数学实验之三收敛与溷沌迭代

数学(shùxué)实验之三收敛与混沌(hùndùn)(迭代)MathematicalExperements第一页，共39页。1引例(yǐnlì)图示迭代(diédài)数列实验内容实验目的返回蛛网模型第二页，共39页。2实验目的[1]理解迭代的根本概念；[2]掌握(zhǎngwò)图示迭代数列；[3]熟悉MATLAB软件编程环境；掌握(zhǎngwò)MATLAB编程语句；[4]了解二元函数迭代方法及图形特征；返回第三页，共39页。3例：污水处理厂每天可将处理池的污水〔中含污物〕浓度降低一个固定比例q，问多长时间才能(cáinéng)使污水浓度降低一半？引例(yǐnlì)设第k天的污水(wūshuǐ)浓度为ck，那么第k+1天的污水(wūshuǐ)浓度为ck+1=(1-q)ck,k=0,1,2,…cn=(1-q)nc0将cn=c0/2代入可解出n=-lg2/lg(1-q),n天后污水浓度降低一半。第四页，共39页。4濒危物种的自然(zìrán)演变和人工孵化引例(yǐnlì)Florida沙丘鹤属于濒危物种，据报道，生态学家估计它在较好的自然环境下，年平均增长率仅为1.94%，而在中等及较差的自然环境下，年平均增长率那么分别为-3.24%和-3.82%，即它将逐年减少。如果在自然保护区内开始有100只鹤，建立描述(miáoshù)其数量变化规律的模型。人工孵化是拯救这个濒危物种的措施之一，如果每年人工孵化5只鹤放入该保护区，那么在中等自然环境下沙丘鹤的数量将如何变化？第五页，共39页。5建立(jiànlì)模型引例(yǐnlì)设第k年沙丘鹤的数量为xk，自然环境下的年平均(píngjūn)增长率为r，且a=1+r,那么第k+1年鹤的数量为：在人工孵化条件下，设每年孵化的数量为b,那么第k+1年鹤的数量为：xk+1=axk,a=1+r,k=0,1,2,…xk+1=axk+b,a=1+r,k=0,1,2,…第六页，共39页。6例如(lìrú)迭代(diédài)的根本概念对任意初值x0≠0，由f1(x)产生(chǎnshēng)的数列是收敛于1的。除0，±1以外，对任意初值x0，由f2(x)产生的数列是发散的。设函数f(x),任意给定一个数x0，定义可产生数列{xn},如何判断该数列收敛？第七页，共39页。7迭代(diédài)的根本概念定义：对函数f(x),如果(rúguǒ)存在点u，使得f(u)=u,那么称点u为函数f(x)的不动点。注意，x=0,1都是f1(x)的不动点,在x=1附近的任何初值x0，由f1(x)产生的数列都收敛于1，而在x=0附近的任何初值x0，由f1(x)产生的数列都是发散的，前者称为(chēnɡwéi)吸引的，后者称为(chēnɡwéi)排斥的。第八页，共39页。8市场经济中的蛛网(zhūwǎng)模型问题供大于求现象商品数量与价格(jiàgé)的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府(zhèngfǔ)能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡第九页，共39页。9蛛网模型gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品(shāngpǐn)数量；yk~第k时段商品(shāngpǐn)价格消费者的需求(xūqiú)关系生产者的供给(gōngjǐ)关系供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点思考：P0(x0,y0)是否是稳定平衡点？

