第六章混料配方设计

第六章混料配方设计第1页，共37页，2023年，2月20日，星期三2§6.1混料设计的概念

6.1.1混料设计（MixtureDesign）混料是指若干种不同成分的物质混合或合成一种稳定的物质或产品。在化工、医药、材料、食品、冶金、陶瓷等领域中，如不锈钢由铁、铬、镍、碳等元素组成；礼花的闪光剂由镁、钠、锶和固定剂组成；混凝土由水泥、石子、沙子和水组成；其它如中药、饲料等。这些产品的每种成分的多少是用相对量表示的，这种相对量就是所用成分在总量中所占比例。然而在这种试验中各成分的比例不能自由变动，它们受到一个约束：所有成分比例的和为1。第2页，共37页，2023年，2月20日，星期三3

定义：设在一个试验中有p个成分，用表示，若试验中每一因子的取值满足如下条件：那么称这一试验为混料试验。

使性能达到最好的每种成分的比例通常需要通过试验来确定。对这样的混料试验进行的设计称为混料设计，又称配方设计。混料试验设计中的成分又被称为因子，通常混料试验中的成分不少于三种。一般混料中微量成分含量的确定，通常采用普通的因子设计，不用混料设计。因为它们的成分比例很小，它们的变化几乎不会引起大比例成分的显著变化。第3页，共37页，2023年，2月20日，星期三46.1.2单形、单形的顶点与坐标混料设计中的一些基本概念。（1）单形与单形的顶点

方程的图形是一个p维平面，而()为p维平面上点的坐标。在该p维平面上满足的区域构成的图形称为单形。单形是一种正多边形(正多面体)，如：正三角形、正四面体等，其高度为1。若单形上点的p个坐标中有一个为1，其它都为0，则称这种点为单形的顶点，即p维单形的顶点的坐标为：第4页，共37页，2023年，2月20日，星期三5p=4时的单形是三维空间中的一个的正四面体（见图6.1.1b）。

p=3时，其图形为三维空间中的一个平面上的等边三角形，其三个顶点的坐标分别为（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)，从而该等边三角形就是三维空间上的一个单形（见图6.1.1a）。6.1.1第5页，共37页，2023年，2月20日，星期三6

这种坐标系就是p

=3时单形上的坐标系，便是单形上点在这个坐标系下的坐标。

（2）单形上点的坐标我们可以在单形上建立坐标系。在p

=3时，单形是平面上的一个正三角形，设其高为1，记其三个顶点分别为X1、X2、X3，它们的坐标分别是(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)。又设P是该三角形的一个内点，定义P到边X2X3的距离为x1，到边X1X3的距离为x2，到边X1X2的距离为x3，此时三个距离之和恰为该正三角形的高，即存在。第6页，共37页，2023年，2月20日，星期三7

在p因子的混料试验中，若设超正面体的高为1，其p个顶点记为：

A1=(1,0,0,……,0)

A2=(0,1,0,……,0)

……

Ap=(0,0,0,……,1)

其中若干个点就可以构成p维空间中的一个超平面。记单形上任一内点P的坐标为，那么这里x1是P点到A2A3…Ap的距离，x2是P点到A1A3…Ap的距离，……，xp是P点到A1A2…Ap-1的距离。第7页，共37页，2023年，2月20日，星期三86.1.3混料试验的统计模型设试验中考察的指标为y，那么y与p个因子的关系可以表示为：

这里，是随机误差，通常假定它服从。

称为响应函数，其图形也称为响应曲面，当响应函数中的未知参数用估计值代替后便得到回归方程，也称响应曲面方程。由于形式往往是未知的，通常用的一个d次多项式表示，此时一个混料试验由因子数p与响应多项式的次数d来确定，以后用M{p,d}表示一个混料试验。第8页，共37页，2023年，2月20日，星期三9

利用混料试验的特点，多项式中的参数可以得到简化，此时给出的多项式模型称为Scheffe正则多项式模型。

对p因子一次混料试验M{p,1}，

Scheffe利用把p元一次多项式模型化为Scheffe一次正则多项式模型：同理，

p因子二次混料试验M{p,2}的Scheffe二次正则多项式模型为：同理，

p因子三次混料试验M{p,3}的Scheffe三次正则多项式模型为：

一般的混料试验多用一次、二次多项式模型，对于混料二次多项式模型而言，其待估参数的个数要比一般p元二次多项式模型少p+1个。第9页，共37页，2023年，2月20日，星期三10§6.2单形格子设计（SimplexLatticeDesign）

