华师大版八年级下矩形菱形与正方形1矩形1矩形的性质【区一等奖】

《矩形》典例精析【例1】如图所示，在ABCD中，AC、BD交于点O，AE上BC于E，EO交AD于F，求证：四边形AECF是矩形．【分析】由于AE⊥BC，已知四边形AECF有一个角为直角，只需再证出它是一个平行四边形就可以了．【证明】∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD//BC，BO=DO，∴1=2，又∵FOD=EOB∴△DOF∴△BOF，∴DF=BF，∴AD－DF=BC－BE，即AF=EC，又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AE⊥BC，所以AEC=90°，∴四边形AECF是矩形．【小结】注意平行四边形在题目中的作用，其关系为：平行四边形＋1个直角矩形．【例2】如图所示，已知AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且BAD＝CAE，求证：四边形BCED是矩形．【分析】先证四边形BCED是平行四边形，这可由证△ADB≌△AEC与已知条件DE＝BC而推出，再证对角线BE＝CD，这可由△ABE≌△ACD而推出．【证明】在△ADB和△ACD中，∵AD＝AE，BAD＝CAE，AB＝AC．∴△ADB≌△AEC，∴BD＝CE．又∵DE＝BC，∴四边形BCED是平行四边形，∵BAD＝CAE，∴BAD＋BAC＝CAE＋BAC即DAC＝BAE．在△DAC和△EAB中，∵DA＝EA，DAC＝EAB，AC＝AB．∴△DAC≌△EAB，∴DC＝EB．∴四边形BCED是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．【小结】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．【例3】如图所示，BD、CE是△ABC两边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．求证：FG⊥DE．【分析】根据题中的条件，不可能通过求90°的直角来证明FG⊥DE，只有通过等腰三角形的三线重合来证明，即只需证明EG＝DG就可证明FG⊥DE．【证明】连接EG、DG，∵CE是高，∴CE⊥AB．∵在Rt△CEB中，G是BC的中点，∴EG＝BC，同理DG＝BC．∴EG＝DG．又∵F是ED的中点，∴FG⊥DE．【小结】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推出来的．根据这个性质，又可以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形．【例4】如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形．【分析】AE、BE分别为BAD、ABC的角平分线，由于在ABCD中，BAD＋ABC＝180°，易得BAE＋ABE＝90°，不难得到HEF＝90°，同理可得H＝F＝90°．【证明】在ABCD中，AD∥BC，∴BAD＋ABC＝180°，∵AE、BE分别平分BAD、ABC，∴1＋2＝BAD＋ABC＝90°．∴HEF＝AEB＝90°，同理：H＝F＝90°，∴四边形EFGH是矩形．【小结】（1）利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定．（2）本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形．【例5】如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证△ABF≌△CDF．【分析】由矩形的性质可得AB=CD，B=D=90°，然后用它们作条件证明△ABE≌△CDF．【证明】∵四边形ABCD是矩形．∴AB=CD，B=D=90°在