第七章偏导数与全微分

第七章偏导数与全微分1第1页，共74页，2023年，2月20日，星期三xo-RRR-R2第2页，共74页，2023年，2月20日，星期三（2）邻域：以点为园心，以为半径的开园域称为点的邻域，即3第3页，共74页，2023年，2月20日，星期三（3）平面区域：由一条或几条连续曲线所围的平面的一部分称为平面区域记为D.围成区域的曲线称为边界，连同边界在内的区域称为闭区域，不包括边界的区域称为开区域；如果可延伸到无穷远处，就称为无界区域，否则称为有界区域.我们这里讨论的区域是一种特殊的区域：任何平行于X轴或Y轴的直线与该平面区域的交点不多于两点，但容许边界曲线包含平行坐标轴的线段.例如：是无界开区域4第4页，共74页，2023年，2月20日，星期三是有界闭区域.5第5页，共74页，2023年，2月20日，星期三2、多元函数的定义二元函数的定义域是平面点集，通常用平面区域D表示.6第6页，共74页，2023年，2月20日，星期三107第7页，共74页，2023年，2月20日，星期三对应关系的求法同一元函数8第8页，共74页，2023年，2月20日，星期三9第9页，共74页，2023年，2月20日，星期三3、二元函数的几何意义10第10页，共74页，2023年，2月20日，星期三11第11页，共74页，2023年，2月20日，星期三注：二元函数的极限要求点Q(x,y)以任何方式，任何方向，任何路径趋向于时，均有若能找到两条不同的路径使沿此两路径时，f(x,y)具有不同的4.二元函数的极限12第12页，共74页，2023年，2月20日，星期三例4.若有(C),则极限存在.当点沿无穷条路径趋向定点时,有分析:多元极限是全面极限,动点趋于定点13第13页，共74页，2023年，2月20日，星期三方式应是任意方向任意路径.同时取极限过程中各变量变化是同步的,与累次极限没有关系,由此(C)成立,即连续必有极限.5.二元函数连续性定义：14第14页，共74页，2023年，2月20日，星期三4.闭区域上连续函数的有界性定理介值定理、最大最小值定理、零值定理。6.二元函数偏导数定义15第15页，共74页，2023年，2月20日，星期三同样可定义关于y的偏导数:注：16第16页，共74页，2023年，2月20日，星期三17第17页，共74页，2023年，2月20日，星期三7．二元函数的二阶偏导数18第18页，共74页，2023年，2月20日，星期三12若题设条件告之函数具有二阶连续偏导数，则意味着可交换混合偏导数的求导次序，可将结果整理为最简形式。8.二元函数的全微分:19第19页，共74页，2023年，2月20日，星期三20第20页，共74页，2023年，2月20日，星期三21第21页，共74页，2023年，2月20日，星期三三元函数的全微分:多元函数的全微分等于各自变量偏微分的和.22第22页，共74页，2023年，2月20日，星期三12349.连续、偏导数存在与可微之间的关系混合偏导数相等.23第23页，共74页，2023年，2月20日，星期三24第24页，共74页，2023年，2月20日，星期三二、基本问题及解法问题(一):一般函数偏导数与全微分的计算★25第25页，共74页，2023年，2月20日，星期三26第26页，共74页，2023年，2月20日，星期三例2.已知则（）分析：如果先求导再代值，无法将代入，所以应按定义去做。27第27页，共74页，2023年，2月20日，星期三故应选（B）28第28页，共74页，2023年，2月20日，星期三29第29页，共74页，2023年，2月20日，星期三解：（1）30第30页，共74页，2023年，2月20日，星期三31第31页，共74页，2023年，2月20日，星期三搞清复合关系，哪是自变量、中间变量，通常画变量关系图，再按变量关系图的路径求导。从应变量到自变量有多少条路径，求导时就有多少项，每一项均为函数对中间变量的偏导数与中间变量对自变量的偏导数之积。注：有些复杂的函数也可引进中间变量画出变量关系图后再求导。问题(二):复合函数偏导数求法★32第32页，共74页，2023年，2月20日，星期三解:变量关系如图:33第33页，共74页，2023年，2月20日，星期三34第34页，共74页，2023年，2月20日，星期三35第35页，共74页，2023年，2月20日，星期三36第36页，共74页，2023年，2月20日，星期三“抽象”的复合函数偏导数的求法对抽象的二元复合函数求偏导数时，有的偏导数无法法具体求出只能保留“抽象”的形式。