6.2.1试验设计方法单形格子设计是Scheffe提出的一种混料设计，它奠定了混料设计的基础。M{p,d}的单形格子设计，为d阶格子设计，它将单形的边划分成d等份，在等分点做与其它边平行的直线，形成许多格子，故名单形格子设计。如：p=3，一阶、二阶和三阶单形格子设计的点分布图。M{3,1}M{3,2}M{3,3}第10页，共37页，2023年，2月20日，星期三11

（1）M{p,1}的设计

在M{p,1}中仅含p个未知参数，这时的单形格子设计是由p个单形顶点组成的设计。其设计方案如下：

第11页，共37页，2023年，2月20日，星期三12（2）

M{p,2}的设计

在M{p,2}中含p(p+1)/2个未知参数，这时的单形格子设计由两类点组成：一类点是p

个单形顶点，另一类点是两个坐标为1/2，其它坐标为0的点，这类点共有p(p-1)/2个，其设计方案如下：第12页，共37页，2023年，2月20日，星期三13（3）一般来讲，单形格子设计M{p,d}

共有个试验点，有如下几个特点：

1）每个M

{p,d}设计的试验次数恰好等于响应函数中未知参数个数，即此为饱和设计。其试验点对称地排列在单形上，构成单形的一个格子。

2）试验点的分量与模型的次数d有关，每一成分xi的取值为

1/d的倍数，即只能取0，1/d，2/d，…，(d

-1)/d，1，并且在设计中因子成分量的各种配合都要用到。

3）方程中的二次项

xixj

，不能理解为xi与xj的交互作用，因为它们受到约束条件的限制。注意：这里各xi可以看成是类似于回归设计中一种编码值。第13页，共37页，2023年，2月20日，星期三146.2.2数据分析

用最小二乘的方法求出参数的估计，由于现在仍是饱和设计，宜采用逐步回归分析，剔除不显著的回归项，使残差平方和和自由度为不为0时，可以进行各项显著性检验。或者设置重复，估计误差方差，进行各项显著性检验。

例6.2.1

M

{3,2}单形格子设计的参数估计第14页，共37页，2023年，2月20日，星期三15

试验中单一成分的试验点安排两次重复，有两种成分的试验点安排三次重复，试验结果见下表。试验点成分比例试验指标x1x2x3Y110011.012.420108.810.0300116.816.040.50.5015.014.816.150.500.517.716.416.6600.50.510.09.711.8第15页，共37页，2023年，2月20日，星期三16ModelSourceDFParameterMSFPr>FX1111.7273.78375.61280.0001X219.4176.72242.45120.0001X3116.4537.927380.0001X1*X2119.038.6785753.065110.0001X1*X3111.413.9242919.103440.0018X2*X31-9.69.87428613.547040.0051Model62878.27479.71658.140.0001Error96.560.728889Total14134.856第16页，共37页，2023年，2月20日，星期三17Y=11.7*X1

+9.4*X2

+16.4*X3

+19*X1*X2

+11.4*X1*X3-9.6*X2*X3ModelforYModelRMSE0.85375R-square95.14%AdjustedR-square92.43%CoefficientofVariation6.305391Y的极值SAS软件没有给出Y的极值，需要采用软件SAS或Lingo求极值。极值分为极大值和极小值。第17页，共37页，2023年，2月20日，星期三18PROC

NLPtech=trureg;MAXy;y=11.7*x1+9.4*x2+16.4*x3+19.0*x1*x2+11.4*x1*x3-9.6*x2*x3;PARMSx1-x3=0.5;BOUNDS

0<=x1-x3<=1;LINCONx1+x2+x3=1;RUN;SAS/OR求解程序FactorMaxMinX10.29390.00X20.000.8646X30.70610.1354Y17.38449.2240运算结果：第18页，共37页，2023年，2月20日，星期三19Lingo求解程序FactorMaxMinX10.29390.00X20.000.8646X30.70610.1354Y17.38449.2240Max=11.7*x1+9.4*x2+16.4*x3+19.0*x1*x2+11.4*x1*x3-9.6*x2*x3;x1+x2+x3=1;x1<=1;x2<=1;x3<=1;注：极小值用Min，自变量在运算符左侧，且默认值大于等于0。运算结果：第19页，共37页，2023年，2月20日，星期三20§6.3单形重心设计（SimplexCentroidDesign）

在M{p,d}单形格子设计中，当d>2时某些混料设计中格子点的非零坐标并不相等，这种非对称性会使某些点对回归系数的估计产生较大的影响，为改进这一点，Scheffe提出了一种只考虑有相等非零坐标的单形重心设计。

单形重心设计的试验点为1到P个顶点的重心，顶点本身就是重心，两个顶点的重心是它们连线的中点，三个顶点的重心是它们组成正三角形的中心，……，P个顶点的重心就是该单形的中心。

