2023年北师版初三数学上册相似图形知识点讲解

九年级(上)第四章图形的相似

(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中,最简朴的是相似三角形.

(2)相似多边形：假如两个边数相同的多边形的相应角相等，相应边成比例，这两个多边形叫做相似多

边形.相似多边形相应边长度的比叫做相似比.

一.成比例线段

(1)线段的比

arn

假如选用同一单位量得两条线段的长度分别为m,n,那么就说这两条线段的比是上=竺，或写

bn

成a:8=m：〃.注:在求线段比时,线段单位要统一。

(2)成比例线段

在四条线段a力,c,d中，假如a和匕的比等于c和d的比，那么这四条线段a,4c,d叫做成比例线段,

简称比例线段.

注：①比例线段是有顺序的，假如说a,仇c,d成比例，那么应得比例式为：-=

bd

②在比例式@=£(a：b=c：d)中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项，假如b=c，即

bd

atb=btd那么b叫做a、d的比例中项，此时有b2=ad。

③判断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序

排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这

四条线段是成比例线段,否则不是

(3)比例的性质(注意性质立的条件:分母不能为0)

基本性质：

①a:b=c:d则有ad=bc(两外项之积等于两内向之积)；

②®a:b=b:c<^>b2=ac.

注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad=Z?c,除

了可化为a：匕=c：d,还可化为a:c=匕：d,c:d=a:b,b:d=a:c,b:a=d:c,

c:a=d:b,d:c=b:a,d:b=c:a.

（交换内项）

ca

@=£,（交换外项）

(2)更比性质（互换比例的内项或外项）：g=£0<

bdba

4=±（同时交换内外项）

ca

,、人八।…-aca±bc±d

(3)合、分比性质：一=—=----=-----.

bdhd

(4)等比性质：假如—=—=—=•••=—S+d+/d--p〃wO),那么-----------------=—

hdfnh+d+/H----\-nb

注：

①此性质的证明运用了“设攵法”（即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比

例计算变形中一种常用方法.②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零.

③可运用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再运用等比性质也成

3e。-2c+3e

=-；其中匕―2d+3/H0.

57。-2d+3/b

（4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k法，消元法

二,平行线分线段成比例

注意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不也许

有AD,BE.CF的比例关系

（2）黄金分割：把线段A5提成两条线段AC,BC（AC>3C）,且使AC是AB和BC的比例中项，即

4C2=AB.8C,叫做把线段A8黄金分割，点C叫做线段A3的黄金分割点，其中AC=吏」AB~0.61

2

8A3.即生=生=叵」简记为：《=¥=避」

ABAC2全长2

注：黄金三角形:顶角是36"的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形

三.相似三角形的概念

相似三角形概念:相应角相等，相应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似用符号“S”表达，读作“相似

于”.相似三角形相应边的比叫做相似比.相似三角形相应角相等，相应边成比例.

注意:①相应性：即两个三角形相似时，一定要把表达相应顶点的字母按相同的顺序写,这样写比较容易找到相似

三角形的相应角和相应边.

②两个三角形形状同样，但大小不一定同样.

③全等三角形是相似比为1的相似三角形.两者的区别在于全等规定相应边相等，而相似规定相应边成比

例.

三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的相应线段成比

例.

由DE〃BC可得：=——或=——或=

DBECADEAABAC

注:

①重要结论:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边相应成比例.

公曰金上DEADDEAD,上、

②易错点：=（错）——=——（对）

BCDBBCAB

四.三角形相似的鉴定方法

1、定义法:三个相应角相等，三条相应边成比例的两个三角形相似.

2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角

形与原三角形相似.

（一）相似三角形的判断定理：

鉴定定理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角相应相等,那么这两

个三角形相似.简述为:两角相应相等，两三角形相似.

鉴定定理2：假如一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边相应成比例,并且夹

角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边相应成比例且夹角相等，两三角形相似.(有些像SAS)

鉴定定理3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边相应成比例，那么这

两个三角形相似.简述为:三边相应成比例，两三角形相似.

(-)鉴定直角三角形相似的方法：

(1)以上各种鉴定均合用.

(2)假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边相应成比例，那么

这两个直角三角形相似.

