艺术课间隔：有“文艺文艺文艺”与“艺文艺文艺文”两种

形式，其排法有2A执A72种；

(3)三节文化课中有两节之间有一节艺术课，而另一节文化课与前两节文化课之一无间

隔，可先对文化课进行全排，然后从3节艺术课选一节放入排好的3节文化课之间，再将此

4节课看作一个元素与余下的2节艺术课进行全排，其排法有：A：C；C；A］=216种.

综上可知，相邻两节文化课间最多间隔1节艺术课排法有144+72+216=432种，

所以课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为漆=］.

11.K2［2012♦上海卷］三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中

两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示).

ll.f［解析］考查古典概率和组合问题，关就是把情况分析清楚，不要漏掉或者重复情

况.

所有的可能情况有c窕久;，满足条件有且仅有两人选择的项目完全相同的情况有

C超C；,由古典概率公式得P=需段=|.

6.K2［2012•江苏卷］现有10个数，它们能构成一个以1为首项，―3为公比的等比数

列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是.

3

6.f［解析］本题考查等比数列的通项公式的运用以及古典概型的求解.解题突破口为

等比数列通项公式的运用.

由通项公式为=1X(-3)1得，满足条件的数有1,-3,-3\-35,-37,-39,共

6个，从而所求概率为P

16.K2、K6［2012•福建卷］受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车

的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期

均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：

品牌甲乙

首次出现故

0<xWl1<XW2x>20<xW2x>2

障时间x(年)

轿车数量(辆)2345545

每辆利润(万元)1231.82.9

将频率视为概率，解答下列问题：

(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概

率；

(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为由,生产--辆乙品牌

轿车的利润为必，分别求X，匕的分布列；

(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的

轿车.若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由.

16.解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件4

,2+31

则

(2)依题意得，乂的分布列为

X123

139

p

2550To

%的分布列为

莅1.82.9

19

p

To10

139143

(3)由(2)得，E(X\)=1乂行+2乂%+3'而=布=2.86(万元)，

19

£(^2)=1.8X而+2.9Xm=2.79(万元).

因为E(X)>E(%)，所以应生产甲品牌轿车.

7.K2、Jl［2012•广东卷］从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位

数为0的概率是()

A.微B.1

C.gD.g

7.D［解析］本题考查利用古典概型求解概率以及两个基本计数原理，解决本题的突

破口是首先确定符合条件的两位数的所有个数，再找到个位是0的个数，利用公式求解，

设个位数与十位数分别为y,x,则如果两位数之和是奇数，则x,y分别为一奇数一偶

数：

第一类x为奇数，V为偶数共有：C|XC1=25；

另一类x为偶数，夕为奇数共有：Clxci=20.

两类共计45个，其中个位数是0,十位数是奇数的两位数有10,30,50,70,90这5个数，

所以个位数是0的概率为：尸⑷春=3.

K3几何概型

10.K3［2012•辽宁卷］在长为12cm的线段N8上任取•点C现作一矩形，邻边长分别

等于线段ZC,CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为()

AlB-3

C.|D.,

10.C［解析］本小题主要考查几何概型.解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比

还是体积之比.

令4C=x,CB=\2-x,这时的面积为S=x(12-x),根据条件S=x(127)<320？_以1

+32>0=0<x<4或8cxe12,矩形面积小于32cm?的概率尸~"［乎一父=|,故而答案为

2.E5、K3［2012•北京卷］设不等式组bvyV2表示的平面区域为。，在区域D内

随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()

兀c兀-2

A-4B-亍

2.D［解析］设事件/:点到坐标原点的距离大于2.

上S?S-S\4-7T

如图1-1,尸(4)=不=5=刀~・

1Jr=2尸2

ko\1X

图111

6.K3、B13［2012•福建卷］如图1―1所示，在边长为1的正方形。Z8C中任取一点P,

则点P恰好取自阴影部分的概率为()

y

O\1X

图1一1

A-4B5C-6D7

6.C［解析］本题考查几何概型的计算与求解以及定积分的计算，解决本题的关键是

利用定积分求出阴影部分的面积，再利用几何概型公式求解.阴影部分的面积是：

1

Sis*=/(5-x)dx=整/一首)i==利用几何概型公式得：P=——=1=

8.K3［2012•湖北卷］如图1—3所示，在圆心角为直角的扇形0/8中，分别以OB

为直径作两个半圆.在扇形0/8内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()

图1-3

A.1--7T2JI

C-D-

71兀

8.A［解析］如下图所示,

不妨设扇形的半径为2a,记两块白色区域的面积分别为S，S2,两块阴影部分的面积

分别为S3,§4，则S［+&+S3+S4=S扇形OAB=:兀伽y=加①，

而S1+S3与S?+S3的和恰好为一个半径为。的圆的面积，即S［+S3+S2+S3=7l/②.

