机械识图基础知识培训讲义

§3-1点的投影第三章点、直线、平面的投影§3-2直线投影§3-3点、线的相对位置§3-4一边平行于投影面的直角的投影§3-5平面的投影§3-6各种位置平面的投影特性§3-7平面上的点和直线§3-8平面的辅助投影

空间几何体是由点、直线和平面构成的，如图3.1所示的三棱锥。既可看成由四个点所构成，又可看成由六条直线或四个平面所构成。因此，表达几何体的三面投影，实际上就是画出构成几何体的点、直线和平面的投影。所以，点、直线、平面的投影是画图的基础。本章着重研究它们的投影规律和特点。

§3-1点的投影2四、点的辅助投影三、两点的相对位置和重影点二、点在三面体系中的坐标和投影一、点在两面体系中的投影§3-1点的投影返回作图举例例题一例题二3HVOXA点的水平投影——aA点的正面投影——a’a'aAaX点在两面体系中的投影HVOXa'aax展开OXa'aax投影规律:1.aa’⊥ox2.aax＝Aa’;axa’＝Aa返回4A点的水平投影——a

A点的正面投影——a'

A点的侧面投影——a"

Ha'aa"VWXOZYWYH点在三面体系中的坐标和投影YXHVOZWa'aa"A51.a'az=aay=xa"az=aax=ya'ax=a"ay=z

a'aa"XOZYWYHaxayazay2a'aoxa'a"oz投影规律返回投影图6两点中X值大的点——在左两点中Y值大的点——在前两点中Z值大的点——在上XZYWYHOa'a"ab'bb"XOZYa"a'ab"b'bBA两点的相对位置7c(c')d'dCDa(b)a'b'AB重影点及可见性若空间两点位于某投影面的同一投射线上时,它们在该投影面上的投影便重合为一点,称为对该面的重影点。c'd'cdaba'b'判别可见性返回()()8换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。点的辅助投影a1’X1V1a1’9a1’X1V1X1HV1a1’a’XVHa点的投影变换规律1、点的辅助投影和不变投影的连线，必垂直于辅助投影轴。2、点的辅助投影到辅助投影轴的距离等于点的被更换投影到原投影轴的距离。a1’10X1H1Va1变换H面a1H1X1a111a’X1a2点的两次变换H2a2X2H2V1X212（二）新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：1、新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。2、新投影面必须垂直于一个不变投影面。返回(一)点的投影变换规律1、点的辅助投影和不变投影的连线，必垂直于辅助投影轴。2、点的辅助投影到辅助投影轴的距离等于点的被更换投影到原投影轴的距离。X1V1X1HV1a’XVHaa1’a1’13例题1已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影ZXOa'a"aYHYW返回b’’b’’bb’c’cc’’14a'a"aXZYWYHOb'bb"例题2已知A点在B点前方5毫米，上方9毫米，右方8毫米，求A点的投影。895返回15三、求一般位置线段的实长及对投影面的倾角二、各种位置直线的投影一、直线的投影§3-2直线的投影返回16

直线由线上任意两点所确定，其投影由两点投影确定，直线与水平、正立、侧立投影面的夹角分别用希腊字母α、β、γ表示.一.直线的投影返回17二.各种位置直线的投影

1.一般位置直线1ab=AB·cosα;a’b’=AB·cosβ;a’’b’’=AB·cosγ2、ab、a’b’、a’’b’’均倾斜于投影轴

3、不反映

、、实角投影特性：18二.各种位置直线的投影

1.一般位置直线

2.投影面平行线平行于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的直线。水平线——平行于H面而倾斜Ｖ、Ｗ面的直线；侧平线——平行于W面而倾斜H、Ｙ面的直线。正平线——平行于Ｖ面而倾斜H、W面的直线；19二.各种位置直线的投影

1.一般位置直线

2.投影面平行线垂直于一个投影面的直线称为投影面垂直面。铅垂线——垂直于H面而平行于Ｖ、Ｗ面的直线；侧垂线——垂直于W面而平行于H、Ｙ面的直线。正垂线——垂直于Ｖ面而平行于H、W面的直线；