(3)直角三角形被斜边上的高提成的两个直角三角形与原三角形相似.一共产生三对相似三角形

(三)射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条

直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt△ABC中，NBAC=90°,AD是斜边BC上的高,

则AD2=BD•DC,AB?=BD•BC,AC?=CD•BC。

五.相似三角形常见的图形

平行型AA

斜懑

垂苜圆

1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形:

(2)如图：其中N1=N2,则△ADEs^BC称为“斜交型”的相似三角形。(有“反A共角型”、

“反A共角共边型”、“蝶型”)

(3)“三垂

(4)如图：N1=N2,NB=ND,则△ADEsaABC,称为“旋转型”的相似三角形。

2、几种基本图形的具体应用:

(1)若DE〃BC(A型和X型)则△ADEsaABC

(2)射影定理若CD为京△ABC斜边上的高(双直角图形)

则RtAABCsRSACDsRSCBD且AC~AD・AB,CD2=AD•BD,BC2=BD•AB；

AEDc

BCBCADB

3.全等与相似的比较：

三角形全等三角形相似

相似鉴定的预备定理A

两角夹一边相应相等(ASA)两角相应相等

两角一对边相应相等(AAS)A两边及夹角相应相两边相应成比例，且夹角相等

等(SAS)三边相应成比例

三边相应相等(SSS)A直角三角形中一直角边与斜直角三角形中斜边与一直角边相应成比例

边相应相等(HL)

4.相似三角形的性质

(1)相似三角形相应角相等,相应边成比例.

(2)相似三角形相应高的比，相应中线的比和相应角平分线的比都等于相似比.

(3)相似三角形周长的比等于相似比.

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.

5.相似多边形的性质

相似多边形的相似必须同时满足两个条件:①相应边成比例；②相应角相等。两个同时成立才可以说明多边

形相似,缺一不可,如两个矩形不一定相似,缺少①。

(1)相似多边形周长比,相应对角线的比都等于相似比.

(2)相似多边形中相应三角形相似,相似比等于相似多边形的相似比.

(3)相似多边形面积比等于相似比的平方.

注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，纯熟掌握相似三角形知识是基础和关

键.

六.相似三角形中有关证(解)题规律与辅助线作法

切、证明题常用方法归纳：

⑴总体思绪:“等积式”变“比例式”，“比例的相应边”找“相似多边形的相应边”当有多条边相等的时

候要会转移边

(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不

同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，可以组成三角形，并且有也许是相似的，

则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形相应边成比例即可证的所需的结论.

常用方法：一对平行线之间有多少个交点，就会产生多少对相似三角形

(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这

几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法

有这样的三种:等线段代换、等比代换、等积代换.

即:找相似找不到，找中间比。方法:将等式左右两边的比表达出来。

amcmm[]八Qmcm

①7=一,—=一(z一为中间比)②一=一,—==,〃=〃

bndnnhndn

amem.•—mm、

③一=—=—(m-m,n-n或一=-r)

bndnrnn

(4)添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成

比例.以上环节可以不断的反复使用，直到被证结论证出为止.

注:添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线

(即得平行线)构造相似三角形或比例线段。

(5)比例问题：常用解决方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用解决办法是设“公比”为k。

(6).对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形(或基本图形)“分离”出来的办法解决。

2.相似图形的证明题型

题型一：相似之中间项转化，解题思绪：一条平行线至少能产生一组比例式，运用比例式等量代换

题型二:辅助线X图

题型三:面积相等题

题型四:周长相等题

题型五：相似旋转

题型六:非相似三角形的面积比

题型七:相似外角推论

题型八：函数题

七.位似图形

1.假如两个图形不仅是相似图形,并且每组相应顶点的连线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形.

2.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.

(1)位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似,并且相应顶点的连线相交于一点.

(2)位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.

(3)位似图形的相应边互相平行或共线.

(4)位似多边形相应顶点到位似中心的距离之比等于位似比

3.画位似图形的一般环节：

(1)拟定位似中心(位似中心可以是平面中任意一点)

(2)分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长(或截取).

(3)根据已知的位似比，拟定所画位似图形中关键点的位置.

（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.①②③④⑤

注:①位似中心可以是平面内任意一点,该点可在图形内，或在图形外，

或在图形上（图形边上或顶点上）。

②外位似：位似中心在连接两个相应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）

③内位似:位似中心在连接两个相应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）

（5）在平面直角坐标系中，假如位似变换是以原点0为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为

（x,y）,那么同向位似图形相应点的坐标为（kx,ky）,反向位似图形相应点的坐标为（-kx,-ky）,

1.（2016•兰州模拟）若a：b=2:3,则下列各式中正确的式子是（）

A.2a=3bB.3a=2bC.”|D,啜4

2.（2016•滨江区模抵〉由5a=6b（a=0）,可得比例式（）

BC

A-M-H-H

3.（2016•崇明县一模）已知那么号的值为（）

AiB.|c.|D

.（2016•泰州二模）已知g，则怒的值是（

5.（2。16•嘉定区一模）已知号,那么下列等式中一定正确的是（）

3x=9♦+36

7~2y^35

C.3打D.d工

y-22yx2

6.（2016•临沂模拟）若金=|，则里女=（）

a5a

比例线段

2.（2016•黄浦区一模）已知线段a、b、c,其中c是a、b的比例申项，若a=9cm,b=4cm,则线段c长

（）

A.18cmB.5cmC.6cmD.±6cm

3.（2016•闵行区一模）在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2cmz的区域表示的实际面积是