第十页，共39页。10xy0fgy0x0P0设x1偏离(piānlí)x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定(wěndìng)平衡点P1P2P3P4P0是不稳定(wěndìng)平衡点xy0y0x0P0fg曲线斜率蛛网模型第十一页，共39页。11在P0点附近(fùjìn)用直线近似曲线P0稳定(wěndìng)P0不稳定(wěndìng)方程模型方程模型与蛛网模型是一致的第十二页，共39页。12~商品数量减少(jiǎnshǎo)1单位,价格上涨幅度~价格上涨1单位,(下时段)供给(gōngjǐ)的增量考察(kǎochá),的含义~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定结果解释xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格经济稳定结果解释第十三页，共39页。13模型(móxíng)的推广生产者根据(gēnjù)当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高(tígāo)设供给函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程试分析平衡点稳定条件，即k,xkx0的条件第十四页，共39页。14图示迭代(diédài)数列以下(yǐxià)讨论二次函数：其中(qízhōng)a为参数，考虑a的取值范围[0,4]，称该函数为Logistic函数。可以用图形的方式来反映迭代的过程。迭代格式：Z

Logistic函数的两个不动点x=0,1-1/a是吸引的还是排斥的？第十五页，共39页。15三种图形显示方式：线性联结图、蛛网图、费根鲍姆图1〕线性联结图用点(n,xn)描述迭代点，并用直线连接(liánjiē)这些点所形成的折线图〔横坐标表示n，纵坐标表示xn〕。Z

不同的参数a，产生的序列(xùliè){xn}可能收敛可能发散。观察a取什么值时收敛〔或发散〕？图示迭代(diédài)数列第十六页，共39页。16震荡发散情形收敛情形1.线性连接(liánjiē)图2-周期(zhōuqī)4-周期(zhōuqī)第十七页，共39页。17a=[0.5,2.5,3.1,3.5];x1=[];x2=[];x3=[];x4=[];x1(1)=0.5;x2(1)=0.5;x3(1)=0.5;x4(1)=0.5;fori=2:20x1(i)=a(1)*x1(i-1)*(1-x1(i-1));x2(i)=a(2)*x2(i-1)*(1-x2(i-1));x3(i)=a(3)*x3(i-1)*(1-x3(i-1));x4(i)=a(4)*x4(i-1)*(1-x4(i-1));endn=1:20;subplot(2,2,1),plot(n,x1),title('a=0.5,x0=0.5')subplot(2,2,2),plot(n,x2),title('a=2.5,x0=0.5')subplot(2,2,3),plot(n,x3),title('a=3.1,x0=0.5')subplot(2,2,4),plot(n,x4),title('a=3.5,x0=0.5')MATLAB程序(chéngxù)第十八页，共39页。18在直角坐标系中，首先(shǒuxiān)画出直线y=x和曲线y=f(x)，其中f(x)为迭代曲线。①从直线(zhíxiàn)y=x上点An(xn,xn)到曲线y=f(x)上点Bn(xn,xn+1)；〔垂直〕②从Bn(xn,xn+1)到An(xn+1,xn+1);(水平〕③重复。a=2.9,x0

