2021年普通高等学校招生全国统一考试新高考Ⅱ卷数学含答案

2021年全国统一高考数学试卷（新高考全国n卷）使用省份：海南、辽宁、重庆一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2-i.爱数「■在夏平面内对应的点所在的象限为（）1-31A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】2-i【分析】利用复数的除法可化简=，从而可求对应的点的位置.1-31【详解】（27）（1+31）= = 所以该发数对应的点为1-31 10 10 2 122）该点在第一象限,故选：A.设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},5={2,3,4},则人口（。，5）=（）A.{3} B.{1,6} C.{5,6} D.{1,3}【答案】B【解析】【分析】根据交集、补集的定义可求Ac（Q；5）.【详解】由题设可得={1,5,6},故Ac（Q；5）={1,6},故选：B.3.抛物线），2=2px（p>0）的焦点到直线y=x+i的距离为应,则〃=（）A.1 B.2 C.2a D.4【答案】B【解析】【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得〃的值.【详解】抛物线的焦点坐标为4,012 7其到直线x—y+i=0的距离：其到直线x—y+i=0的距离：d巴-0+12VI+T=邮'解得：〃=2（〃二一6舍去）.故选：B..北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为半径r为6400km的球,其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为。，记卫星信号覆盖地球表面的表面枳为S=2;r/（i—cosa）（单位：k/），则S占地球表面积的百分比约为（）A.26% B.34% C.42% D.50%【答案】C【解析】【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：TOC\o"1-5"\h\z1 64002m」（l-cosa）_1—cosa_ 6400+36000）042-42%.4不产 2 2故选：C..正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）A.20+1273 B.2872 C.弓 D.年I【答案】D【解析】【分析】由四楼台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体枳公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底而边长分别为2,4,侧棱长为2,所以该棱台的高〃={22 ，下底面面枳5=16,上底面面积S?=4,所以该楼台的体积旷=；〃(5+邑+历7)=；乂应乂(16+4+m)=个&\故选：D..某物理量的测量结果服从正态分布N(10、b2)，下列结论中不正确的是()b越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大b越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5b越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等b越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A, 为数据的方差，所以。越小，数据在4=10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确；对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故c正确；对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同,所以一次测量结果落在(9910.2)的概率与落在(10J0.3)的概率不同，故D错误.故选：D..己知a=log$2,/?=logs3,c=1,则下列判断正确的是()A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c【答案】C【解析】【分析】对数函数的单调性可比较。、b与c的大小关系，由此可得出结论.【详解】a=log52<log5yjs=—=logs2-72<logs3=b,即2故选：C..己知函数的定义域为R,/(x+2)为偶函数，〃2x+l)为奇函数，则()A.f(-不=。 B./(-1)=0 C.“2)=0 D.-4)二0【答案】B【解析】【分析】推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出/(1)=0,结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数〃x+2)为偶函数，则f(2+x)=〃2—x),可得〃x+3)=/(l—x),因为函数〃2x+l)为奇函数，则f(l-2x)=-f(2x+l),所以,/(l-x)=-/(x+l),所以,/(x+3)=-/(/r+l)=/(x-l),即〃x)=〃x+4),故函数是以4为周期的周期函数，因为函数/(x)=/(2x+l)为奇函数，则/(0)=/(1)=0,故/(-1)二一/(1)=0,其它三个选项未知.故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分..下列统计量中，能度量样本％,七,…，土的离散程度的是（）A.样本看,占,…,A.样本看,占,…,X”的标准差B.样本演,毛，的中位数C.样本占,公,…,C.样本占,公,…,X”的极差D.样本演,乙，…，X”的平均数【答案】AC【解析】【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考杳数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC..如图，在正方体中，。为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足MN_LOP的是（）【答案】BC【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线A/N构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.

【详解】设正方体的棱长为2,对于A,如图（1）所示，连接AC,则MV//AC,故NPOC（或其补角）为异面直线ORMN所成的角,直角三角形OPC,OC=V7，CP=1,故直角三角形OPC,故MN_LOP故MN_LOP不成立，故A错误.对于B,如图（2）所示，取八7的中点为。，连接尸。，0Q,则。。_LNT,PQtMN,由正方体SBCM-N4OT可得SN1平面ANDT,而。。u平面ANDT,故SN，。。，而SNCMN=N,故。。，平面SN力W,又MNu平面SNTM,OQrMN9而。。口尸。=。，所以MN_L平面OPQ,而POu平面。PQ,故MN工OP,故B正确.图（2）A

