大学高等代数二次型试题

第五章二次型§1二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示设P是一个数域,一个系数在P中的"…，七的二次齐次多项式f(x,x,,x)=aX2+2axx++2axx+ax2++2axx++aX2(i)12n11112121n1n2222n2nnnn时少称为数域P.上的一个n元二次型，简称二次型....令a=a,i<j由于xx=xx，所以二次型(1)可写成ijjiijjif(x,x,,x)=ax2+axx++axx+axx+ax2++axx12n11112121n1n21212222n2n\-axx+axx\-axx+axx+n1n1n2n2nn\-ax2=室..・axxnnnijiji=1j=1其系数排成一个nXn矩阵A=(a11a211222(2)ia1a2…孔j它称为二次型的矩阵・因为a.=a,i；j=1,2",n，所以A=A，这样的矩阵是对称矩阵,因此二次型的矩阵都是对称的.令XXX=(x,x,,x)'a11^12%1a22a1na2nYx)1x2=(x,x,,x„)'ax+ax++ax、1111221nnax+ax++ax2112222nnnn=室axxi=1j=1jjiaan1n2Iax•+ax+•••+axJ

n1iaan1n2(3)或f(x1,x2,...,xn)=XAX・(3)例1写出/(x,%,%)=5x2+2xx+2xx-6xx的矩阵及矩阵形式.TOC\o"1-5"\h\z1231121323注意二次型⑴的矩阵A的元素，当，•耘时〃*正是它的g.项ijji1，的系数的一半，而。是“项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯11i一决定的•由此可得，若二次型f(x,x,,x)=X'AX=X'BX，且4=4尹=夕,则A=B.12n定义1设七,••定义1设七,••提.；＞，…，yn1n是两组文字,系数在P中关系式TOC\o"1-5"\h\zx-cy+cy-\cy,1111122Innx=cy+cyHcy,<22112222nn(4)x=cy+cyHcyn〃11〃22nnn称为由1n到七,•••,七的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式|CIij利挪么线性替换(4)就称为非退化的.线性替换把二次型变成二次型.令\C称为由1n数行列式|CIij\CCnlri2或者.…C、1/13、11'CC.・・(？、1112In1…CyXCC•••Cy2n2••，于是线性替换(2)可以写成2•.—21222n2....•…C/nnnn<C••-C7nlnlnnn1112CCC—2122nr.nr.经过一个非退化的线性替换，二次型变成二次型，替换后的二次型与原二次型之间有什么关系?下面就来讨论.二、矩阵的合同关系设f(x,x2，…,Xn)=XAX,A=A是一个二次型，作非退化线性替换得到一个七y2,…,yn的二次型yby，因f(x,x2,,x)=XAX=(CY)A(CY)=ycacy=Y(CAC)Y=yby.容易看出矩阵CfAC也是对称的，由此即得B=CfAC.这是前后两个二次型的矩阵间的关系。定义2数域P上两个n阶矩阵A,B称为合同的,如果有数域P上可逆的nxn矩阵c,使得B=CAC.因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.合同是矩阵之间的一个关系，具有以下性质：自反性:任意矩阵A都与自身合同.对称性:如果B与A合同，那么A与B合同.传递性:如果B与A合同，C与B合同，那么C与A合同.I!I!特别指出，在变换二次型时，总是要求所作的线性替换是非退化的从几何上看,这一点是自然的，因为坐标变换一定是非退化的(为什么？)・一般地，当线性替换Y=CX是非退化时,可得y=c-iX，它也是一个非退化线性替换，它把所得的二次型还原.这样就可从所得二次型的性质推知原二次型的一些性质.I!I!作业:P232:1写出二次型(1)-(4)的矩阵.§2标准形一、二次型的标准型及配方法二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型dx2+dx2+•・•+dx2(1)1122nn定理1数域P上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和⑴的形式.证明对n进行归纳证明.n=1时,f(xi)=%x2是(1)的形式，假定n-1元的二次型定理成立.l=J对n的情形，设f(x1,x2,(1)a(i=1,2.,n)中至少一个不为零.不妨a古0，这时ii111=1,x)=殁n”xx，分三种情形讨论.nijij7i=1j=1S2axx=ax2+ijij111i=2j=22xXax+£Xaxx11jjijijj=2i=2j=2一a(x+Xa-1ax)2—a—1(Xax)2+XXaxx—111111jj111jjijijj=2j=2i=2j=2一a(x+Xa-1ax)2+lXXLibxx—111111jjijij，j=2i=2j=2苴中XXbxx=-a-1(Xax)2+XXaxx是x其中ijij111jjijij是*2,i=2j=2j=2i=2j=2,x的二次型.n尸x1+^Ea-1ax111jjj=2y2=x2,x=y--1ay,11111jjj=2%=七，这是一个非退化的线性替换,它使f(xxx)—ay2+^££^byy.由归纳假设•有非退化的线性替换f(x,x,,x)―111ijij.^^,i=2j=2z—cy+^.y+222233z=cy+cy+322333+cy2n+C3nyfc2y2:c3yt线性替换I^cnnynz1—y1