由①-②得S3=S4；

2

又由图可知$3=S扃形EOQ+S晶彩COD-S正方形o£oC=-所以S阴影=Tia-2a.

故由几何概型概率公式可得，所求概率P=二干=14故选A.

3扇形。43兀。兀

15.C3、K3［2012・湖南卷］函数以尸4以⑴+。)的导函数y=/(x)的部分图象如图1

一5所示，其中，尸为图象与y轴的交点，4C为图象与x轴的两个交点，8为图象的最低

点.

⑴若夕=会点尸的坐标为(0,则;

(2)若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△/8C内的概率为

图1-5

7T

15.(1)3(2)^［解析］考查三角函数火x)=sin&x+°)的图象与解析式，结合导数和

几何概型，在陈题上有了不少的创新.作为填空题，第二问可在第一问的特殊情况下求解.

(1)函数兀0=sin®x+°)求导得，/(x)=cocos(a>x+cp),把夕=聿和点(0,代入得

(ocos(0+季)=解得3=3.

(2)取特殊情况，在⑴的条件下，导函数/(x)=3cos(3x+1),求得《0),

原，-3)喈，0),故△Z8C的面积为以谢=吴咨义3吟曲线段与x轴所围

成的区域的面积S=-./(x)|既=-sin俘+*)+sin管+胃=2,所以该点在△N8C内的

概率为尸=中=今

J4t

10.LLK3［2012・陕西卷］图1-3是用模拟方法估计圆周率兀值的程序框图，尸表示

估计结果，则图中空白框内应填入(

N4N

A.P=ToooB.P=Tooo

M

C.P=ToooD.Tooo

10.D［解析］本题主要考查循环结构的程序框图的应用，同时要兼顾考查学习概率的

模拟方法中圆周率兀的模拟，通过阅读题目和所给数据可知试验了1000次，〃代表落在圆

内的点的个数，根据几何概型，£=温，对应的圆周率兀为尸=襦.

K4互斥事件有•个发生的概率

13

16.B1KB12、E3［2012•重庆卷］设於)=〃lnx+五+/+1,其中曲线y=〃)

在点(1,7U))处的切线垂直于y轴.

(1)求。的值；

(2)求函数八x)的极值.

]3

16.解：(1)因/(x)=41nx+元+/+1,

故，(x)=?-2?+2-

由于曲线y=/(x)在点(1,负1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0,即/(1)=0,

13

从而4-5+彳=。，解得a=-l.

(2)由⑴知段)=-lnx+^+|x+l(x>0),

113

/a)一LM+2

3x2-2x-1

=~-

(3x+1)。-1)

=27•

令/(X)=0,解得X1=1,X2=-*因X2=不在定义域内，舍去).

当x£(0,l)时，/(x)<0,故./(X)在(0,1)上为减函数；

当x£(l,+8)时，/(x)>0,故外)在(1,+8)上为增函数.

故人x)在x=1处取得极小值｛1)=3,无极大值.

K5相互对立事件同时发生的概率

16.Bll,B12、E3[2012・重庆卷]设.x)=alnx+=+|x+l,其中aGR,曲线尸危)

在点(1,/(I))处的切线垂直于y轴.

(1)求]的值;

(2)求函数")的极值.

13

16.解：⑴因｛x)=alnx+云:+/+1,

故/(x)=；B+l-

由于曲线歹=小)在点(1,寅1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0,即，(1)=0,

13

从而a-]+5=0,解得a=-l.

13

(2)由Q)知")=Tnx+五+/+l(x>0),

fW=-x-i+2

3x2-2x~1

=-2?-

(3x+I)。-1)

=2?•

令/(X)=O，解得X1=1,X2=(因X2=■不在定义域内，舍去).

当x£(0,l)时，/(x)<0,故人x)在(0,1)上为减函数;

当x£(l,+8)时，/(%)>0,故儿:)在(1,+8)上为增函数.

故/(x)在x=1处取得极小值/(1)=3,无极大值.

17.K5、K6[2012•湖南卷]某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员

工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购1至5至9至13至17件及

物量4件8件12件16件以上

顾客数(人)X3025y10

结算时间

11.522.53

(分钟/人)

已知这100位顾客中次购物量超过8件的顾客占55%.

