数学核心素养从圆锥曲线入手 论文

数学核心素养从圆锥曲线入手——高考难点动点轨迹问题的实例分析摘要：将数学核心素养培养融入动点轨迹问题的实例分析中，以精选优题、动图演示等多种教学手段，培养学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等多项数学核心素养，以期提高学生的空间思维、扩散性思维、创新性思维等多项能力，切实减轻学生学习负担。关键词：数学核心素养，动点轨迹，动态演示数学是当代人们生产学习必不可少的工具，是科学的动力之源。数学的发展在人类文明的发展中起着举足轻重的作用。这意味着数学教育在人才培养中有重要的地位和不可替代的作用。2014年，教育部在《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》[1]中提出核心素养以及学科核心素养的概念。根据数学教育的培养目标可将数学学科核心素养表述为：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模和数据分析。数学核心素养的提高有利于开发人的智力，培养人的思维能力，挖掘人的内在潜力，提高人的分析问题和解决问题的能力。而2018年，有关高中生数学学科核心素养水平的调查与分析[2]指出，从受教者出发，学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力较弱；从教育者出发，教师在教学中缺乏对学生掌握完整学习过程的指导等。针对这些问题，教师应当充分发挥教育者作用。以高中数学中的圆锥曲线为例，作为高考数学的重要题型，这一大类问题可以多角度应用数学思想，改善学生的数学习惯，培养学生的数学素养。本文将从圆锥曲线中的动点轨迹问题入手，主要从精选巧题、动态演示、一题多解等多方面展现如何利用动点轨迹问题这一教学实例更好地培养学生的数学核心素养。一、精巧选题减负担高中阶段，在数学学科上，“题海战术”少不了。但题海战术对学生数学思维有一定的负面影响，如题海战术引发思维定式、降低学生对自身数学想法的肯定以及对数学产生厌恶感等。[3]为了避免低质量、低效率、高成本的刷题，教师应该精选优质题目，从而减轻学生的学习负担。同时，必须明确数学核心素养的培养不能只停留在题海中。教师的核心作用是实现这一教育目标的关键。精选习题既是高中数学教师必备素养与能力，也是教学研究中不可或缺的组成部分。那么选择哪些例题、习题？选题的立足点在哪里？研究选题原则的文章众多。[4-5]下面，针对动点轨迹问题，我们给出一个实际案例进行刨析。案例已知一抛物线的焦点为(,0)，其中p>0，过O点作一直线与抛物线相交于A点，作OA^OB交抛物线于B点，求证：直线AB恒过一定点。此类问题的研究，包含抛物线的定义，直线与圆锥曲线的关系等基础知识点，可以想到的探究角度是：几何直观、代数的角度以及数形结合思想，但在指导学生做题的过程中，我们可以发现并非所有学生都能准确定位解题路径，更不是一次尝试就能迅速解题。当然，教师安排本题的主要目的在于使学生深刻理解并认识到解决此类问题的关键在于“建立数形关系”，而完成建立的条件则需提供代数条件或者图形几何性质的转化等。针对该题，倘若仅仅抛出问题进行解答即刻打住，则无法在复习中真正发挥其功效。此时，教师应引导学生深度比较和探索以上问题，总结定点定值问题的做题思路，选用拓展题作为课堂练习，及时巩固。拓展题[2021-2022山东临沂重点高中联考]已知动圆P与圆O1：x2-x+y2=0内切，且与直线x=-1相切，设动圆圆心P的轨迹为曲线C。（1）求曲线C的方程；（2）过曲线C上一点M(2,y0)(y>0 0)作两条直线1l，2l与曲线C分别交于不同的两点A，B，若直线1l，2l的斜率分别为1k，2k，且kk=1 2 1。证明：直线AB过定点。提问将定点定值问题中的抛物线更换为其他圆锥曲线，是否也存在同样的定点问题呢？探究到这，本题已经结束了，学生不仅巩固了圆锥曲线的相关知识，有效提升了思维能力，以一个问题结束本题，更能激发学生的探索欲望。二、动态演示见直观针对动点轨迹类问题，大多数的方法都是利用数形结合的数学思想，将几何性质转化为代数方程，利用代数进行求解，那么这就意味着做题逻辑固定，学生在这一类问题上无需进行反复刷题。但事实上，有关动点轨迹问题的做题得分率却不高，多数原因在于学生无法将几何关系转化为代数关系，从而导致了丢分。这一核心要素就是学生的空间思维能力不够，而几何直观是一种创造性思维，在科学发现过程中起到不可磨灭的作用。[6]除此之外，动态演示对培养学生的数学抽象、直观想象等数学核心素养有极大的益处。于是，本文继续沿用上述精选的优质题目，通过动态演示动点的运动轨迹，从而让学生能够完成从抽象到具象的转化。接下来，我们给出利用数学软件GeoGebra绘制上述案例动态演示图形的精简步骤，见图1，帮助教师更好地将动态演示应用到动点轨迹教学不同的案例中。图1动点轨迹动态演示的绘制过程（截自于GeoGebra作图过程）演示过程中，完成上述九个步骤就可以得到与题目相对应的图像，见图2。通过改变a的值，不仅可以让OA^OB，而且OA、OB的轨迹也会随之变化，得到不同位置下两点A、B位于抛物线的具体坐标，见图3。当我们只保留直线AB的轨迹时，我们就可以明显看出直线AB恒过定点这一几何现象，见图4。此时，考虑到p也是变化的，将a的值固定，改变p的值，观察定点位置的变化，见图5。在这一过程中，学生能够真切感受到轨迹类问题的几何过程。图2题目信息对应图像 图3轨迹留痕图图4定点图 图5定点随p变化定点图本节末尾，我们给出拓展问题动态演示的过程图片，其中拓展问题第一小问图形绘制样例，见图6和图7，第二小问图形绘制样例，见图8和图9，具体绘制不再赘述。图6题目第一小问对应的图形 图7动点轨迹图图8题目第二小问对应的图形 图9定点图三、一题多解提能力针对动点轨迹类问题，从不同的角度，如几何、代数等角度，会有不同的解法，而且“一题多解”是培养学生创造性思维的有效途径。[7-8]数学有多种表现形式，在数学的学习过程中会发现，很多时候一道题目可以用许多不同的方法来解答。在解答数学问题时，我们需要从多个角度对题意进行思考，利用发散思维尝试用各种不同解法进行解题。这样，可以有效地拓宽我们的解题思路，从中总结出规律和经验，可以作为解答其他类型题目的借鉴，在进行同类型题目的解答时就会变得更加容易。根据课堂教学及学习经验，总结高中数学“一题多解”的学习心得，以供同学对于学习高中数学起到借鉴参考作用。下面我们就一中动点轨迹问题的案例给出三种标准证法：根据抛物线的定义确定抛物线的方程y2=2px。第一种证法显然直线OA的斜率存在且不为零.设直线OA的方程为y=kx，根据对称性，不妨设k>0.因为OA^OB，所以直线OB的方程为y=-1x.k.由ì