z=cy+cy+2222233使££byy—dz2+dz2++dz2于是非退化的

贝ijij2233nn，JTET—依SKU口Ji—2j—2+泌、nn.借f(xz—cy+^.y+222233z=cy+cy+322333+cy2n+C3nyfc2y2:c3yt线性替换I^cnnynz1—y1

z=cy+cy+2222233使££byy—dz2+dz2++dz2于是非退化的

贝ijij2233nn，JTET—依SKU口Ji—2j—2+泌、nn.借f(xxx)—ay2+££byy/\x,x,,x^=111ijlj12nJJ.i=2j=2+J”...〔%=%2y,tcn3y31az2+dz2+dz2++dz.这时定理成立.1112233nn⑵a=0,(i—1,2.,n)，且至少有一个a丰0,(j>2)，不妨设a丰0.令ii1j12x—z+z,x—z-z,x=zw,x—z，它是一个非退化的线性替换,在它之下1221233nni=2j=2元的二次型,由归纳假设定理成立.…二次型f(x},xL,x)经非退化线性替换所变成的平方和称为f(x,x,・.；x)12n12n的标准形.例2化二次型母//)=2xx+2xx-6xx成标准形.123121323，i二、化对称矩阵为对角矩阵fttdx^+dX2+fttdx^+dX2++dX2,，尤III1122nn12n'di0人1X2知，二次型⑴的矩阵是对角矩阵.反过来,矩阵为对角形的二次型也是(1)的形式.按上一节的讨论,经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言，定理1可以叙述为：定理2在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.即对于任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C使成对对角形矩阵.l.a5这时的变量替换为11TOC\o"1-5"\h\zx=ya-0y,a(1-a-ia…-a-^a'

