高级计量经济学07异方差

1.5OLS1.34OLS法得到的估计量才具有最佳线性无偏特Var(u) Var(u)=2I=2

u的方差协方差矩阵主对角线上的元素都是常数且相等，即每一误差项的方差都是有限时，Var(u)不再是一个纯量对角矩阵。

1TVar(u)=2=2

2T2 .. ... ... T TTu的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时，称该随机误差系列存在uut取自不同的分布总体。非主对角线上的元素表示误差项ij与2,（ij）ij组观测值相对uiujYXYX420 图5.1同方差情 图5.2同方差情（1）（2）（3）5.35.45.55.6为条件自回归型异方差。YY0图5.3递增型异方差情 图5.4递增型异方Y Y42 --- -图5.5递减型异方 图5.6复杂型异方yt=0+1xt+Var(utt2，为异方差时（t2是一个随时间或序数变化的量，回归参数估计量仍具有ˆ1为例E(ˆ)=E((xtx)(yty))=E((xtx)[1(xtx)ut]11=1

(xtx)1(xtx)E(ut)=1

(xtx)(xt

x)但是回归参数估计量不再具有有效性。仍以ˆ1为例

(xtx)ut

((xtx)ut)Var(1)=E(1-

=

(xt

x)

)=(

x)2)==(xtx)2E(ut)==

(xtx)2t2 ((xtx)2)

((xtx)2)

(xtx)（ut的非自相关假定、xtut非相关假定。上式不等号右侧项分子 )E(ˆ)=E[(X'X)-1X'Y]=E[(X'X)-1X'(X+u)]=+(X'X)-1X'E(u)=但不具有有效性和渐近有效性。而且ˆ的分布将受到影响Var(ˆ)=E[(ˆ-)(ˆ-)']=E[(X'X)-1X'uu'X(X'X)-1=(X'X)-1X'E(uu')X(X'X)-1=2(X'X)-1X'X(X'X)-Y Y

0--

2468101214161820222426WhiteWhiteH.White1980年提出。Goldfeld-Quandt检验必须先把数据按解释变量的值从小到大排序。Glejser检验通常要试拟合多个回归式。White检验不需要对观测值排2统计量进行异方差检验。White检验的具体步骤如下。以二元回归模型为例，yt=0+1xt1+2xt2+ ①首先对上式进行OLS回归，求残差uˆtuˆt2=0+1xt1+2xt2+3xt12+4xt22+5xt1xt2+ 即用uˆt2OLS回归。注意，上式中要保留常数项。求辅助回归式(5.10)R2。 (5.9)utTR2 T表示样本容量，R2是辅助回归式(5.10)OLS5表示辅助回归式(5.10)中解释变量项数（注意，不计算常数项。TR2LM统计量。TR225),接受H0（ut具有同方差）若TR2>2(5),H0（ut具有异方差Goldfeld-QuandtH0utH1utm个处于中心位置的观测值（T30mT/4，T-m个观测值自然分成容量相等，(T-m)/2）{x1, xi-1,xi, xT-1,xTn1=(T-m)/ m=T/ n2=(T-m)/n2n1SSE1FF=SSE2/(n2k)SSE1/(n1k

（kH0成立条件下，FFn2kn1FFn2kn1k),H0（ut具有同方差若F>F(n2-k,n1-k),H0（递增型异方差注意F（3）Glejseruˆtxt存在函数关系。若有，则说明存在异方差；若无，则说明uˆt=a0+a1xtuˆt=a0+a1xtuˆt=a0+

,uˆt(4)自回归条件异方差（ARCH）(ARCH)检验。这种检验方法不是把原回归模型的随机误差项t2xt的函数，而是把t2ut-12,ut-22,…的函数。ARCH是误差项二阶矩的自回归过程。（Engle1982）针对ARCH过程提LM检验法。辅助回归式定义为LM

+…+

ARCH=TR2R2是辅助回归式（5.12）的可决系数。在H0：1n0成立条件下，ARCH渐近服从2(n)分布。ARCH检验的最常用形式是一阶自回归模型（n=1

在这种情形下，ARCH渐近服从 分布1.5.5.Y=X+其中E(u)=0，Var(u)=E(uu')=2。已知，与k未知。因为I，了假定条因为是一个T阶正定矩阵，所以必存在一个非TT阶矩阵M使下式成立MM'=I

M'M=-MMY=MX+MY*MY,X*MX,u*Mu,Y*=X*+则u*Var(u*)=E(u*u*')=E(Muu'M')=M2M'=2MM'=2的最佳线性无偏估计量。这种估计方法称作广义最小二乘法。(GLS)估ˆ(GLS)=(X*'X*)-1X*'Y*=(X'M'MX)-1X'M'MY=(X'-1X)-1X'-yt=0+1xt1+2xt2+ Var(utxt1)2（Var(utE(ut)2uˆtxt）xt1同yt/xt1

0/xt1+1+2xt2/xt1+ut/xt1 Var(utxt11/x2Var(ut1/xt12)2xt122(5.16)(utxt)是同方差的。对(5.16)式做OLS估计后，把回归参数的估计值代入原模型(5.15)(5.16OLS(utxt12(utxt1)2乘法，是GLS估计法的一个特例。tt2=2

00 0x 20x T定 M

1/11

0 1/xTVar(MuEMuuMM2M2MM1/

0x

01/

01=2

=2=2 1/

T

2xT

1/xT(5.16)Glejser检验结果消除异方差Glejser检验结果是)) =0

+

Var( )=

(

+

xt)22= 1 1(5.17)OLS(5.15)GDPOFGDPOF

8082848688

9294969800

82848688909294969800LNEXT-LNLNEXT-LN1 0---

- 案例1取1986年中国29个省市农作物种植业产值yt（亿元）和农作物播种面xt（万亩）数据（file:hete01，hete02）研究二者之间的关系。得估计的线性模型如下，yt=-5.6610+0.0123 R2= F=155.0,T=YXTYXT

0--0

--0

图5.7农作物产值yt和播种面积xt 图5.8残差图用White方法检验是否存在异方差。在上式回归的基础上，做White得 TR28.0222)6yt=2.7202+0.0106xt (t=1,…, R2= F= SSE=yt=5.8892+0.0118xt(t=19,…,R2= F=SSE=F=14174/(111266/(11

=F11.2F00599)3.18 ytxtLnyt和Lnxt得

5.9Lnyt=-4.1801+0.9625Lnxt R2=0.91,F= (t=1,…,LOG(YLOG(YT51403-21 5.9LnytLn

- 5.10White检验不存在异方差。因为TR22.5820052)6.0

Goldfeld-Quandt1.17，SSE20.65Goldfeld-QuandtF=

=)3.185.10Glejser(5.18)式yt5.66100.0123xt,xtuˆt=0.0024 R2=Var(utE(ut)25.7610-6xt2xt(5.18)yt*ytxt，xt*1xtyt*xt*回归（5.11，得yt*=0.0113+0.8239 R2= F=

-T T图5.11yt*和 图5.12残差yt*ytxt，xt*1xt代入上式并整理得广yt=0.8239+0.0113 R2= F=(5.22)