第二讲向量与矩阵运算

第二讲向量与矩阵运算第1页，共24页，2023年，2月20日，星期三

向量与矩阵的生成向量与矩阵运算

向量的生成

直接输入:a=[1,2,3,4]冒号运算符a=[1:4]

==>a=[1,2,3,4]b=[0:pi/3:pi]

==>

b=[0,1.0472,2.0944,3.1416]c=[6:-2:0]

==>

c=[6,4,2,0]例：

从矩阵中抽取行或列第2页，共24页，2023年，2月20日，星期三

向量与矩阵的生成（续）向量与矩阵运算

矩阵的生成

直接输入:A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]

由向量生成

由函数生成

通过编写m文件生成例：>>

x=[1,2,3];y=[2,3,4];>>

A=[x,y],B=[x;y]例：>>

C=magic(3)第3页，共24页，2023年，2月20日，星期三常见矩阵生成函数zeros(m,n)生成一个m行n列的零矩阵，m=n时可简写为zeros(n)ones(m,n)生成一个m行n列的元素全为1的矩阵,

m=n时可写为ones(n)eye(m,n)生成一个主对角线全为1的m行n列矩阵,

m=n时可简写为eye(n)，即为n维单位矩阵diag(X)若X是矩阵，则diag(X)为X的主对角线向量若X是向量，diag(X)产生以X为主对角线的对角矩阵tril(A)提取一个矩阵的下三角部分triu(A)提取一个矩阵的上三角部分rand(m,n)产生0～1间均匀分布的随机矩阵m=n时简写为rand(n)randn(m,n)产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵

m=n时简写为randn(n)第4页，共24页，2023年，2月20日，星期三矩阵操作提取矩阵的部分元素：冒号运算符

A(:)A的所有元素

A(:,:)

二维矩阵A的所有元素

A(:,k)A的第k列，A(k,:)A的第k行

A(k:m)A的第k到第m个元素

A(:,k:m)A的第k到第m列组成的子矩阵A(:)与A(:,:)的区别?如何获得由A的第一、三行和第一、二列组成的子矩阵？自己动手第5页，共24页，2023年，2月20日，星期三矩阵操作矩阵的旋转

fliplr(A)

左右旋转

flipud(A)

上下旋转

rot90(A)

逆时针旋转90度；

rot90(A,k)逆时针旋转k×90

度例：>>

A=[123;456]>>

B=fliplr(A)>>

C=flipud(A)>>

D=rot90(A),E=rot90(A,-1)第6页，共24页，2023年，2月20日，星期三矩阵操作矩阵的转置与共轭转置

’

共轭转置

.’

转置，矩阵元素不取共轭例：>>

A=[12;2i3i]>>

B=A’>>

C=A.’点与单引号之间不能有空格！第7页，共24页，2023年，2月20日，星期三矩阵操作改变矩阵的形状：reshapereshape(A,m,n):将矩阵元素按

列方向

进行重组重组后得到的新矩阵的元素个数必须与原矩阵元素个数相等！

第8页，共24页，2023年，2月20日，星期三矩阵操作查看矩阵的大小：size

size(A)

列出矩阵A的行数和列数

size(A,1)返回矩阵A的行数

size(A,2)返回矩阵A的列数例：>>

A=[123;456]>>

size(A)>>

size(A,1)>>

size(A,2)