3.投影面垂直线返回20水平线投影特忽性：1、a'趋b'//振OX，炼a"稍b"//或OY2、a候b=A脖B3、反映、角的真片实大小返回21正平线投影特性适：1、ab绪//OX侍，述a"b"佛//OZ够。2、a惠'b'乏=AB执。3、反映、角的真吓实大小。返回22侧平线投影特揪性：1、a图'b'掘//O款Z，户ab矿//O距Y。2、a值"b"割=AB班。3、反映、角的真齿实大小雹。返回23铅垂线投影特侄性：1、a织b积聚讽成一点2、隆a’b明’OX帅;a’’锯b’危’OY3、街a’b损’=膊a’’歇b’’灯=AB返回24正垂线投影特性那：1、a且’b拒’积或聚成包一点2、炼a划bOX魔;a’’原b’’OZ3、钟a银b址=a免’’电b’’用=A爹B返回b’卡（a’殊）y25侧垂线投影特性杨：1、a钥’’沾b’’热积聚顶成一畜点2、项a逮bOY逗;a’涨b’OZ3、阴a替b偷=a躺’b葵’=良AB返回（b’趟’）辆a’’261.言直角三角啦形法|ZA-B|ABab三.求一般位呆置线段的国实长及对俱投影面的绩倾角ABab|

ZA-B||ZA-B||

ZA-B|AB求β角271.瓦直角三角每形法|YA-B|三.求一般尊位置线颂段的实搞长及对嫌投影面在的倾角B0βABa＇b＇|

YA-B|β|YA-B|a＇b＇ABβ28每个直角抖三角形中县，三条边判和直线对行投影面的孔倾角共四痰个参数，纺只要知道雄其中任意句两个，就礼能求出其娃余两个直角三角章形的作图狮要点:直角三角扩形中,斜样边为线段陵的实长,礼两直角边膨分别为线细段的投影兄及坐标差菜,如图ABab△ZαABa''b''γ△XABβ△Ya'b'例被题29例１疫α角逗的正确我求法是碎（？）图b(a)(b)(c)b′a′

abαb′a′

abαb′

aαa′30例2映已知直浇线AB的脚水平投影喂ab及a胶′，且α丽=30°盲，用直角胡三角形法普完成其正蛮面投影。baxa′31例2遗已知直大线AB的俱水平投影霞ab及a沿′，且α厦=30°佣，用直角匀三角形法党完成其正测面投影。b′α作图：讨论有多雅解。①以a停b为直浆角边作尝直角三奇角形，焰求出Δ夕Zab②利用Δ蹈Zab求挂b′baxa′ΔZabZabZabb′重作32例3哈已知秘直线A掌B和B取C对V垃面的倾需角都是抹3窃0°，完成撞a’b渔’、b蜡’c’xba′

a

c033分析：已知ab睛、bc及害β=30。，故应县作出含灯β的直默角三角校形求解瞧。例3锋已知搅直线A搂B和B轧C对V腊面的倾纤角都是叛3惊0°，完成a普’b’、槽b’c’xba′

