人教A版-选择性必修三-第八章 成对数据的统计分析-8.2 一元线性回归模型及其应用

《一元线性回归模型及其应用》同步练习1．在疫情冲击下，地摊经济有利于缓解部分失业人群的燃眉之急，2020年5月底中央开始鼓励地摊经济，某地摊的日盈利y(单位：百元)与当天的平均气温x(单位：℃)之间有如下数据：x/℃2022242123y/百元13623若y与x具有线性相关关系，则y与x的经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必过的点为()A．(22，3)B．(22，5)C．(24，3)D．(24，5)2．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下，根据如表可得经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝8x＋11，则实数a的值为()零件数x(个)2345加工时间y(分钟)30a4050B．35C．36D．373．已知两个随机变量x，y的取值如表，若x，y呈线性相关，且得到的经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则()x3456y34A.eq\o(b,\s\up6(^))>0，＝eq\o(b,\s\up6(^))＋eq\o(a,\s\up6(^))B．eq\o(b,\s\up6(^))<0，＝eq\o(b,\s\up6(^))＋eq\o(a,\s\up6(^))C．eq\o(b,\s\up6(^))>0，3＝4eq\o(b,\s\up6(^))＋eq\o(a,\s\up6(^))D．eq\o(b,\s\up6(^))>0，＝eq\o(b,\s\up6(^))＋eq\o(a,\s\up6(^))4．已知变量x与变量y的取值如表所示，且<m<n<，则由该数据算得的经验回归方程可能是()x2345ymnA.eq\o(y,\s\up6(^))＝＋B．eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋C．eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋8D．eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋105．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y(单位：千瓦·时)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：x(单位：℃)171410－1y(单位：千瓦·时)24343864由表中数据得经验回归方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为()A．56千瓦·时B．62千瓦·时C．64千瓦·时D．68千瓦·时6．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如表)，由最小二乘法求得经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.零件数x个1020304050加工时间y/min62758189现发现表中有一个数据模糊看不清，则该数据为()A．68B．C．D．707．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元).调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的经验回归方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.由经验回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．8．如图是一组数据(x，y)的散点图，经最小二乘估计公式计算，y与x之间的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋1，则eq\o(b,\s\up6(^))＝________．9．一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192，3246](单位：吨)，船员的人数5～32人，船员人数y关于吨位x的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝＋2x，(1)若两艘船的吨位相差1000，求船员平均相差的人数．(2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数．10．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：年份x20162017201820192020储蓄存款y(千亿元)567810表1为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2012，z＝y－5得到下表2：时间代号t12345z01235表2(1)求z关于t的经验回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)))提能力11．(多选题)设某中学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)用最小二乘法建立的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－，则下列结论中正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))C．若该中学某个女生的身高增加1cm，则其体重约增加kgD．若该中学某个女生的身高为160cm，则可断定其体重必为kg12．(多选题)下列说法正确的是()A．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差B．某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C．回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D．在经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝＋10中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量多增加个单位13．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/L)与消化系数如下表：尿汞含量(x)246710消化系数(y)64138205285360由此得经验回归方程的斜率是________(精确到.14．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率y小李这5天的平均投篮命中率为________；用经验回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．15．下表给出的是某城市2015年至2018年，人均存款x(万元)，人均消费y(万元)的几组对照数据．年份2015201620172018人均存款x(万元)人均消费y(万元)(1)试建立y关于x的经验回归方程；如果该城市2019年的人均存款为万元，请根据经验回归方程预测2019年该城市的人均消费；(2)计算R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(^))i）2,\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)，并说明经验回归方程的拟合效果．附：回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).16．2013年1月，北京经历了59年来雾霾天气最多的一个月．据气象局统计，北京市2013年从1月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气，《环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行)》将空气质量指数分为六级，如表1：表1AQI级别状况0～50Ⅰ优51～100Ⅱ良101～150Ⅲ轻度污染151～200Ⅳ中度污染201～300Ⅴ重度污染>300Ⅵ严重污染表2是某气象观测点记录的连续4天里AQI与当天的空气水平可见度y(单位：km)的情况．