length(x)返回向量X的长度

length(A)等价于max(size(A))第9页，共24页，2023年，2月20日，星期三矩阵基本运算

矩阵的加减：对应分量进行运算要求参与加减运算的矩阵具有相同的维数例：>>

A=[123;456];B=[321;654]>>

C=A+B;D=A-B;矩阵的普通乘法要求参与运算的矩阵满足线性代数中矩阵相乘的原则例：>>

A=[123;456];B=[21;34];>>

C=A*B第10页，共24页，2023年，2月20日，星期三矩阵基本运算

矩阵的除法：/、\右除和左除

若A可逆方阵，则A\B

<==>A的逆左乘B<==>inv(A)*BB/A

<==>A的逆右乘B<==>B*inv(A)X=A\B

<==>A*X=BX=B/A

<==>X*A=B

通常，矩阵除法可以理解为当A和B行数相等时即可进行左除当A和B列数相等时即可进行右除第11页，共24页，2023年，2月20日，星期三矩阵的乘方

A是方阵，p是正整数A^p

表示A

的p

次幂，即p

个A

相乘。

若A是方阵，p不是正整数

A^p

的计算涉及到A的特征值分解，即若

A=V*D*V-1

则

A^p=V*(D.^p)/V第12页，共24页，2023年，2月20日，星期三矩阵的乘方若a是标量，A是方阵，且[V,D]=eig(A)，则

a^A＝V*(a^D)/V若A,P均是矩阵，则A^P

无定义若a是标量，则第13页，共24页，2023年，2月20日，星期三矩阵的Kronecker乘积矩阵Kronecker乘积的定义设A是n×m矩阵，B是p×q矩阵，则A与B的kronecker乘积为：Kronecker乘积的性质是np×mq矩阵；通常任何两个矩阵都有Kronecker乘积

Matlab中实现两个矩阵Kronecker相乘的函数为kron(A,B)Kronecker乘积有时也称张量积第14页，共24页，2023年，2月20日，星期三矩阵的数组运算数组运算：对应元素进行运算点与算术运算符之间不能有空格！

数组运算包括：点乘、点除、点幂

相应的数组运算符为：“.*”，“./”，“.\”和“

.^”例：>>

A=[123;456];B=[321;654];>>

C=A.*B;D=A./B;E=A.\B;F=A.^B;两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。第15页，共24页，2023年，2月20日，星期三函数取值设x是变量，f是一个函数

当x=a是标量时，f(x)=f(a)也是一个标量当x=[a,b,…,c]是向量时，f(x)=[f(a),f(b),…,f(c)]函数作用在矩阵上的取值若A是矩阵，则f(A)是一个与A同形状的矩阵f

作用在x的每个分量上第16页，共24页，2023年，2月20日，星期三函数取值例：>>

x=[0:pi/4:pi];A=[123;456];>>

y1=sin(x);y2=exp(A);y3=sqrt(A);例：第17页，共24页，2023年，2月20日，星期三矩阵的超越函数

Matlab提供了三种矩阵函数：expm、sqrtm、logm详情参见联机帮助（helpexpm/sqrtm/logm）

更一般的矩阵函数：funm

funm(A,@fun)参数fun

的可以是exp,，log，cos，sin，cosh，sinh

第18页，共24页，2023年，2月20日，星期三数与数组的点幂x.^y

=[1^4,2^5,3^6]=[1,32,729]

x.^2

=[1^2,2^2,3^2]=[1,4,9]

2.^x

=

?.^前面留个空格例：x=[123];y=[456];2.^[x;y]=

?Matlab中的所有标点符号必须在英文状态下输入第19页，共24页，2023年，2月20日，星期三Matlab中常见数学函数:helpelfunMatlab中常见矩阵操作命令函数:helpelmatMatlab中常见程序语言的结构:helplang第20页，共24页，2023年，2月20日，星期三逻辑运算

MATLAB提供了3种逻辑运算符：&(与)、|(或)和～(非)。逻辑运算的运算法则为：

(1)在逻辑运算中，确认非零元素为真，用1表示，零元素为假，用0表示。(2)设参与逻辑运算的是两个标量a和b，那么，

a&ba,b全为非零时，运算结果为1，否则为0。

a|ba,b中只要有一个非零，运算结果为1。

～a当a是零时，运算结果为1；当a非零时，运算结果为0。第21页，共24页，2023年，2月20日，星期三(3)若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成。(4)若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成。(5)逻辑非是单目运算符，也服从矩阵运算规则。(6)在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，逻辑运算优先级最低。第22页，共24页，2023年，2月20日，星期三A=[1:5;6:10]

find(A>=4)[m,n]=find(A>=4);[m,n]all(A>=4)any(A>=4)第23页，共24页，2023年，2月20日，星期三上机作业试分别生成5阶的单位阵