(1)确定x,y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望：

(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该

顾客结算前的等候时间不举过2.5分钟的概率.(注：将频率视为概率)

17.解：(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,

所以x=15,y=20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结

算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得

-(X=l)=悬=焉尸(代1.5)=器=卷

251201

P(X=2)=丽=布P(X=2.5)=旃=亍

%才=3)=芸==

X的分布列为

X11.522.53

—3—311—1

20104510

X的数学期望为

33111

1义布+1.5X-+31.9.

E(X)=/VXT1xTz+2XTt+2.5JXT1UT=

(2)记4为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟"2)为该顾客前面第

i位顾客的结算时间，则

P(4)=P(X=1且为=l)+P(Xi=l且A2=1.5)+P(X=1.5且泾=1).

由于各顾客的结算相互独立，且X，泾的分布列都与X的分布列相同，所以

33

尸(4)=尸(X=1)XP(E=1)+尸(X]=1)XP(X2=1.5)+P(X]=1.5)XP(X2=1)=^><丽+

_3_3_3_3_9_

20XT0_HT0><20-=80,

9

故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为卷.

oU

17.K5、K6[2012•安徽卷]某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用••道试题，若调

用的是4类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道/类型试题和一道8类型试题入库,

此次调题工作结束；若调用的是8类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束.试

题库中现共有"+，〃道试题，其中有〃道4类型试题和加道8类型试题.以X表示两次调

题工作完成后，试题库中4类型试题的数量.

(1)求丫=〃+2的概率；

(2)设m=〃，求X的分布列和均值(数学期望).

17.解：以4表示第，次调题调用到力类型试题，，=12

nn+1〃(〃+1)

(1)尸(X=/7+2)=P(4/2)=

m+nm+n+2(m+n)(m+n+2)'

(2)X的可能取值为小1,〃+2.

P(X=")=P(石nn\_

42)〃+〃4'

------Yl〃+1nn

p(x=〃+1)=p(小4)+&小甸=〃+〃〃+〃

n〃+11

P(x=〃+2)=P(AA)=——■——-T=7,

t2n+nn+n+24

从而X的分布列是

Xnn+1n+2

111

P424

£X=〃X；+(〃+l)X：+("+2)X；=〃+1.

15.K5、I3［2012•课标全国卷］某一部件由三个电子元件按图1―4方式连接而成，元

件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命

(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件

的使用寿命超过1000小时的概率为.

I_I元件1|―I

图1-4

3

15.［答案］

［解析］解法一：设该部件的使用寿命超过1000小时的概率为%4).因为三个元件的使

用寿命均服从正态分布Ml000,502),所以元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的概率分别

111---------------------------------------------11115—

为尸1=¥22=］，尸3=2.因为尸(4)=尸1尸2P3+尸3=2乂2*2+］=1所以P(4)=1-尸(4)

_3

解法二：设该部件的使用寿命超过1000小时的概率为尸(4).因为三个元件的使用寿命

均服从正态分布M1000,5()2)，所以元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的概率分别为P1=今

尸去尸.故P(A)PP+x++

2=3=：=P177P3+X23=1x(1-1)5(1-1)x|x|

19.KI、K5、K6［2012•浙江卷］已知箱中装有4个白球利5个黑球，且规定：取出一

个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3

个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和.

(1)求万的分布列；

(2)求X的数学期望E(X).

19.解：(1)由题意得X取3,4,5,6,且

Ci5

P(X=3)=^=转，

P(X=6)=fj=l

所以X的分布列为

X3456

51051

P

4221U21

(2)由(1)知

E(X)=3-P(X=3)+4-尸(X=4)+5P(X=5)+&P(X=6)=—.

K6离散型随机变量及其分布列

22.K6[2012•江苏卷]设。为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,

当两条棱相交时，(?=0；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时,

4=1.

(1)求概率P4=0);

(2)求e的分布列，并求其数学期望E©.

22.解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰

有3条棱，所以共有8C；对相交棱，因此P(E=0)=管=今.

(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或啦，其中距离为啦的共有6对，

故P(也喧)=,$,

l416

于是尸(。=1)=1-尸(。=0)-「(。=啦)=1-石-五=五，

所以随机变量4的分布列是

001

461

尸©TTTTTT

因此E(x)=1X*■+啦x==6

18.K6[2012•江西卷]如图1-4,从小(1,0,0),4(2,0,0),8i(0,l,0),52(0,2,0),G(0,0,l),

。2(0,02)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点。两两相连构成一个“立体”，

记该“立体”的体积为随机变量■(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”

的体积匕=0).