1111“J111211Inj=2X01…0,I00…1nn则上述变量替换相应于合同变换ATl=Jl==lc",为计算c",可令111112则上述变量替换相应于合同变换ATl=Jl==lc",为计算c",可令111112In'a22a、2najnn7于是A和c可写成分块矩阵仙仇i[afa、,cr1誓]这里a为a的转乎n—1为n-1级单位矩阵.这样(1o)[—a-1aE)'11n-V矩阵A—a-1aa111(aO'11,[OA-a-1afa)(aa11[OA-aga人O(aai11,3A人。—…是一个(n-1)x(n-1)对称矩阵,由归纳法假定,有(n-1)x(n-1)丫1-a-1n-1J)(1-a-1a'孔Jn-1可逆矩阵使G(A-a-1a，a)G=D为对角形,令cG1112CCACC=2112(a11(OO)，于是oY1o)[OG人OA-a-^aj^OGJ"OD),这是一个对角矩阵，我们所要的可逆矩阵就是CC=CC.2122.。但只有一个°・这时，只要把A的第一行与第行互换，再把a=0aw0i第一列与第列互换，就归结成上面的情形，根据初等矩阵与初等变换1=1的关系,取(000100010000c1=P(1,i)=00..10010‘00000001•••[00000•.1'•••i列f…一.显然P(1,i)=P(1,i).矩阵C1AC1=P(1,i)AP(1,i)就是把A的第一行与第i行互换，再把第一列与第i列互换.因此,c'ac左上角第一个元素就是，这样就归结到第一种情形.11aiii=i3.a=Qi=L2,n但有一awQjw1.iiI'"1j与上一情形类似,作合同变换P(2jAR2,j)可以把a1顶搬到第一行i=iI三」|==|第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情形.与那里的变量1=1替换相对应，取c1，于是CAC的左上角就是f*0)-2a/12y也就归结到第一种情形.1=14.%=0,j=L2…,4.%=0,j=L2…,n由对称性,a,1，j=1,2,,n.也全为零.于是A是n-1级对称矩阵.由归纳法假定，有(n-l)x(n-1)可逆矩阵G使gag=D成1,CAC就成对角形.对角形.取C,CAC就成对角形.§3唯一性经过非退化线性替换,二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4,合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过非退化线性替换后,二次型矩阵的秩是不变的・标准形的矩阵是对角矩阵,而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的平方项的个数.因之，在一个二次型的标准形中,系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关.二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩.1.复二次型的唯一性・设f(气,x2，・・；Q是一个复系数的二次型，由本章定理1，经过一适当的非退化线性替换后,f(%,七,…,气)变成标准形，不妨假定化的标准形(1)dy2+dy2h—bdy2,d丰0,i=1,2,・・・,rTOC\o"1-5"\h\z1122rri'(1)易知r是f（气,七—xn）的矩阵的秩.因复数总可以开平方，再作一非退化线性替换.=j：.'七'扩(2)I^r+1=七+1，==气.(1)就变成z2+z2中—+z2(3)12r（3）称为复二次型f（七,x2,…,七）的规范形.显然，规范形完全被原二次型矩阵的秩所决定，因此有"定理3任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的・定理3换个说法就是，任一复数对称矩阵都合同于一个形式为的对角矩阵•从而两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.例1在复数域上化二次型X2+x2HX2+X2+2xx+2xx+2xx，为规范形.12341223342.实二次型的唯一性・设f粉x2,-,气）是一实系数的二次型.由本章定理1,经过某一个非退化线性替换，再适当排列文字的次序,可使f(x1,x2,•••,xn)变成标准形dy2+dy2+•+dy—dy2—••—dy2,(4)1122ppp+1p+1rr其中d〉0,i=1,2,,r；是f(x,x，…,x)的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以弁平方，所以再作L非退化线性替换(5)气5七广七1,椿=气51yj)'(4)就变成Z2干Z2+・・+Z2—Z2=•.••.•；二Z2,(6)12pp+1r(6)称为实二次型(5)气5七广七1,椿=气5定理4任意一个实数域上的二次型,经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的.这个定理通常称为惯性定理.定义3在实二次型f(x,x，…,x)的规范形中,正平方项的个数p称为12nf(气,气，…,x)的正惯性指数;负平方项的个数r-p称为f(X,X，…,X)的负12n12n惯性指数;它们的差p-(r-p)=2p-r称为f(x1,x2,•-,xn)的符号差.例2化下列二次型为规范形，并求出它们的秩、正、负惯性指数:x2+x2+x2+x2+2xx+2xx+2xx;x2+2x2+x2+4xx+4xx+2xx+2xx+2xx+2xx;124121314232434应该指出，虽然实二次型的标准形不是唯一的，但是由上面化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个数是一致的，因此，惯性定理也可以叙述为:实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.定理5（1）任一复对称矩阵A都合同于一个下述形式的对角矩阵:(ir〔阵:(ir〔°OI.其中对角线上1的个数「=秩（人）.〔（2）任一实对称矩阵A都合同于一个下述形式的对角矩阵:r100、p0-1r-p〔00其中对角线上1的个数，及-1的个数r-p（「=秩A）都是唯一确定