（）

A.2000000cm2B.20000m2C.4000000m2D.40000m2

6.（2016春•澧县校级月考）下列各组中的四条线段成比例的是（）

A.a=l,b=3>c=2>d=4B.a=4,b=6,c=5,d=10

C.a=2,b=4,c=3,d=6D.a=2>b=3>c=4,d=l

7.（2016春•淮安月考）下列各组中的四条线段成比例的是（〉

A.a=l,b=3,c=2,d=4B.a=4>b=6,c=5,d=10

C.a=2,b=4,c=3,d=6D.a=2,b=3,c=4,d=5

13.（2015•合肥校级四模）如果a=3,b=2,且b是a和c的比例中项，那么c=（）

平行线分线段成比例

在中，若筮=|,则盖=）/

1.（2016•兰州）如图，aABCDE4BC,（

A，1B

-Ic-iD-i/n

BC

2.（2016•淄博）如图,直线h"12413,一等腰直角三角形ABC的三个顶点

L上，ZACB=90°,AC交L于点D,已知h与12的距离一为一,

A,B,C分别在12,

X//

为1,"与b的距离为3,则^的值为（）

c3

A.生B.更C.生D・喈

558

-r-icm,,n

3.（2016•杭州》如图，已知直线a〃b〃c,直线m交直线a,b,c-于点A,Bf\

~Al\D4

C,直线n交直线a,b,c于点D,E,F,若卷=匕则等=<）

A.1B.1C.1D.1

4.（2016黔西南州〉如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD,DE"BC交AC于4

•：A

E,则下列结论不正确的是（）

BC=3DEB.||啜

C.AADEooAABCD.SAADE=yS^ABCBC

6.（2016•西山区二模）如图，在△ABC中，DE//BC,怒二」

L）£）2

4,则BC的长是（）

A.8B.10C.11D.12

7.（2016•道里区模拟）如图所示,ZkABC中若DE"BC,EF”AB,则下列比例式正

确的是（）D/\E

AD^DEBFEF_AE_BF“EF

A==rD

DBBC'BCADECFC'ABBCBFC

相似图形

1.（2016•罗定市一模）下列图形一定是相似图形的是（）

A.两个矩形B.两个正方形

C.两个直角三角形D.两个等腰三角形

2.（2016•古冶区三模）如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，各成一组，每组

中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的

一组是（）

3.（2016•徐汇区一模）下列两个图形一定相似的是（）

A.两个菱形B.两个矩形

C.两个正方形D.两个等腰梯形

4.（2016•奉贤区一模）用一个4倍放大镜照△ABC,下列说法错误的是（）

A.ZkABC放大后，NB是原来的4倍

B.AABC放大后，边AB是原来的4倍

C.ZkABC放大后，周长是原来的4倍

D.ZkABC放大后，面积是原来的16倍

7.（2016•河西区模拟〉下列说法中正确的有（）

①位似图形都相似3

②两个等腰三角形一定相似：

③两个相似多边形的面积比为4:9,则周长的比为16:81;

④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm,那么这两个三角形一定相似.

9.（2016春•威海期末）将一个三角形和一个矩形按照如图的广、、、

方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为1,得到新的三角形

和矩形，下列说法正确的是（）/

图1图2

A.新三角形与原三角形相似

B.新矩形与原矩形相似

C.新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似

D.新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都不相似

相似多边形的性质

1.（2016•万州区模拟）如图，已知矩形ABCD中，AB=2,在BC上取一点E,沿AEAFD

将△ABE向上折彝，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，

贝iJAD=（）

BEC

B.后+1C.4D.2^3

2.（2016•嘉善县校级一模）下列多边形一定相似的是（）

A.两个平行四边形B.两个菱形

C.两个矩形D.两个正方形

4.（2016春•高密市期末）两个多边形相似的条件是（〉

A.对应角相等

B.对应边成比例

C.对应角相等或对应边成比例

D.对应角相等且对应边成比例

7.（2015•新安县模拟》如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a,宽BC=b.将纸片对折,