Scheffe考虑的回归模型为：第20页，共37页，2023年，2月20日，星期三216.3.1试验设计

P个因子的单形重心设计的试验点由下列点组成：

以为代表的个排列点

以为代表的个排列点以为代表的个排列点……以为代表的个排列点

这样的点共计有2p-1个。第21页，共37页，2023年，2月20日，星期三22

这些试验点的坐标不依赖于d，通常我们选用饱和设计。在d=1或2时，单形重心设计与单形格子是设计一致的，但是d>2后就不相同了。譬如p=3时，M{3,3}单形重心设计共做2p-1=7次试验，试验点如下：若要建立M{3,2}单形重心设计，那么可以省略第七号试验，只进行六次试验，这时与单形格子设计就相同了。

第22页，共37页，2023年，2月20日，星期三236.3.2数据分析

用最小二乘的方法求回归参数的估计，由于现在仍是饱和设计，宜采用逐步回归分析，剔除不显著的回归项，使残差平方和和自由度为不为0时，可以进行各项显著性检验。或者设置重复，估计误差方差，进行各项显著性检验。例：现有四种饮料增甜剂，拟将它们配合使用，以降低饮料的饮后余味，采用M{4,4}单形重心设计，有15种配方，记录饮后余味，试进行分析。其混料回归模型为：第23页，共37页，2023年，2月20日，星期三24NOX1X2X3X4Y1100019201008300101540001105000.50.510600.500.55700.50.501180.5000.51290.500.5016100.50.500131100.33330.33330.33338120.333300.33330.333314130.33330.333300.333310140.33330.33330.3333014150.250.250.250.2512第24页，共37页，2023年，2月20日，星期三25R-square99.63%Y=18.3702*X1+7.9922*X2+14.2323*X3+8.6129*X4

-14.0707*X2*X4

ModelSourceDFSSMSFPr>FX11629.5536629.5536742.00040.0001X2196.0984996.09849113.2630.0001X31377.8789377.8789445.37320.0001X41111.6048111.6048131.53890.0001X2*X4111.0345711.0345713.005490.0048Model52256.515451.3031531.9120.0001Error108.4845450.848454Total152265第25页，共37页，2023年，2月20日，星期三26PROC

NLPtech=trureg;MINy;y=18.3702*x1+7.9922*x2+14.2323*x3+8.6129*x4-14.0707*x2*x4;PARMSx1-x4=0.5;BOUNDS

0<=x1-x4<=1;LINCONx1+x2+x3+x4=1;RUN;SAS/OR求解程序运算结果：X1X2X3X4Ymin0.000.5220.000.4784.778第26页，共37页，2023年，2月20日，星期三27Min=18.3702*X1+7.9922*X2+14.2323*X3+8.6129*X4-14.0707*X2*X4;x1+x2+x3+x4=1;x1<=1;x2<=1;x3<=1;x4<=1;Lingo求解程序运算结果：X1X2X3X4Ymin0.000.5220.000.4784.778第27页，共37页，2023年，2月20日，星期三2828§6.4

有约束的混料设计

在一些混料问题中，各个因子除了受到混料条件之外，通常还要受到其它约束条件的限制。通常，约束条件包含因子本身的上、下界限制和因子之间的相互约束。从试验设计角度来讲，只受下界约束的混料设计的因子空间同普通的混料设计一样，仍为单形内的一个小单形；而受其它的约束的混料设计的因子空间却为单形内的一个不规则的凸多面体，所以，有约束的混料设计可以分为有下界约束的混料设计和其它约束的混料设计。第28页，共37页，2023年，2月20日，星期三29296.4.1

有下界约束的混料设计

有下界约束的混料设计指有一个或多个因子的成分受到最低值限制的混料设计，即混料设计受到下界的约束。

p因子有下界约束的混料问题的基本形式为：

用z表示实际成分，x表示编码成分。第29页，共37页，2023年，2月20日，星期三3030

有下界约束的混料设计的因子空间仍然为一个小单形，与无下界限制时的单形相似，并且是这个单形内的一个小单形。如3种有下界约束的混料成分，其混料问题的因子空间如下，约束：第30页，共37页，2023年，2月20日，星期三3131

在p个成分的有下界约束的混料设计中，其编码值与实际值的转换公式：

实际值与编码值的转换公式：第31页，共37页，2023年，2月20日，星期三32例6.2.1

一种火箭推进剂由三种成分A、B、C混合制成，这里A表示为固定剂，B为氧化剂，C表示燃料。各变量的最小成分值：a1=0.2,a2=0.4,a3=0.2。

采用M{3,2}单形格子设计，具体见表6.2.4