的，分别称为A的正、负惯性指数，它们的差2p-r称为A的符号差.作业:P232:1（II）（1）-（3）§4正定二次型正定二次型定义4实二次型了（X],%,••；七）称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数气，%，…，七都有六俨2，•无）＞°・12n12n

实二次型f(x,七，…,x)=dx2+dx2+•••+』x2是正定的当且仅当12n1122实二次型f(x,七，…,x)=dx2+dx2+•••+』x2是正定的当且仅当12n1122nnd>0,i=1,2,…,n.引理设X=CY是非退化线性替换，那么X莉O是Y丰0.哉naxx,a=a,(1)是正定的,经过非退化实线iIJiJIi=1J=1f(x1,,x)=XHX=(CY)fA(CY)=YCACY=Y(CAC)Y=YBY=g(y1,,y).⑶则二次型g(y,y,…,y)也是正定的,或者说,对于任意一组不全为零12n的实数k1，k2,...,k罪都有g(k「七，…,k)>0.因为二次型(3)也可以经非退化实线性替换X=C-1Y变到二次型(1)所以按同样理由，当(3)正定时(1)也正定.这就是说,非退化实线性替换保持正定性不变.2.正定二次型的判别定理6实数域上二次型了幻x2,-,xn)是正定的o它的正惯性指数等于n.”定理6说明，正定二次型f(x(X2,・•,X")的规范形为y2+y2+••+y2⑸定义5实对称矩阵A称为正定的，如果二次型XAX是正定的.因为二次型(5)的矩阵是单位矩阵E,所以一个实对称矩阵是正定的o它与单位矩阵合同・推论正定矩阵的行列式大于零・设A是正定矩阵，则A与E合同，即有n级可逆矩阵C使得A=CEC

=C弓所以iAi=CC|=C]|C|=iCI2>0.例1例1设A是正定矩阵，证明aT也是正定矩阵•证明定义6子式P二aa2122?：.(心2…,〃)称为矩阵A=(定义6子式P二aa2122?：.(心2…,〃)称为矩阵A=(a)的顺序主子式.ijnn定理7实二次型f(x,X，…,x)Mnaxx2nijij=Xax是正定的-是矩阵A的顺序主子式全大于零.i=1j=1做成的矩阵A.=a1112a1112aiia21ai1aa121iaa222ia…ai2iia1.i.]a1ia)ii是A的任一顺序主子式，以尸的元素i是对称矩阵,令f(x「,x)=羡1axx=XAX.ikjkjk=1j=1设(C,C,,c)。0,那么f(c,,c)=^ElEacc=^BlEacc=f(c,c,,c,0,,0)>0,于12ii1ikjkjkjkj12ik=1j=1k=1j=1正定二次型，由Th6的推论知，p=4>0.f(x,,x正定二次型，由Th6的推论知，p=4>0.i1ikjkjk=1j=1i充分性略.例2判定f(x,x,x)=5x2+x2+5x2+4xx-8xx-4xx是否正定例2判定V123123121323是否正定.定义7设f(x1,%,...,七)是一实二次型，如果对于任意一组不全为零TOC\o"1-5"\h\z的实数c「C…,c都有f(c,c，…,c)<0挪么f(x,x，…/)称为负定的；如果12n12n12n都有f(c,c,..；c)>0，那么f(x,x，…,x)称为半正定的；如果都有12n12nf(c,c,…,c)<0，那么f(x,x,・.；x)称为半负定的；如果它既不是半正定又12n12n不是半负定，那么f(气,x2,...,xn)就称为不定的・由定理7不难看出负定二次型的判别条件.这是因为当f(x,x,…,x)12n是负定时，-f(x,,x2,-；x)就是正定的・定理8对于实二次型f(x,x,...,x)=XAX,下列条件等价：12(1)(2)f(x「x2,•.；xj(1)(2)(3)有可逆实矩阵C,使CAC=rd1d2其中d>0,i=1,2,.,n；i(4)(5)有实矩阵C使A(4)(5)A的所有主子式皆大于或等于零;注意，在(5)中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.比如fx,x)=—x=(x,x2l0-1人*就是一个反例.作业P233-234:7(2)，8(1)，13.“是A的mm'A是对应的矩阵mX+aci1112aX+a2122证明Th8,(5)^(1)设A的主子式全大于或等于零,级顺序主子式，a=Xw+F%nA++PX+P1mAma2maammmlm2“是A的mm'A是对应的矩阵mX+aci1112aX+a2122=Xw+F%nA++PX+P1mAmmm\kE+A>0,