折痕为EF,所得矩形AFED与矩形ABCD相似，贝人：b=（）

A.2:1B.J2：1C.3:JiD.3:2

10.（2015•长沙一模）两个相似多边形的面积之比为1：9,则它们的周长之比为（）

A.1:3B.1:9C.1:4D.2:3

11.(2015•辽宁二模)如图，矩形ABCDs矩形ADFE,AE=1,AB=4,则AD=DC

()

EB

A.2B.2.4C.2.5D.3

相似三角形的鉴定

1.（2016•河北）如图，△ABC中，ZA=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的

虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

5.（2016•昆明模拟）下列各组条件中，一定能推得AABC与ADEF相似的是（

A.NA=NE且ND=/FB.NA=/B且ND=/F

C-NA=4且第=需D.NAME且台第

9.（2016•滦南县一模）如图，在△ABC与AADE中，ZBAC=ZD,要使AAB

C与△ADE相似，还需满足下列条件中的（

A,dC=ABAC_BCAC_AB

D.dC=BC

ADAEADDE,ADDEADAE

10.（2016•鞍山一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE"

BC,且NDCE=NB,那么下列说法中，错误的是（)

A.AADEcoAABCB.AADEooAACDC.AADEOOADCBD.ADEC^ACDB

2.（2016•安徽）如图,△ABC中，AD是中线，BC=8,

段AC的长为（）

A.4B.4aC.

3.(2016•贵阳》如图，在AABC中，DE//BC,丝=巳BC=12,则DE的长是

3

()

A.3B.4C.5D.6

4.（2016•深圳）如图，CB=CA,NACB=90。，点D在边BC上（与B、C不重

合），四边形ADEF为正方形，过点F作FGJLCA,交CA的延长线于点G,连接F

B,交DE于点Q,给出以下结论：

①AC=FG;②S&FAB：S臼边形CBFG=1：2;③NABC=NABF;@AD2=FQ-AC,

其中正确的结论的个数是（）

B.2C.3D.4

5.（2016•湘西州》如图,在AABC中，DE//BC,DB=2AD,ZkADE的面积为1,贝J四

边形DBCE的面积为（)

A.3B.5C.6D.8

6.（2016•内蒙古）如图，E为EABCD的边AB延长线上的一点，且BE:A

B=2：3,ZkBEF的面积为4,贝hABCD的面积为（）

A.30B.27C.14D.

9.（2016•绵阳）如图，点E,点F分别在菱形ABCD的边AB,AD上,且AE=DF,

BF交DE于点G,延长BF交CD的延长线于H,若券=2,则差的值为（）

2BC.15

3-n12

运用相似测高

2.（2016•承德模拟）在某一时刻，测得一根高为1.2m的木棍的影长为2m,同时测得一根旗杆的影长

为25m,那么这根旅杆的高度为（）

口125

A.15mB.—mC.60mD.24m

3.（2016•上城区二模）如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树

影BA由B向A走去，当走到C点、时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=4

米，CA=2米，则树的高度为（）

A.6米B.4.5米C.4米D.3米

4.（2016•深圳模拟）如图，在同一时刻，身高L6米的小丽在阳光下的影长

为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（）

A.L5米B.2.3米C.3.2米D.7.8米

6.（2016•石景山区二模）如图，为了估计河的密度，在河的对岸选定一个目标卡--

点A,在近岸取点B,C,D,E,使点A,B,D在一条直线上，且AD1DE,点

A,C,E也在一条直线上且DE"BC.如果BC=24m,BD=12m,DE=40m,贝U河二----二-----------

BCX

的宽度AB约为（）r

IT

A.20mB.18mC.28mD.30m

相似三角形的性质

1.（2016•临夏州）如果两个相似三角形的面积比是1：4,那么它们的周长比是（）

A.1：16B.1：4C.1:6D.1：2

3.（2016•兰州）已知△ABCs/kDEF,若△ABC与ADEF的相似比为方，则△ABC与ADEF对应中线

的比为（）

316

D.

4T

8.（2016•金平区一模）若△ABC与ADEF相似，相似比为2:3,则这两个三角形的面积比为（）

A.2:3B.3:2C.4:9D.9:4

3.（2015秋•佛山期末）如图，点C、D在线段AB上，4PCD是等

边三角形,且△ACPsZkPDB,求NAPB的度数.

4.（2015秋•延庆县期末）已知：如图，D是BC上一点，AABC^AAD

E,求证：Z1=Z2=Z3.

BDC

5.(2015秋•新化县期末)如图，已知AABCs^ADE,AE=5cm,EC=3cm,BC

=7cm,ZBAC=45°,ZC=40°.E

(1)求NAED和NADE的大小3

(2)求DE的长.