表2AQI900700300100空气水平可见度y/km设x＝eq\f(M,100)，其中M为AQI，根据表2的数据，那么y关于x的经验回归方程为________________．参考答案1．解析：由表中数据，计算eq\o(x,\s\up9(－))＝eq\f(1,5)×(20＋22＋24＋21＋23)＝22，eq\o(y,\s\up9(－))＝eq\f(1,5)×(1＋3＋6＋2＋3)＝3，所以y与x的经验回归方程必过样本中心点(22，3).故选A.答案：A2．解析：eq\o(x,\s\up9(－))＝eq\f(2＋3＋4＋5,4)＝，eq\o(y,\s\up9(－))＝eq\f(30＋a＋40＋50,4)＝eq\f(120＋a,4).则样本点的中心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1，\f(120＋a,4)))，代入经验回归方程，得eq\f(120＋a,4)＝8×＋11，解得a＝36.故选C.答案：C3．解析：由y随着x的增大而增大，可得eq\o(b,\s\up9(^))>0，又eq\o(x,\s\up9(－))＝，eq\o(y,\s\up9(－))＝，∴＝eq\o(b,\s\up9(^))＋eq\o(a,\s\up9(^)).故选D.答案：D4．解析：由表格中的数据可知，两个变量是正相关关系，所以排除C、D选项．eq\o(x,\s\up9(－))＝，eq\o(y,\s\up9(－))＝eq\f＋m＋n＋,4)＝eq\f(9＋m＋n,4)∈，，把eq\o(x,\s\up9(－))＝分别代入A、B选项，对于A，有eq\o(y,\s\up9(^))＝∈，，符合题意；对于B，有eq\o(y,\s\up9(^))＝∉，，不符合题意；故选A.答案：A5．解析：eq\o(x,\s\up9(－))＝eq\f(1,4)(17＋14＋10－1)＝10，eq\o(y,\s\up9(－))＝eq\f(1,4)(24＋34＋38＋64)＝40，代入：eq\o(y,\s\up9(^))＝－2x＋eq\o(a,\s\up9(^))，得eq\o(a,\s\up9(^))＝60，∴经验回归方程为eq\o(y,\s\up9(^))＝－2x＋60，取x＝2，得y＝56千瓦·时，故选A.答案：A6．解析：设表中模糊不清的数据为m，由表中数据得eq\o(x,\s\up9(－))＝30，eq\o(y,\s\up9(－))＝eq\f(62＋m＋75＋81＋89,5)＝eq\f(307＋m,5)，∴eq\f(307＋m,5)＝×30＋，即m＝68.故选A.答案：A7．解析：家庭收入每增加1万元，对应经验回归方程中的x增加1，相应的eq\o(y,\s\up9(^))的值增加，即年饮食支出平均增加万元．答案：8．解析：由题图知eq\o(x,\s\up9(－))＝eq\f(0＋1＋3＋4,4)＝2，eq\o(y,\s\up9(－))＝eq\f＋＋＋,4)＝，将(2，代入eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋1中，解得eq\o(b,\s\up9(^))＝.答案：9．解析：(1)设两艘船的吨位分别为x1，x2，则eq\o(y,\s\up9(^))1－eq\o(y,\s\up9(^))2＝＋2x1－＋2x2)＝2×1000≈6，即船员平均相差6人．(2)当x＝192时，eq\o(y,\s\up9(^))＝＋2×192≈10，当x＝3246时，eq\o(y,\s\up9(^))＝＋2×3246≈29.即估计吨位最大和最小的船的船员数分别为29人和10人．10．解析：(1)eq\o(t,\s\up9(－))＝3，eq\o(z,\s\up9(－))＝，eq\i\su(i＝1,5,t)izi＝45，eq\i\su(i＝1,5,t)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝55，eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(45－5×3×,55－5×9)＝，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\o(z,\s\up9(－))－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(t,\s\up9(－))＝－3×＝－，所以eq\o(z,\s\up9(^))＝－.(2)将t＝x－2012，z＝y－5，代入eq\o(z,\s\up9(^))＝－，得y－5＝(x－2012)－，即eq\o(y,\s\up9(^))＝－2.(3)因为eq\o(y,\s\up9(^))＝×2022－2＝，所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达千亿元．11．解析：由最小二乘法建立的回归方程可知，回归直线eq\o(y,\s\up9(^))＝－一定过样本点中心(eq\o(x,\s\up9(－))，eq\o(y,\s\up9(－)))，因此B正确；由x的系数>0可知变量y与x具有正的线性相关关系，因此A正确；由x的系数为可知，若某个女生的身高增加1cm，则其体重约增加kg，因此C正确；当某个女生的身高为160cm时，体重约为kg，不是一定为kg，因此D不正确．故选ABC.答案：ABC12．解析：对于A，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故A错误；对于B，6月9日本地降水概率为90%，只是表明下雨的可能性是90%，有可能这天不下雨，不能说明天气预报并不科学，故B错误；在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故C正确；在经验回归方程eq\o(y,\s\up9(^))＝＋10中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y增加个单位，故D正确．故选CD.答案：CD13．解析：由回归系数eq\o(b,\s\up9(^))的几何意义知，经验回归直线的斜率即是回归系数eq\o(b,\s\up9(^))，据eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up9(－))\o(y,\s\up9(－)),\i\su(i＝1,5,x)2－5\o(x,\s\up9(－))2)计算可得：eq\o(b,\s\up9(^))≈.答案：14．解析：小李这5天的平均投篮命中率eq\o(y,\s\up9(－))＝eq\f(1,5)＋＋＋＋＝，eq\o(x,\s\up9(－))＝3，eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f,10)＝，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\o(y,\s\up9(－))－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(x,\s\up9(－))＝－＝.∴经验回归方程为eq\o(y,\s\up9(^))＝＋，则当x＝6时，y＝.∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为.答案：15．解析：(1)∵eq\o(x,\s\up9(－))＝eq\f(1,4)eq\i\su(i＝1,4,x)i＝eq\f(1,4)＋＋＋＝，eq\o(y,\s\up9(－))＝eq\f(1,4)eq\i\su(i＝1,4,y)i＝eq\f(1,4)＋＋＋＝，eq\i\su(i＝1,4,)(xi－eq\o(x,\s\up9(－)))(yi－eq\o(y,\s\up9(－)))＝(－×(－＋(－×0＋×0＋×＝，eq\i\su(i＝1,4,)(xi－eq\o(x,\s\up9(－)))2＝(－2＋(－2＋＋＝，∴eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,)（xi－\o(x,\s\up9(－))）（yi－\o(y,\s\up9(－))）,\i\su(i＝1,4,)（xi－\o(x,\s\up9(－))）2)＝eq\f,＝，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\o(y,\s\up9(－))－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(x,\s\up9(－))＝－×＝0，∴所求经验回归方程为eq\o(y,\s\up9(^))＝，当x＝时，eq