a

c作图：①利用捐ΔYa什b及β远求a′梅b′②利用Δ尼Ybc及搏β求b′欺c′△讨论有逼多解。a’b’60°b′c′b’c’30°0重作ΔYabΔYab341.葛直角彻三角形皂法三.求一般慨位置线阶段的实罪长及对麻投影面厕的倾角2.秀辅膨助投影盘法当直线测平行投籍影面时谈，它在父该投影扶面上的哭投影反狱映它的营实长及防与另外创两投影订面的夹独角。辅助投影剥法求实长额及倾角实瘦质就是将晌线段变换闯为某一投赢影面的平责行线。V1X1a1’b1’35V1X1b1’a1’b1’a’b’abXVHX1V1H实长α思考:广变换H面服?X1∥aba1’36例4离求一般位散置线段A尽B的实长黎及其对W莲面的倾角屿γ，帜并AB服上截取一江点E，使筝AE长为晶10mm钱。a’b’WZVa’’b’’37例4代求一酬般位置激线段A缩慧B的实原长及其飞对W面燥的倾角浊γ，躬并A疏B上截乞取一点智E，使盟AE长砍为10同mm。Z1V1Wa1’b1’a’b’WZVa’’b’’γ实长作图1.蝇换面求出滥AB的实掏长及γ2.盾在a1’b1’上截取颜e1’,使a1’e1’=10铲,并由e1’返回作项出e1’’和击e1’。e1’e’’e’重作38例5川已知ＡＢ膝的实长及样a’b’表，求AB百的水平投啄影ABXHVaa’b’39例5努已知ＡＢ腔的实长及豪a’b’轰，求AB魂的水平投听影ABXHVaa’b’作图1.碗将AB变巾换为水平有线(X1∥a’b’伐)2.烟利用AB刑的实长及点的投影抄规律求出军b13.禁求出渴ba1X1VH1b1b讨类论另一解b1B?返回重作40§3-3平点、痰直线的相脊对位置一、点与污直线的相府对位置1、点好在直线脉上，它理的各面样投影必滩落在该穗直线的锤同面投惨影上。2、空间罩点分线段蜘的比例，驴等于投影踩图上点分买线段投影馆的比例。AC：CB=ac：cb=a’c’：c’b’例题1例题2投影规律41§3-绩3点痛、直乘线的相让对位置一、点亚与直线见的相对地位置二、两智直线的粗相对位合置1、两逼直线平堡行2、两直办线相交3、两亩直线交签叉例题1例题242b’aa’d’bbcc’xob’a’abdc’d’c两直线平符行,舟它们的各恨面投影必老相互平行返回43返回44凡不满足殃平行和相环交条件的班直线为交走叉两直线丢。ob’xa’abc’d’dc11’(2’)2返回45例题1菌已知路线段A卫B的投许影图，塞试将A番B分成合AC:赵CB=袭2:铸1两坟段，求逼分点C烘的投影撞。cc’1.冲任作一芝直线并三古等分2.娃作己相似形个定出C所点的水泰平投影舅c3.口求鹊出C点过的水正浪面投影阻c’46例题2匆已知点C食在线段A蹦B上，求充点C的正冬面投影。accbc’47例题3喉试判断学直线AB厚、CD是拜否平行X方法一补画第三刑投影,贱判断是亏否平行ad’b’a’dcbc’d’’b’’a’’c’’方法二ab:捕cd不汉等于a’铃b’:去c’d耕’结论:慰AB与娇CD不平着行返回48例题4鸽试权作一直织线MN帐与AB坟、CD稠两直线弃相交棵,且变平行虫EF(m’缺)af’OXe’fdecbc’(a’)举b’d’分猾析作图步骤（1）叫过m’甘作直线袖m’n站’平行主e’f茶’,卫且与歉c’d螺’交于盐n’n’(2)铺由n的’求得nn过n作n御m平行e弯f,舟交ab于遍m,塞直线MN狮即为所求陷。m493’(4’)341’2’1(2)例题5肠判驳断两直些线重影铅点的可狡见性50§3-4耀一边浪平行于投达影面的直浆角的投影XOc’a’b’cbaACBoca′b′abc′x证明：⑴已知核AB⊥沙AC元,求AB∥颂H，奔则AB督⊥Aa号，则A封B⊥平米面Aa琴cC播;⑵因a茎b∥A识B，故吴ab⊥宾平面A牲acC侍，则a医b⊥a坏c。结论：当直角催的一边闻平行于汽投影面旨时,赛该投陡影面上福的投影缎反映直然角;办反之肺,两逼直线之着一平行材于投影食面且在晓该面两吓直线投厅影成直贺角,名则两黎直线在戚空间的销夹角也妻一定是乱直角。51例1.与判断下草列几组居直线是鉴否垂直饲：aa′c′cb′bb′a′abcc′b′a′c′abca′ab′bd′dc′ca′a(b′bcdc′)d′(a塑)(e伶)(d佳)(c井)(b姜)52④连取线完成作欺图o例2.已知侧平线AC为菱形对角线，B点在Z轴上，试完成菱形的三面投影。c′ca′axYHYwz分析：作图：②由云于B点在加Z轴上，蝴定出b、河b′③直根据对邀角线互敏相平分致的特点呀，求出份、d′竞、d①肾作出里a′′祸c′′糟，过中年点o′穗′作中撇垂线交捏OZ于遥b′′a’’k’’d’’b’’c’’b’bk’dd’53§3-阀5碑平面的输表示法a’ab’c’bcb’a’ac’bcb’a’ac’bca’ab’c’bca’b’c’abcd’d54§3-6拥各舌种位置平案面的投影沃特性平面可分皂为三类:投影面猾平行面投影面立垂直面一般位置铁平面平面与H搞面、V面央、W面的偿夹角分别揉用希腊字需母α、β、授γ表示。55一弯投诉影面平沾行面平行于放一个投改影面的屠平面称桃为投影租面平行饶面。正平面侧平面水平面投影特性揉：1、a只’b’c命’、a混’’b’示’c’’姐积聚为一持条线，且复a’b’悔c’∥O傅X;匪a’切’b’’龟c’’∥祝OY。2、乏水平投影磨abc反殿映ABC骑实形Za’’cYXa’b’b’’baoYc’’c’56(1)正效面投影反流映实形;(2)水臣平投影积习聚为一直绝线,傍且//池OX;侧面投影住积聚为一似直线,且班//OZ黎.(1)厘侧面坝投影反滴映实形锈;(2)正童面投影积吊聚为一直趣线且//你OZ;富水平投陶影积聚为去一直线且宝//YH。c’’YW正平面(∥V)

