第二章守恒定理

第二章守恒定理第1页，共26页，2023年，2月20日，星期三6.能量运动积分:在运动过程中保持常值,称为运动积分!－>能量守恒性质:对于具有s个自由度的力学封闭体系，独立的运动积分有2s-1个！(1)s个自由度=>s个二阶微分方程组=>通解有2s个常数.(2)封闭体系运动方程不显含时间t,解的形式(书上有误)从中间一个结果比如q_1，可以反解出t，代入另外2s-1个结果，有

第2页，共26页，2023年，2月20日，星期三再反解出，既可以看到有2s-1个关于常数的关系式，对剩余的一个常数,由于体系不显含时间,t平移不改变任一方程,可以任意选择初始时刻，将剩余常数的值吸收到初始时刻的任意性中，不改变结果，故可以取成0(任意数).这样得到的2s-1个关系式只包含q,dot(q)和C(2s-1)个，即运动积分.普适的运动积分(守恒量)与体系的对称性有关！比如：时空平移不变性能动量守恒物理意义第3页，共26页，2023年，2月20日，星期三时间均匀性(时间平移不变性)拉式量不显含时间(1)有微分关系(2)利用拉格朗日方程(3)可得第4页，共26页，2023年，2月20日，星期三(4)整理定义可以看到该量不随时间变化，即守恒，运动积分！称为能量.第5页，共26页，2023年，2月20日，星期三进一步，对封闭体系有利用可得(直角坐标系)因为T是速度的2次函数，即Prob:推导第6页，共26页，2023年，2月20日，星期三7.动量空间的均匀性(空间平移不变性)L不变(等价)利用拉格朗日方程，得到(1)(2)第7页，共26页，2023年，2月20日，星期三由此可以定义性质：动量的相加性.由此可以定义单个质点的动量具体地，代入拉式量形式有第8页，共26页，2023年，2月20日，星期三更具体地回顾看拉式量空间平移不变性即物理意义明显:整个体系无外力，动量守恒!第9页，共26页，2023年，2月20日，星期三深化1:广义坐标情况广义坐标q_I,定义广义动量广义力第10页，共26页，2023年，2月20日，星期三8.质心讨论坐标系的选取封闭体系的动量对于不同的惯性系有不同的取值，Problem:考察动量在参考系变换下的变换关系参考系变换KK’则动量关系即第11页，共26页，2023年，2月20日，星期三存在坐标系K’,使得P’=0,在该坐标系中，可以求得变换的速度V对参考系K’，系统整体相当于不动，退化到单质点情况，即是静止系。定义质心变换速度即是质心的速度！定义第12页，共26页，2023年，2月20日，星期三整体静止的力学系统(即质心系：质心不动的参考系)的能量称为内能可得其他参考系(相对质心系速度V)中的体系能量为推导：即是求坐标系变换下能量的变换关系Vs.上面坐标系变换下动量的变换关系第13页，共26页，2023年，2月20日，星期三坐标系变换关系取K’系为质心系则P’=0由此第14页，共26页，2023年，2月20日，星期三9.动量矩(角动量)类似前面，空间的各向同性(即空间的转动不变性)相应着角动量守恒.转动的描述:绕着某转动轴转动一定的角度！(转动方向按照右手法则)故需要一个矢量来描述(在空间的方向和大小)无穷小转动的描述：无穷小转动变换下，空间坐标的变换关系几何关系如图第15页，共26页，2023年，2月20日，星期三大小：方向：垂直综合则相对速度的变换关系例子，转动的描述第16页，共26页，2023年，2月20日，星期三代入拉格朗日函数，拉式量在转动下不变：使用广义动量，广义力的表述有第17页，共26页，2023年，2月20日，星期三转动角的任意性，可得:守恒量定义为称为角动量！第18页，共26页，2023年，2月20日，星期三综合：由时空的均匀性，各向同性，可知3维封闭体系至少有上面7个守恒量(运动积分):能量，3个动量，3个角动量.第19页，共26页，2023年，2月20日，星期三坐标原点变换下角动量的变换关系不同参考系变换下角动量的变换关系第20页，共26页，2023年，2月20日，星期三体系整体相对参考系K’静止情况下，有进一步，不单是封闭体系，有守恒量，只要拉式量具有对称性，就有守恒量！Ex:中心力场下的粒子角动量分量的另一等价表达形式：

绕z轴的转角第21页，共26页，2023年，2月20日，星期三直接计算验证采用柱坐标(容易描述绕z轴转动)有代入之前的定义另一方面第22页，共26页，2023年，2月20日，星期三*10.力学相似性拉格朗日函数可以相差任意一个非零常系数，而不改变运动方程.一些简单情况下，仅仅只需利用这些对称性，既可求解一些性质！Now，考虑这样情况，假设势能具有如下性质对这样的体系，引入相似性变换第23页，共26页，2023年，2月20日，星期三则变换后的拉式量只是老的拉式量的倍数如果满足则坐标改变相同倍数下，运动方程不变，前后的运动轨迹几何上相似，并且运动时间满足(对不同的运动轨迹)第24页，共26页，2023年，2月20日，星期三应用例子(1)均匀力场:可见k=1，可得物理意义：“重力”场中的自由落体，下落时间的平方之比等于下落高度之比！(2)牛顿引力或库仑力,k=-1，有物理