视情况可画变量关系图，也可不画变量关系图。37第37页，共74页，2023年，2月20日，星期三例1.设可导，则分析：应填2Z38第38页，共74页，2023年，2月20日，星期三另解：39第39页，共74页，2023年，2月20日，星期三例3.设函数解：40第40页，共74页，2023年，2月20日，星期三由三元方程F(x,y,z)=0所确定的z是x,y的函数z=f(x,y)称二元隐函数。(因变量不能单独出现在等号一边);问题(三)：多元隐函数偏导数的求法★41第41页，共74页，2023年，2月20日，星期三42第42页，共74页，2023年，2月20日，星期三43第43页，共74页，2023年，2月20日，星期三44第44页，共74页，2023年，2月20日，星期三两边求导法:公式法：45第45页，共74页，2023年，2月20日，星期三问题(四):求二元函数的极值(1)定义：46第46页，共74页，2023年，2月20日，星期三(3)极值存在的充分条件：47第47页，共74页，2023年，2月20日，星期三步骤48第48页，共74页，2023年，2月20日，星期三条件极值及解法求条件极值有两种方法：(1)化为无条件极值49第49页，共74页，2023年，2月20日，星期三(2)拉格朗日乘数法——求极值步骤：123无须判定，直接根据实际问题下结论50第50页，共74页，2023年，2月20日，星期三51第51页，共74页，2023年，2月20日，星期三52第52页，共74页，2023年，2月20日，星期三例2.（条件极值）某厂生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10万元和9万元，生产x件甲种产品和y件乙种产品的总成本为又已知两种产品的总产量为100件，求企业获得最大利润时,两种产品的产量各是多少?53第53页，共74页，2023年，2月20日，星期三54第54页，共74页，2023年，2月20日，星期三答:企业获得最大利润时,两种产品的产量分别为70件和30件.55第55页，共74页，2023年，2月20日，星期三例3.某公司可通过电台，报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费（万元）及报纸广告费用(万元)之间有关系式：(1)在广告费用不限的情况下,求最优广告策略;解:（1）无条件极值利润函数56第56页，共74页，2023年，2月20日，星期三(2)求条件极值——拉格朗日乘数法注：因驻点唯一，且实际问题存在最大利润，故当电台广告费为0.75万元，报纸广告费为1.25万元时利润最大此为最优广告策略.以此代替检验。构造拉格朗日函数：57第57页，共74页，2023年，2月20日，星期三解得因此将广告费1.5万元全部用于报纸广告，可使利润最大.58第58页，共74页，2023年，2月20日，星期三三、课后练习59第59页，共74页，2023年，2月20日，星期三60第60页，共74页，2023年，2月20日，星期三61第61页，共74页，2023年，2月20日，星期三11.已知函数设12.则（B）62第62页，共74页，2023年，2月20日，星期三13.已知的全微分为则的取值分别为（B）（A）－2和2；（B）2和－2；（C）－3和3；（D）3和－3.分析；由全微分存在，知偏导数存且连续，从两个二阶混合偏导数相等，即，由此可而确定由题设知63第63页，共74页，2023年，2月20日，星期三故应选（B）64第64页，共74页，2023年，2月20日，星期三计算。

14.设且解：变量关系如图65第65页，共74页，2023年，2月20日，星期三于是66第66页，共74页，2023年，2月20日，星期三16.设所确定的函数，且是可微的，求67第67页，共74页，2023年，2月20日，星期三解：变量关系如图：由对x求导，得……（1）再由两边对x求导，得出（2）68第68页，共74页，2023年，2月20日，星期三将（2）代入（1）得：整理解出：17.设69第69页，共74页，2023年，2月20日，星期三提示：18.设70第70页，共74页，2023年，2月20日，星期三提示：可引进中间变量，也可直接求导.令71第71页，共74页，2023年，2月20日，星期三19.设提示：先分别求出，再代入化简.20.设由方程确定了函数，则（