mm012nX'AX=-C(C>0)令―cc9Xf(XE+A)X=X'1EX+X'AX^C-C=09与0°"=^=切+切+・・・+切>°°00000A>0时，E+A是正定定阵荆|濂A是半正定矩阵.Th8⑴二⑸记A的行、列指标为".的K级主子式为|a对TOC\o"1-5"\h\z12kIkI应矩阵是A，对任意Y=〈,b，…力Lo,有X=(c,c,..•<)以)，其中k0iii7012n712k0,又是半正定矩阵,从而尸AY=X，AX>0.0^000A|<0

kIA>0>k若|A|<o,MP234J2T,存在jo使rxr<o与Y'AY>0矛盾，所以|IkIkkI◊设A为A|<0

kIA>0>k◊设A为nxm实矩阵,则A",A4r都是半正定矩阵.证明A人是实对称矩阵，vxe^Ou=ax，则U是m维实向量〃—c,,J,X(ALA)X=(XA)(AX)=UU=u+也++也>0，二AA是半正定矩阵，同理可U—以,u,,u证AA'是半正定矩阵・.•◊设A是m级正定矩阵测k>0时,A-1,kAa*.a〃都是正定矩阵.证明由于A正定,存在可逆矩阵C,使CAC=E,."41(6电从而a-1为正定矩阵.V0丰XGRn,XAX〉0,...Xf(kA)X=k(XAX)〉0(k>0),所以kA正定,又A正定,A>0,A-1正定,故A*=|A|A-1正定.Ak=ak莉,Ak对称,当m=2k时,Am=A2k=(Ak)EAk，从而am正定.当m=2k+1时,Am=A2k+i=(Ak)A(Ak)所以与A合同，因而正定・例1设A是是对称矩阵，证明:当实数t充分大之后，矩阵tE+A是正定矩阵.l=Jl==l证明设/(x/,,x)=X0E+A)X实n维向量C'=(c,c,,c)。0,令12n12n入l=Jl==l入=maxwiji,j=1,2<>n｝，那么f(c,c,,c)=・C(tE+A)C=tCC+CAC_t£c2+£Eaccii=1i=1j=ii=1i=1j=1ccijiji=1j=1乙-Zzi

i=1i=1j=1>t乙-ii=1i=1i=1j=1>tZc2-ZZii=1i=1j=12cc)i=1i=11<i<j<n[Ec2+S（C2+C2）]=—XziSc2=Q—泓）Z（?2TOC\o"1-5"\h\ziiiJiii，=1/—IUi<j勺i，=1i=li=l因/彳>°,所以当。柩时,c）>a-^）Sc2>oe即川Mz=l-X0E+A）X是正定二次型，故当时K+A是正定矩阵.例2设A是一个n级实对称矩阵，且『|vO,证明必存在实n维向量x「0,使得xnx<0.证明由Th2,存在n级实可逆矩阵C,使得'd、1,dCAC=D=2于是叩2=|D|=|C'AC=|C|2|A|<0斯以,幺至少有一个V。,不妨。/°,而且履乂=£勇。£=e'D&=d<0.设d]VO.取n维向量«=（1,0,，。）却,因C是n设d]VO.取n维向量«=（1,0,，。）却,因C是n•级实可逆矩阵，故X=C证明设A的秩是I•，因A是一个实矩阵，故有实可逆矩阵C,使得人。=8是列阶梯形矩阵，且B=（外当，牛°，，°），于是(B)(BBBB00)1111rBBB00)BB•••BB♦♦♦00r.••r10rr••••••0•••••••••.人•01r=0•••0010)k0•••0•••00)CAAC^BB=由上式最后一个矩阵知CAAC