(1)求r=o的概率；

(2)求『的分布列及数学期望E匕

18.解：(1)从6个点中随机取3个点总共有d=20种取法，选取的3个点与原点在同

127

一个平面内的取法有C；C：=12种，因此k=0的概率为P(r=0)=20=5.

1124

(2"的所有可能取值为0,亨yy因此/的分布列为

1124

V0

6333

31331

P———

520202()20

由产的分布列可得

3111323419

^=0><5+6><20+3X2(j+3><20+3><20=40-

19.K6[2012•全国卷]乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连

续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设

在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、

乙的一局比赛中，甲先发球.

(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率：

(2片表示开始第4次发球时乙的得分，求《的期望.

19.解：记4表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，，=0,1,2;

4表示事件：第3次发球，甲得1分；

8表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2.

(1)8=AQ-A+A\-A,

一⑷=0.4,尸(4))=0.42=0.16,

P(小)=2X0.6X04=0.48,

尸(3)=尸(4)4+小・))

=P(4o・4)+P(4・1)

=P(Ao)P(4)+P(4)P*

=0.16X0.4+0.48X(1-0.4)

=0.352.

(2)尸(4)=0.62=0.36.

。的可能取值为0,1,2,3.

P&=0)=P(A2-A)=P(A2)P(A)=0.36X0.4=0.144,

P(4=2)=P(8)=0.352,

产仁=3)=P(AQ-A)=P(Ao)P(N)=0.16X0.6=0.096,

尸4=1)=1-尸(。=0)-尸(。=2)-尸(=3)

=1-0.144-0.352-0.096

=0.408.

/=0XP《=0)+1XP(<=1)+2XP(<=2)+3XP(^=3)

=0.408+2X0.352+3X0.096

=1.400.

I3

16.Bll,B12、E3[2012•重庆卷]设外)=〃Inx+元+/+1,其中〃CR,曲线y=/(x)

在点(1,义1))处的切线垂直于y轴.

⑴求a的值；

(2)求函数人口的极值.

13

16.解：(1)因")=alnx+云:+/+1,

故-⑴4一4+/

由于曲线N=加)在点(1,义1))处的切线垂直于歹轴，故该切线斜率为0,即/(1)=0,

13

从而4一1+/=0,解得。=一1.

13

(2)由(1)知")=-lnx+n+>+l(x>0),

f(x)=_1七+1

3?-2x-1

=~2?~

(3x+l)(x-1)

---------27•

令/(x)=0，解得X1=1,x2=(因X2='不在定义域内，舍去).

当x£（O,l）时，/（x）<0,故-x）在（0,1）上为减函数;

当x£（l,+8）时，/（x）>0,故人x）在（1,+8）上为增函数.

故Hx）在x=1处取得极小值70）=3,无极大值.

20.K6、K8[2012•陕西卷]某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时

间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：

办理'业务所需的时间（分）12345

频率().10.40.30.10.1

从第•个顾客开始办理业务时计时.

（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；

（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望.

20.解：设y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得丫的分布列如下:

Y12345

P0.10.40.30.10.1

（1）4表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件/对应三种情形:

①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3

分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1

分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.

所以P（A）=P（Y=1）尸（y=3）+尸（y=3）尸（y=1）+p（r=2）p（r=2）=o.ixo.3+OJXO.I+

0.4X0.4=0.22.

（2）解法一：X所有可能的取值为0,1,2.

X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟.

所以尸（X=0）=P（y>2）=0.5;

X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间

超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，

所以尸（x=i）=p（y=i）p（y>i）+p（y=2）

=0.1X0.9+0.4=0.49；

X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，

所以尸（x=2）=尸（y=i）p（y=i）=o.ixo.i=o.oi.

所以X的分布列为

X012

P0.50.490.01

EX=0X0.5+1X0.49+2X0.01=0.51.

解法二：X所有可能的取值为0,1,2.

X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,

所以尸（X=0）=P（以2）=0.5;

X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，

所以尸（x=2）=尸（y=i）p（y=i）=o.ixo.i=o.oi；

P（X=1）=1-P（X=o）-P（X=2）=0.49.

所以X的分布列为

X012

P0.50.490.01

£X=0X0.5+1X0.49+2X0.01=0.51.

19.12、14、K6、K8[2012•辽宁卷]电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节

目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.F面是根据调查结果绘制的观众日均收看

该体育节目时间的频率分布直方图.