í

îy=kxpx，得kx22-2px=0，所以2Akp,2p)，同理，B(2pk2,2pk)y2=22k.当k=1时，A(2,2)，B(2,2)，直线AB的方程为x=2p，恒过定点(2,0)当k¹1时，kAB=2p+2pk.k2p-2pk2k2(2,0).直线AB的方程为y+2pk=

1k2(x-2pk2)，即y=

1k2(x-2).过定点-k-k综上，直线AB恒过定点(2,0).第二种证法设Axy1 1)，Bx2,y2).当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=n.因为n>0，所以n=2p，从而直线AB的方程为x=2p.当直线AB的斜率存在时，设为k.显然k¹0.设直线AB的方程为y=kx+b.因为直线AB不过原点，所以b¹0.因为OA^OB，所以uuuruuurOAOB=0.由ì

í

îy=kx+b，得kx22+(2kb-2)px+b2=0.y2=2px所以x1+x2=2p-2kb，xx1 2=b2.k2k2又y1=kx1+b，y2=kx2+b，所以yy12=kxx21 2+kbx1+x2)+b2.即(,xy1 1)(×x2,y2)=xx1 2+yy12+b2.=+k2)xx1 2+kbx(1+x2)+b2=+k2)b2+kb2p-2kbk2k2=0即b2+2kp=0，由b¹0，得b=-2pk.，所以vv=-121..因此直线AB的方程为y=kx-2pk，此直线恒过定点(2,0)综上，直线AB恒过定点(2,0).注：若不讨论斜率的存在与否，可将x=my+n设为直线AB的方程。第三种证法设A(2pv12,2pv1)，A(2pv22,2pv2)（v¹10，v¹20）.因为OA^OB，所以uuuruuurOAOB=(2pv12,2pv1)(2pv22,2pv2)=2pv12×pv22+2pv1×pv2=02)当v1+v2=0时，直线AB的方程为x=2p，显然也过定点(2,0).y=1(x-当v1+v2¹0时，直线AB的方程为y-2pv1=

v11(x-2pv12)，即+v2v1+v2因此直线过定点(2,0).综上，直线AB恒过定点(2,0).上述三种方法，分别从不同的角度出发，得到了一致的结论。同时，一题多解，首先能充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；其次能锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；接着，能开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性；最后，激发学生学习数学兴趣，形成较强的求知欲，从而提高学生的数学素养。虽然动点轨迹问题只是一类题目，但是它不仅能体现学生的众多能力，还能培养学生众多能力，包括但不限于数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等多项数学核心素养，不可忽视。课前教师精选优质题目，课堂上动态演示培养空间思维能力，一题多解培养扩散性思维，课后留有适量的练习题目（优质题目），以供学生巩固复习，抓住课前、课堂和课后三阶段，提高教学效率，协力培养学生的数学核心素养。[1]中华人民共和国教育部．关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见[EB/OL]．（2014-04-08）[2017-10-30]．/srcsite/A26/s7054/201404/t20140408_167226.html.[2]于川,朱小岩,邬楠,徐晶,王成丽,刘庆利,曲全.高中生数学学科核心素养水平调查及分析[J].数学教育学报,2018,27(02):59-64.[3]谢春玲,孙海.浅析“题海战术”对高中生数学思维的负面影响[J].数学学习与研究,2019(16):128.[4]陈琴琴.关于高中数学