AnBnAny=xy=f(x)2.蛛网(zhūwǎng)图第十九页，共39页。19a=2.9;ezplot('2.9*x*(1-x)',[-0.2,1.2]),%画二次函数(hánshù)曲线holdonezplot('x',[-0.2,1.2]),%画直线x1=[];x1(1)=0.2;%初始点fori=2:50x1(i)=a*x1(i-1)*(1-x1(i-1));plot([x1(i-1),x1(i-1)],[x1(i-1),x1(i)]);plot([x1(i-1),x1(i)],[x1(i),x1(i)]);end%画折线MATLAB程序(chéngxù)第二十页，共39页。20发散(fāsàn)情形收敛(shōuliǎn)情形2.蛛网(zhūwǎng)图第二十一页，共39页。213.费根鲍姆图周期点：如果对某个x0M有fn(x0)=x0，但对于小于n的自然数k,fk(x0)x0，那么称x0是f的一个n-周期点。当x0是f的n-周期点时，有fn+k(x0)=fk(x0)。此时(cǐshí)迭代序列为{x0,x1,x2,…,xn-1,x0,x1,…,xn-1,x0,…},只有n个不同的元素。注意，假设x0是f的n-周期点，那么x0,f(x0),…,fn-1(x0)均是f的n-周期点。第二十二页，共39页。223.费根鲍姆图图3.5费根鲍姆图：f(x)=ax(1-x),aaxn结论(jiélùn)：具有周期性！第二十三页，共39页。23倍2-周期(zhōuqī)：2，4，8，16，32，……倍3-周期(zhōuqī)：3，6，12，24，48，96，……分岔(fēnchà)与混沌倍周期分裂行为就是所谓的分岔。随着参数a的取值的增加，分岔频率逐渐加快。对参数a连续取值观察序列收敛性的变化？能否确定各个(gègè)周期变化的临界状态？第二十四页，共39页。24该图形特点：观察当参数(cānshù)a连续变化时，函数f(x)=ax(1-x)的收敛与发散情况。3.费根鲍姆图xn第二十五页，共39页。25编写一个对含参变量函数f(x,a)进行迭代可调用程序。functionroot=iter(x,a)fori=2:100x(i)=a*x(i-1)*(1-x(i-1));endroot=x;%产生(chǎnshēng)100个迭代序列组成的数组MATLAB程序(chéngxù)第二十六页，共39页。26clf;x=[];x(1)=0.2;holdon;fora=2:0.01:4root=iter(x,a);plot(a.*ones(size(root(51:100))),root(51:100),'.')endxlabel('parametera');ylabel('迭代(diédài)序列〔51-100〕');MATLAB程序(chéngxù)能否将图形(túxíng)放大？第二十七页，共39页。27MATLAB程序(chéngxù)第二十八页，共39页。28MATLAB程序(chéngxù)第二十九页，共39页。29MATLAB程序(chéngxù)第三十页，共39页。30k(2k个周期点）ak(临界值)k(2k个周期点）ak1363.569723.449473.569933.544183.5699343.5644…53.5688周期(zhōuqī)点分岔的临界值表第三十一页，共39页。31当ak=3.569945672时，以上的倍-2周期分裂行为〔分岔〕终止，迭代进入没有周期性规律的模式〔混沌〕，并且，迭代数列非常敏感(mǐngǎn)地依赖于初始值x0的选取，这种不规那么性与不可预测性，就是所谓的混沌〔Chaos〕。混沌与分岔相伴发生，分岔是混沌出现的早期现象。例如a=3.7的迭代行为就是如此。通过实验还可以发现，当a=3.7时，迭代对初值的高度敏感(mǐngǎn)性：无论两个初值如何靠近，经过迭代其结果(两个数列)将是各行其道，这表达了混沌的不可预测性。混沌(hùndùn)第三十二页，共39页。32迭代(diédài)格式：xn+1=4xn(1-xn),n=0,1,…1、取初始点x0=0.2,记产生(chǎnshēng)的序列为xn；2、取初始点x0=0.201,记产生(chǎnshēng)的序列为yn；3、作线性连接图。即plot(n,xn-yn)；敏感性分析第三十三页，共39页。33敏感性分析(fēnxī)a=4第三十四页，共39页。34另外，吸引子的倍增现象(xiànxiàng)不只是对二次函数才有，别的函数也有。例如，敏感性分析(fēnxī)第三十五页，共39页。351、迭代以下(yǐxià)函数，分析其收敛性。任选一个完成。使用线性连接图、蛛网图或分枝与混沌图对参数a进行讨论与观察，会得到什么(shénme)结论？实验内容(nèiróng)返回结束第三十六页，共39页。362、生物种群的数量问题种群的数量〔为方便起见以下指雌性〕因繁殖而增加，因自然死亡(sǐwáng)和人工捕获而减少。记xk(t)为第t年初k岁〔指满k-1岁，未满k岁，下同〕的种群数量，bk为k岁种群的繁殖率〔1年内每个个体繁殖的数量〕，dk为k岁种群的死亡(sǐw