图（2）A对于c,如图（3）,连接50,聃BDMMN,由B的判断可得 ,他OP1MN,故C正确.对于D,如图（4）,取AO的中点。，A5的中点K,连接4C,P。,。。,尸K,OK,则AC//MN，因为£）尸=?。，故PQJ/AC,故PQ//MN,所以NQPO或其补角为异面直线PO」WV所成的角,因为正方体的棱长为2,故PQ=；AC=&,OQ=W+AQ?乙PO=^PK2+OK2=>/4+T=>/5»QO-<PQ2+OP2,故N。。。不是直角,故尸O,MN不垂直，故D错误.故选：BC..已知直线/：〃X+力一，=0与圆。：/+)，2=/，点A(4,〃)，则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切 B.若点A在圆。内，则直线/与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离 D.若点A在直线/上,则直线/与圆C相切【答案】ABD【解析】【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为标+好，产的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心c(o,o)到直线)的距离>=」一+b-若点A(4⑼在圆C上，则/+/=/,所以d=:、=M，4。-十〃-则直线/与圆C相切，故A正确；若点A(db)在圆C内，则/+/<r2»所以d=二 r>M，>Ja~+b-则直线/与圆C相离，故B正确；若点4(。㈤在圆C外,则/+/>/，所以d=[,<M，yja~+b2则直线/与圆c相交，故C错误；若点A(db)在直线/上，则/+82一/=0即+b?=r2,所以d=-^_=",直线/与圆C相切，故D正确.故选：ABD..设正整数〃=%*2°+〃]・2+…"1+6"，其中《£{0,1},记口(〃)=。0+。1+・・・+《・则( )A.研2〃)=研〃) B.研2〃+3)=矶〃)+1C.o（8〃+5）=o（4〃+3） D.0（2"-1）=〃【答案】ACD【解析】【分析】利用。（〃）的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.【详解】对于A选项，矶〃）=g+q+…+%,2〃=%•2】+al•2?+…+%•2卜+&，，所以，G（2〃）=/+q+…+4=。（“），A选项正确;对于B选项，取〃=2,2〃+3=7=1-20+1"+1",，o（7）=3,而2=0・20+12］，则。（2）=1,即©⑺/巩2）+1,B选项错误;对于C选项，8/?+5=«0-23+«1-24+.-.+«,-21+3+5=1-20+1-22+«0.23+«1.24+...+^-2a+3,所以，G（8/?+5）=2+ao+q+—+w,4〃+3=%•2?+q•2、+…+以•2k+2+3=1・20+1•21+%•2?+q•23+…+q•2k+2,所以，G（4〃+3）=2+g+4+…+勺,因此，矶8〃+5）=G（4〃+3）,C选项正确;对于D选项，2"—1=2°+＞+…+2〃t，故公（2"-1）=〃，D选项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分..己知双曲线?—2=1（4＞0力＞0）的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为【答案】y=±JJx【解析】【分析】由双曲线离心率公式可得匕=3,再由渐近线方程即可得解.cr【详解】因为双曲线£—今=1（。＞0力＞0）的离心率为2,所以e=5=「/=2,所以5=3，所以该双曲线的渐近线方程为y=±^x=土®.故答案为：y=±\[ix.【点睛】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题..写出一个同时具有下列性质①©③的函数/")：.①= ②当X£(0,+co)时，f\x)>0；③/'(X)是奇函数.【答案】〃X)二/(答案不唯一，/'(x)=U"(〃eN.)均满足)【解析】【分析】根据幕函数的性质可得所求的/(1).【详解】取r(x)=x4,则/(8毛)=(七%)4=父4=/(不)/(工)，满足①，/(#=4/，x>。时有r(x)>o,满足②，尸(x)=4,F的定义域为R,又广(r)=—"二一/'(同，故/(x)是奇函数,满足③.故答案为：f(x)=x4(答案不唯一，/(x)=V"(〃£N.)均满足).已知向量〃+B+c=6,。=1,b=c=2,ab+b-c+c-ci=.9【答案】【解析】【分析】由己知可得R+B+2『=o,展开化简后可得结果.【详解】 由己知可得a+b+cj=a+b+c+2lab+bc+ca]=9+2lab+bc+ca\=09———— 9因此,4-Z7+Z?・C+C・4=——・2