4.(2016•十堰)如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A，B，

C,已知OB=3OB，，则△ABC，与△ABC的面积比为()

A.1:3B.1:4C.1:5D.1:9

6.(2016•皇姑区二模)如图，△ABC和△A】BiCi是以点。为位似中心的位似

三角形，若Ci为OC的中点，AB=4,则的长为()

A.1B.2C.4D.8

7.(2016•高县一模)如图，已知E(-4,2),F(-1,-1),以原点O为位似

中心，按比例尺2:1把aEFO缩小，则E点对应点E，的坐标为()

A.(2,1)B,(1,

C.(2,-1)D,(2,

3.(2016•南宁)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点

的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,-4)

(1)请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的

(2)以点O为位似中心，将AABC缩小为原来的;，得到△AzB2c2,

请在y轴右侧画出△AzB2c2,并求出NA2c2B2的正弦值•

4.(2016•安徽模拟)如图所示的网格中，每个小方格都是边J'A

长为1的小正方形，B点的坐标为：B(-1,-1).

(1)把△ABC绕点C按顺时针旋转90。后得到△AiBiCi,请画

A

出这个三角形并写出点Bi的坐标；/\

04

(2)以点A为位似中心放大△ABC,得到△AzB2c2,使放大前

BC

后的面积之比为1：4请在下面网格内画出△AzB2c2.

经典例题透析

类型一、相似三角形的概念

1.判断对错：A(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？

(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？

(3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？

(4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？

(5)两个全等三角形一定相似吗？为什么?A思绪点拨:要说明两个三角形相似，要同时满足相应角相等，相应

边成比例.要说明不相似，则只要否认其中的一个条件.

解：(1)不一定相似^反例

A直角三角形只拟定一个直角，其他的两对角也许相等,

也也许不相等.所以直角三角形不一定相似4(2)不一定相似.反例A

L一i上-------j等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边相应成比

例，两底边的比不一定等于相应腰的比，所以等腰三角形不一定相似4(3)一定相似4

ABC与直角三角形ABC'中

4=乙4'=45°NB=Z5'=90°ZC=ZC'=45%设AB=a,A'B'=b，则BC=a,B'C'=b,A

AB_BC_AC_a

C=应a,A，C，=/bA；.而=1^一而一Z

AABCsAA，B'C'A

(4)一定相似.

由于等边三角形各边都相等，各角都等于60度,所以两个等边三角形相应角相等,相应边成比例，因此两个等

边角形定相似

(5)一定相似小全等三角形相应角相等,相应边相等，所以相应边比为1,所以全等三角形一定相似，且相似比

为1.4举—•反三

【变式1】两个相似比为1的相似三角形全等吗？

解析：全等.由于这两个三角形相似，所以相应角相等.又相似比为1,所以相应边相等.A因此这两个

三角形全等.

总结升华：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似.

(1)两个直角三角形,两个等腰三角形不一定相似.A(2)两个等腰直角三角形，两个等边三角形一定相似.

(3)两个全等三角形一定相似，且相似比为1;相似比为1的两个相似三角形全等.

A【变式2】下列可以相似的一组三角形为()

A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形

解析：根据相似三角形的概念,鉴定三角形是否相似，一定要满足三个角相应相等，三条相应边的比相等.而A

中只有一组直角相等，其他的角是否相应相等不可知；B中什么条件都不满足;D中只有一条相应边的比相等；C

中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且相应边的比也相等.答案选C.

类型二、相似三角形的鉴定*2.如图所示，已知。工刃⑵中,E为AB延长线上的一点，AB=3BE,

DE与BC相交于F,请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.A

思绪点拨：由OABCD可知AB〃CD,AD〃BC,再根据平行线找相似三角形.

解：；四边形ABCD是平行四边形，

AB〃CD,AD〃BC,

△BEFs△cDF,△BEF△AED.

,BE1

与—---——

，ABEF^ACDF^AAED.A当△BEFs^CDF时,相似比CD3；当△BEFs^AED

,BE1,CD3

-=一欠3-----=一

时，相似比力£4泠当△CDFs△AED时，相似比AE4.

总结升华：本题中ABEF、ACDF.AAED都相似，共构成三对相似三角形.求相似比不仅要找准相应边，还需

注意两个三角形的先后顺序，若顺序颠倒，则相似比成为本来的倒数.

3.已知在RtZ\ABC中，NC=90°,AB=10,BC=6.在Rt^EDF中，ZF=90°,DF=3,EF=4,则

△ABC和AEDF相似吗？为什么？A思绪点拨：已知aABC和DF都是直角三角形，且已知两边长，

所以可运用勾股定理分别求出第三边A