图1-6

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.

(1)根据已知条件完成下面的2义2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有

关？

非体育迷体育迷合计

男

女1055

合计

(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中.采用随机抽样

方法每次抽取1名观众，抽取3次.记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X若每次

抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(㈤和方差。(乃.

附：f=

"1+"2+〃+1〃+2

P"明0.050.01

k3.8416.635

19.解：⑴由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2X2

列联表如下：

非体育迷体育迷合计

男301545

女451055

合计7525100

将2X2列联表中的数据代入公式计算，得

2_〃(-1〃22-〃12〃21)2_100X(30X10-45X15)2_100

才=〃1*〃2+〃*1〃*2=75X25X45X55=3355:53(,30-

因为3.030<3.841,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.

(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率，即从观众中

抽取一名“体育迷”的概率为;.

139

其¥)=初(1-〃)=3乂4义^=正

18.K6、B10[2012•课标全国卷]某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰

花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润式单位：元)关于当天需求量〃(单位：

枝，〃GN)的函数解析式；

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

日需求量〃14151617181920

频数10201616151310

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学

期望及方差；

②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝？请说明理

由.

18.解：(1)当日需求量〃216时，利润y=80.

当日需求量〃<16时，利润y=10〃-80.

所以y关于〃的函数解析式为

10/7-80,»<16,

y=\、(〃£N).

180,〃216

(2)①X可能的取值为60,70,80,并且

产(X=60)=0.1,尸(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.

X的分布列为

X607080

P0.10.20.7

X的数学期望为

£,^=60X0.1+70X0.2+80X0.7=76.

X的方差为

DX=(60-76)2X0.1+(70-76)2X0.2+(80-76)2X0.7=44.

②答案一：

花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，y表示当天的利润(单位：元)，那么y的分布列为

Y55657585

P0.10.20.160.54

y的数学期望为

£Y=55X0.1+65X0.2+75X0.16+85X0.54=76.4.

y的方差为

07=(55-76.4)2X0.1+(65-76.4)2X0.2+(75-76.4)2X0.16+(85-76.4)2X0.54

=112.04.

由以上的计算结果可以看出，DX<DY,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.

另外，虽然但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.

答案二：

花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，y表示当天的利润(单位：元)，那么y的分布列为

Y55657585

P0.10.20.160.54

y的数学期望为

£7=55X0.1+65X0.2+75X0.16+85X0.54=76.4.

由以上的计算结果可以看出，EX<EY,即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16

枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.

17.K5、K6[2012•湖南卷]某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员

工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购1至5至9至13至17件及

物量4件8件12件16件以上

顾客数(人)X3025y10

结算时间

11.522.53

(分钟/人)

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

(1)确定x，y的值，并求顾客诙购物的结算时间X的分布列与数学期望；

(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该

顾客结算前的等候时间不整迎2.5分钟的概率.(注：将频率视为概率)

17.解：⑴由已知得25+y+10=55,x+30=45,

所以x=15,y=20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结

算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得

153303

P(^=1)=7OO=2O>P(X=1.5)=而=正

尸(X=2)=襦J，-5)=翁+

P(X=3)=芸咻.

X的分布列为

X11.522.53

3311

P1

20Io45To

X的数学期望为

33111

E(X)=1X—+1.5XTT+2XT+2.5XT+3XTT=1.9.

(2)记/为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟"，用。=1,2)为该顾客前面第

i位顾客的结算时间，则

p(/)=p(x=l且E=1)+P(X=1且E=1.5)+P(X=1.5且%=1).

由于各顾客的结算相互独立，且X，毛的分布列都与X的分布列相同，所以

33

P(N)=尸(X=1)XP(M=1)+P(X=1)XP(E=1.5)+P(X=1.5)XP(法=1)=2ox2o+

33,339

20yX10+l0Xv20=80-

故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为六9.

OV

20.K6、K7[2012・湖北卷]根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)

对工期的影响如卜.表：

降水量X督300300<督700700W督900X2900

工期延

误天数y02610

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,09

求：

(1)工期延误天数y的均值与方差；

(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.

20.解：(1)由已知条件和概率的加法公式有:

P(X<300)=0.3,尸(300W右700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,

P(700WX<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2.

P(XN900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.

所以丫的分布列为

Y02610

P0.30.40.20.1

于是，£(Y)=0X0.3+2X0.4+6X0.2+10X0.1=3;

D(Y)=(0-3)2X0.3+(2-3)2X04+(6-3)2X0.2