9故答案为：-5\AMI高取值范围是16.己知函数/（无）=卜'一1,王<0,々>0，函数/（X）的图象在点A（Xi，/（xJ）和点5（天,/（七））的两条切线互相垂直，且分别交y\AMI高取值范围是【答案】0,1【解析】-ex,x<0e\x>0【分析】结合导数的几何意义可得石+&=0,结合直线方程及两点间距离公式可得|AM|=11+四.同,怛-ex,x<0e\x>0、I（l-e\x<0 …、【详解】由题意，〃x）=H—1=｛x,则/（%）=1er-l,x>0所以点A（±,l-e"）和点5伍,泊一1）,kAM=-eXl,kBN=*,所以一泊•人「=一1,占十七=0,所以AM:y-l+eXi=-eXl（x—&）,M（0,eX1a;-e"+1）,所以|4M|= =Jl+eX.同，【点睛】关键点点睛：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件占+9=0,消去一个变量后，运算即可得解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记S“是公差不为0等差数列｛4｝的前〃项和，若为=邑,%%=34.(1)求数列｛q｝的通项公式〃“；(2)求使S.>%成立的n的最小值.【答案】(1)。“=2〃一6；(2)7.【解析】【分析】(1)由题意首先求得生的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：55=5%,则：%=5%，，。3=°，设等差数列的公差为d,从而有：%%=(%—d)(G+d)=-a，S4=q+q+/+%=(/-2d)+(%-。/)+%+(%—d)=-2d,从而：—小=—2d,由于公差不为零，故：d=2,数列的通项公式为：=%+(〃-3)d=2〃-6.(2)由数列的通项公式可得：《=2—6=—4,则：s“=〃x(—4)+也Hx2=/-6〃，则不等式s〃>4“即：“2—5〃>2〃_6,整理可得：(h-1)(h-6)>0,解得：“VI或〃>6,又〃为正整数，故〃的最小值为7.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用..在5c中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,Z?=a+1,c=a+2..(1)若2smC=3sm4,求aASC的面积；(2)是否存在正整数。，使得△AbC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)史?；(2)存在，且。=2.4【解析】【分析】(1)由正弦定理可得出2c=3a,结合已知条件求出a的值，进一步可求得。的

值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sm6,再利用三角形的面枳公式可求得结果；（2）分析可知，角C为钝角，由cosC<0结合三角形三边关系可求得整数。的值.【详解】（1）因为2sme=3sinA,则2c=2（。+2）=3。，则。=4,故〃=5,c=6,cosC="+"一『二L所以，。为锐角，则smC=Jl—cos-C=2ab8 8因此，S32smC』4x5x王=小乙△ABC2 2 8 4（2）显然若6c为钝角三角形，则C为钝角,2 12由余弦定理可得cosC="十：2ab/+（4+1）-2 12由余弦定理可得cosC="十：2ab解得一1<〃<3，则0<。<3,由三角形三边关系可得。+々+1>々+2,可得。>1,・.・4£Z,故。=2..在四棱锥。一A6c。中，底面A8CO是正方形，若AO=2,QO=04=（1）证明：平面QAC平面A8CD；（2）求二面角5—。。一A的平面角的余弦值.2【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）取AO的中点为。，连接QO,CO,可证。O_L平面A8CQ,从而得到面Q4O_LjHA8CZ>（2）在平面46CD内，过。作。77/CO,交BC于T，则OT_LAO,建如图所示的空间坐标系，求出平面3。、平面6。。的法向量后可求二面角的余弦值.(l)取AO的中点为。，连接因为QA=QD,OA=OD,则。。，AO,而AO=2,0A=6,故。在正方形A8CQ中，因为AO=2，故。0=1，故CO=JJ,因为QC=3,故。。2=。。2+。。:故△。。。为直角三角形且。。_L。。,因为OCC1AO=O,故。°，平面A8CD，因为QOu平面。4。，故平面Q4O_L平面A8CO.(2)在平面A6c。内，过。作077/8,交BC于T，则OT_LA£>,结合(1)中的QO_L平面A8C。，故可建如图所示的空间坐标系.zz则。（0,1,0）,。（0,0,2）1（2,-1,0）,故诙=（一2,1,2）,诙=（一2,2,0）.设平面QBD的法向量1=（x,乂z），nBQ=O_即V无BDnBQ=O_即V无BD=0—2x+2y=0-（口故〃=1,1,5.而平面QAD的法向量为碗=（1,0,0）,故cos=-1X一22二面角5-QO-A的平面角为锐角，故其余弦值为20.已知椭圆C的方程为二十二=1伍>%>0）,右焦点为广（JI。），且离心率为YG.cr3 3（1）求椭圆。的方程；（2）设M,N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线/+丁二尸。〉。）相切.证明：加,N,尸三点共线的充要条件是|MN|=J?.【答案】（1）二+）/=1；（2）证明见解析.3.【解析】【分析】（1）由离心率公式可得〃=J?,进而可得从,即可得解;（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证眼叫=怎充分性：设直线MN:），=日+6,（妨<0）,由直线与圆相切得Z/=K+1,联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得Jl+F.也近=卓，进而可得攵=±1，即可得解.1+3Q【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c=正且e=£=亚，所以。="，a3r-又好=/一/=1,所以椭圆方程为一+｝尸=1；3.（2）由（1）得，曲线为炉+）尸=l（x〉O）,当直线A/N的斜率不存在时，直线/MN:x=l,不合题意;当直线MN的斜率存在时，设加（西,）］）,"（毛,），2）,必要性:若M,N,广三点共线，可设直线用可：），=人［一0）即日一）」回=0,由直线MN与曲线/+/=1（%>0）相切可得_'=b解得女=±1,JF7T•'-±(吟 3金 3丫2 可得4/一6jIx+3=0，所以X]+K= ,占・心=-—+r=1 2 43所以 =J1+1- +xj-4怎,所以必要性成立:充分性：设直线MN:y=kx+b{kb<0)即kx-y+b=09\b\由直线MN与曲线x2+r=l(x>0)相切可得-7y==1,所以/=/+1,VF+i(y=kx+be 可得(1+3k2)V+6kbx+3b2-3=0,

