高中数学绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法(jiěfǎ)第一页，共26页。2023/5/31一、知识(zhīshi)联系1、绝对值的定义(dìngyì)|x|=x,x>0－x,x<00,x=02、绝对值的几何(jǐhé)意义0x|x|x1x|x－x1|第二页，共26页。2023/5/323、函数(hánshù)y＝|x|的图象y=|x|=x,x>0－x,x<00,x=0oxy11－1第三页，共26页。2023/5/33二、探索(tànsuǒ)解法探索(tànsuǒ)：不等式|x|<1的解集。方法(fāngfǎ)一：利用绝对值的几何意义观察方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论方法三：两边同时平方去掉绝对值符号方法四：利用函数图象观察这是解含绝对值不等式的四种常用思路

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4第四页，共26页。2023/5/340-1不等式|x|<1的解集表示(biǎoshì)到原点的距离小于1的点的集合。1所以(suǒyǐ)，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}探索(tànsuǒ)：不等式|x|<1的解集。方法一：利用绝对值的几何意义观察第五页，共26页。2023/5/35探索(tànsuǒ)：不等式|x|<1的解集。①当x≥0时，原不等式可化为x＜1②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1∴0≤x＜1∴－1＜x＜0综合(zōnghé)①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}方法(fāngfǎ)二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论第六页，共26页。2023/5/36探索(tànsuǒ)：不等式|x|<1的解集。对原不等式两边(liǎngbiān)平方得x2<1即x2－1<0即(x+1)(x－1)<0即－1<x<1所以(suǒyǐ)，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}方法三：两边同时平方去掉绝对值符号第七页，共26页。2023/5/37oxy11－1探索(tànsuǒ)：不等式|x|<1的解集。从函数(hánshù)观点看，不等式|x|<1的解集表示函数(hánshù)y=|x|的图象位于函数(hánshù)y=1的图象下方的局部对应的x的取值范围。y=1所以(suǒyǐ)，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}方法四：利用函数图象观察第八页，共26页。2023/5/38如果(rúguǒ)c是正数，那么①②0-cc①②②题型1:如果c是正数(zhèngshù)，那么①②题型2:第九页，共26页。2023/5/39题型3:形如n＜|ax+b|＜m(m＞n＞0)不等式等价(děngjià)于不等式组①②-m-nnm0①②第十页，共26页。2023/5/310①|f(x)|<g(x)型不等式|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x),②|f(x)|>g(x)型不等式|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)题型4:题型5:含有多个(duōɡè)绝对值的不等式的解法－－－零点(línɡdiǎn)分段法|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式第十一页，共26页。2023/5/311例1、(1)不等式|x－1|＜2的解集是_____.【解析(jiěxī)】由|x－1|＜2得－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3.答案：(－1,3)(2)不等式|4－3x|≥2的解集是_____.【解析(jiěxī)】|4－3x|≥2⇔|3x－4|≥2⇔3x－4≤－2或3x－4≥2，解得或x≥2.答案：三、例题(lìtí)讲解第十二页，共26页。2023/5/312三、例题(lìtí)讲解例2、解不等式3<|3-2x|≤5.03-14第十三页，共26页。2023/5/313三、例题(lìtí)讲解例2

解不等式3<|3-2x|≤5.第十四页，共26页。2023/5/314三、例题(lìtí)讲解例2

解不等式3<|3-2x|≤5.03-14第十五页，共26页。2023/5/315例3、解不等式|2x－1|<2－3x.三、例题(lìtí)讲解形如|f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x)型不等式.①|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x),②|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)第十六页，共26页。2023/5/316例4、解不等式591解：三、例题(lìtí)讲解平方法(fāngfǎ)第十七页，共26页。2023/5/317例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.三、例题(lìtí)讲解题型：|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法(jiěfǎ).【思路点拨】可用零点分段(fēnduàn)讨论，可用图象法，也可用绝对值几何意义求解．第十八页，共26页。2023/5/318方法(fāngfǎ)一：当x≤-1时,原不等式可以化为-(x+1)-(x-1)≥3,解得当-1＜x＜1时,原不等式可以化为x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解.当x≥1时,原不等式可以化为x+1+x-1≥3.所以综上,可知原不等式的解集为例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.第十九页，共26页。2023/5/319方法(fāngfǎ)二：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0.构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即作出函数的图象(如图).函数的零点是从图象(túxiànɡ)可知当或时,y≥0.即|x+1|+|x-1|-3≥0.所以原不等式的解集为例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.第二十页，共26页。2023/5/320解：方法三：如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,那么A,B两点间的距离为2,因此(yīncǐ)区间［-1,1］上的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对应数轴上的.同理设B点右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3，B1对应数轴上的,从数轴(shùzhóu)上可看到，点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.第二十一页，共26页。2023/5/321小结：|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法.(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，表达数形结合思想,理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释.(2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段法〞求解，表达分类讨论的思想.确定各个绝对值符号内多项式的_______性，进而去掉绝对值符号.(3)通过(tōngguò)构造函数，利用函数的图象求解，表达了函数与方程的思想.正确求出函数的_____并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是关键.正、负零点(línɡdiǎn)第二十二页，共26页。2023/5/322(1)对任意x∈R，假设(jiǎshè)|x－3|＋|x＋2|>a恒成立，求实数a的取值范围．(2)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|的解集非空，求实数a的取值范围．(3)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|在R上无解，求实数a的取值范围．形如|x＋m|±|x＋n|<(或>)a恒成立(chénglì)的问题例6【思路点拨】对(1)(2)(3)来说，问题(wèntí)的关键是如何转化，求出函数f(x)＝|x－3|＋|x＋2|的最值,那么问题(wèntí)获解．第二十三页，共26页。2023/5/323【解】(1)问题可转化为对一切x∈R恒有a<f(x)⇔a<f(x)min，∵f(x)＝|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，即f(x)min＝5，∴a<5.(2)问题可转化为a>f(x)的某些(mǒuxiē)值，由题意a>f(x)min，同上得a>5.(3)问题可转化为对一切x∈R恒有a≤f(x)⇔a≤f(x)min，可知a