bYHZa’’b’’b’oa’c’caX侧平面(∥W)投影规省律57二炼投影顷面垂直受面垂直于灵一个投膏影面而轻倾斜于忍另外两政个投影驶面的平面称为投就影面垂直疼面。铅垂面稀、正垂巾面、侧铺垂面。（1）水培平投影积赠聚为一直夹线,水平陕投影与X勉的夹角反持映平面V张面的夹角解β,与变YH的夹角裕反映平趁面与侧忧面的夹单角γ。(2召)正面投影爆、侧面投砖影不反映葡实形,但尊为其类似界形。投影特栽性：zyWxa’b’a’’baoyHcc’’c’b’’581)休正面周投影积足聚为一行直线与刊OX夹惑角反映灶α,与哥OZ夹针角反映暂γ；（2）水平投缝影和侧喝面投影克不反映帖实形,械但为其浴类似形。正垂面(⊥V)YWZbbXaabaOYHαccc(1)凯侧纯面投影姨积聚为傅一直线虹与OY旬w的夹家角反映盆α，与厌OZ夹丑角反映锡γ；(2)牛正惕面投影角与水平辨投影不堂反映实疏形,但谊为其类僵似形。侧垂面(⊥W)a’’zb’b’’YWxa’baoYHαβcc’c’’投影规律59三劫一般位置跟平面对三个葛投影面破都处于湾倾斜位课置的平悄面称为趴一般位置手平面。投影特性1、傻△abc、供△abc、△abc均为ABC的讯类似形。2、影不反映、、的真实眯角度粗。60§3-7馋平啄面上的点社和线一、平门面上的崇点DEddee在给定昏平面取娱点，可域直接取年自该平刷面上的痒已知直据线61DEdeed二、平召面上的那直线（1）光通过黄平面上终两个已文知点洒；（2）繁通过平面晕上一点壁，且平行伤于平面上虏的另缩慧一已揭知直线62例1.盘试慨判断点佳K和直典线MN罚是否在阵△AB响C平面克上XnmcbaOb’kk’n’m’c’a’63例2.声已呈知平面倚五边形思ABC吉DE的步正面投散影和水斗平投影螺abc碗,试完成五亲边形的水区平投影。cbab’c’a’d’e’作摘图(1)猫连痰接a’位c’葛,b洞’d’盾相交于鸟f’闷，求出盆f;省再连菊bf并巾延长求覆得d顾;f’fd(2)肃作e绕’g’∥趁a’b’注交b’c睛’于g’疏，求出女g;鼻再作ge鸽∥ab并代求出e六;g’ge(3)搞连接c票d、d垄e、e登a64三、平面乏上的投影信面平行线平面上语平行于虚投影面壮的直线价称为平苏面上的彼投影面坚平行线歪。有三管类:庄面上甚水平线内、正骄平线、言侧平线书。VHABbaa’PH面上的宣投影面钟平行线把即具有持投影面着平行线竿的投影哄特性鸭,又爸必须满抽足直线尾在平面雾上的条奇件65例题1:起已知ABC给定一趣平面，迫试过点C作属于键该平面蜻的正平慰线，过码点A作属于社该平面谱的水息平线。mnnm66例题2:购已知点E在ABC平面上，盯且点E距离H面15，距离V面10，试求服点E的投影。mnmnrsrs1015ee作唯图(1)丢作ABC距离V面马10的群直线SR仆;(3)邮MN与岩SR的揉交点即屈为所求疾。(2)日作ABC距离H浊面15冷的直线M摧N;67c§3-8鸽平宽面的辅助证投影一、将揉一般位总置平面酒变换为攀投影面秒垂直面分危析将平面磨内的投董影面平鉴行线变霜换成投壶影面垂垂直线后并,洲平面即典变为投波影面垂邀直面。X1H1a1c1b1d1dd'D68作执图§3-8平面的辅助投影一、将一般位置平面变换为投影面垂直面X1H1a1c1b1d1dd'Daa’cbc’b’Xdd’a1c1b1β求α时召,作从驼属于平面惨上的水平