所以X]+&=-6kb3〃-31+3公所以|加叫=41+k，•Q(X[所以X]+&=-6kb3〃-31+3公所以|加叫=41+k，•Q(X[+士卜-44•七6kb\1+3吃3〃-3

l+3k2(k=l所以＜L[b=-^化简得3(/-1丫=0,所以&(k=l所以＜L[b=-^所以直线A/N:y=x—&或丁=一,丫+或,所以直线MN过点尸(JI0),M,N,尸三点共线，充分性成立;所以M,N,尸三点共线的充要条件是|MN|=JT.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.21.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第。代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，尸(X=i)=p,(i=01,2,3).(1)己知Po=O.4，Pi=O.3，P2=O.2，P3=O」，求E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，〃是关于工的方程：p。+ +p2f+p3x3=x的一个最小正实根，求证：当E(X)<1时，〃=1,当E(X)>1时，〃<1；(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.【答案】(1)1：(2)见解析；(3)见解析.【解析】【分析】(1)利用公式计算可得七(X).(2)利用导数讨论函数的单调性，结合/(1)=0及极值点的范闱可得/(X)的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范用可得相应的理解说明.【详解】（1）E（X）=0x0.4+lx03+2x0.2+3x0.1=1,（2）设“工）=「3金+。2、+（PiT）x+Po,因为〃3++Pl+Po=1，故/（x）=P3V+P/?-（/A+Po+〃3）x+Po，若E（X）«1,则区+2。2+3241，故心+2。3«。<>r（X）=3〃3丁+2〃/一（P?+Po+〃3），因为/'（0）=-（P?+Po+〃3）<°，/'⑴=P?+2〃3一〃04。.故广（X）有两个不同零点占,受，且%<0<1«七，且工£（一00,百）口（工2，+8）时，/'（x）>°；了£（内,9）时，r（X）<0;故/（X）在（一8,工1）,（9,+8）上为增函数，在（X],&）上为减函数，若公=1,因为/（X）在（毛,+8）为增函数且/（1）=0,而当了£（0、々）时，因为/（X）在（占,占）上为减函数，故/（x）>/（&）=/（1）=0,故1为Po+PlX+PN?+“3*3=X的一个最小正实根，若公>1,因为/（1）=0且在（0,々）上为减函数，故1为Po+p/+PH?+〃3工3=五的一个最小正实根，综上，若E（X）<1,则p=l.若E（X）>1,则P]+2p?+3p3>1,故p?+2p3>Po.此时/'（0）=-（P?+〃0+〃3）<0，r（1）=P2+2〃3-〃0>0，故r（x）有两个不同零点&，5，且占<°<%<1，且xe（-8,占川（七,+8）时，r（x）>0；工£（0七）时，/'（x）<0；故/（X）在（-00,匕），（Z,TyQ）上为增函数，在（髭，匕）上为减函数，而/（1）=0,故〃七）<0,又〃0）=Po>0,故/（X）在（0，8）存在一个零点〃，且P<L所以〃为〃0+〃/+〃：/-+〃3工=工的一个最小正实根，此时，<1，故当E(X)>1时，p<l.(3)意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后被灭绝的概率小于1.22.己知函数/(X)='一"°+〃.(1)讨论/(X)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(刈有一个零点TOC\o"1-5"\h\z/①一<。<一、b>2a：2®0<a<—,b<2a.~ 2【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【详解】(1)由函数的解析式可得：/'(x)=x("-24),当aSO时，若x«—8,0),则尸(x)<O,/(x)单调递减，若xw(O,+8),则/(x)>OJ(x)单调递增;若X£(-00,111(24)),则1(x)>0J(x)单调递增,若X£(ln(2〃),o),则尸(x)<0J(x)单调递减，若x40,+8),则尸(x)>0,/(x)单调递增;当4=g时，尸(X)20