高等代数下期终考试题及答案b卷

-高等代数(下〕期末考试试卷及答案〔B卷〕一．填空题〔每题3分，共21分〕在P[x]中,x2-2x-3在基1,(x-1),(x-1)2下的坐标为32.设n阶矩阵A的全体特征值为

,

,

,

，

f

(x)

为任一多项式，则

f(A)

的1

2

n全体特征值为

.在数域P上的线性空间P[x]中,定义线性变换AAfx:(())f(x),则A的值域n1004．3阶λ-矩阵A〔λ〕的标准形为00，则A〔λ〕的不变因子002________________________；3阶行列式因子D=_______________.假设4阶方阵A的初等因子是〔λ-1〕2，〔λ-32〕，〔λ-3〕，则A的假设当标准形J=6.在

n维欧氏空间

V中，向量在标准正交基

,

,

,

下的坐标是1

2

n(x

,x

,

,x

)，则(,

)＝1

2

n

i两个有限维欧氏空间同构的充要条件是．选择题(每题2分，共10分)1.( )V{(abi,cdi)a,b,c,dR}为R上的线性空间，dim(V)为(A)1; (B)2; (C)3; (D)4()以下哪个条件不是n阶复系数矩阵A可对角化的充要条件A有n个线性无关的特征向量；(B)A的初等因子全是1次的；(C)A的不变因子都没有重根；(D)A有n个不同的特征根；3．(

)设三阶方阵A的特征多项式为

f()

3

22

2

3，则|A|(A)1;

(B)2;

(C)3;

(D)-34.()设

(0,1,1),

(2,1,2),

k

，假设与

正交，则1

2

1

2

2(A)k=1;

(B)k=4;

(C)k=3;

(D)k=2-5．(

)以下子集哪个不是R3的子空间(A)

w {(x,x

,x )

R3

|x

1}(B)

w {(x ,x

,x

)

R3

|x

0}1

1

2

3

2

2

1

2

3

3(C)

w {(x

,x

,x

)

R3

|x

x

x}(D)

w {(x

,x

,x )

R3

|x

x

x }3

1

2

3

1

2

3

4

1

2

3

1

2

3三.判断题(对的打〞√〞,错的打〞*〞,每题2分,共12分)1.( )设VPnn，则W{AAPnn,A0}是V的子空间.2.(〕,,,是n维欧氏空间的一组基，矩阵Aa，其中12nijnn(,)，则A是正定矩阵.ij i j3．( )假设n维向量空间Pn含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量．4．〔〕在线性空间 R2中定义变换σ：(x,y)(1x,y)，则σ是R2的一个线性变换.5.〔 〕设V是一个欧氏空间，,V，并且，则与正交。6.(〕λ－矩阵A(λ)可逆的充要条件是A()0.四.计算题〔3小题，共30分〕1．关于基,,的坐标为〔1，0，2〕，由基,,到基,,的123123123324过渡矩阵为100,求关于基,,的坐标.(8分)210123设V是数域P上一个二维线性空间,,和,是V的两组基,V的线性变1212换Α在基,下的矩阵为21,到基,的过渡矩阵为0,又从基121121211,求Α在基,下的矩阵.(8分)1212用正交线性替换XTY化下列二次型为标准型,并写出相应的正交矩阵T:f(x)x22x22x24xx4xx8xx(14分)123121323五.证明题(每题9分，共27分)1.设V为数域P上的n维线性空间，,,,为V的一组基,证明12n-V=L(

,

,

,

).2．设

,

, ,

为

n

维欧氏空间V的一组基．证明：这组基是标准正交基的充1

2

n分必要条件是，对V中任意向量都有3. 设,都是数域P上线性空间V的线性变换,且,证明Im()和