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文档简介

矩阵的秩及其求法矩阵秩求法目前一页\总数十七页\编于十六点21.

k

阶子式定义1

设在A中任取k行k列交叉称为A的一个k阶子式。阶行列式，处元素按原相对位置组成的一、矩阵的秩的概念目前二页\总数十七页\编于十六点3设，例如矩阵A的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为而为A的一个三阶子式。显然，矩阵A共有个k

阶子式。目前三页\总数十七页\编于十六点42.

矩阵的秩设，有r

阶子式不为0，任何r+1阶记作R(A)或秩(A)。

子式(如果存在的话)全为0,定义2称r为矩阵A的秩，目前四页\总数十七页\编于十六点5规定：零矩阵的秩为0.注意：(1)

如R(A)=r，则A

中至少有一个r

阶子式所有r+1

阶子式为0，且更高阶子式均为0，r是A

中非零的子式的最高阶数.(2)

由行列式的性质，(3)R(A)≤m,R(A)≤n,0≤R(A)≤min{m,n}.(4)如果An×n

,且则R(A)=n.反之，如R(A)=n,则因此，方阵A

可逆的充分必要条件是R(A)=n.目前五页\总数十七页\编于十六点6二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。

例1设为阶梯形矩阵，求R(B)。解，由于存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则R(B)=2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。目前六页\总数十七页\编于十六点7例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。目前七页\总数十七页\编于十六点8如果求a.解或例2

设目前八页\总数十七页\编于十六点9则例3目前九页\总数十七页\编于十六点102、用初等变换法求矩阵的秩定理2

矩阵初等变换不改变矩阵的秩。

即则说明：只改变子行列式的符号。是A中对应子式的k倍。是行列式运算的性质。由于初等变换不改变矩阵的秩，而任一都等价于行阶梯矩阵。其秩等于它的非零行的行数，即为所以可以用初等变换化A为阶梯矩阵来求A的秩。目前十页\总数十七页\编于十六点11例4解R(A)=2

，

求目前十一页\总数十七页\编于十六点12例5目前十二页\总数十七页\编于十六点13三、满秩矩阵称A是满秩阵，（非奇异矩阵）称A是降秩阵，（奇异矩阵）可见：A为n阶方阵时，定义3目前十三页\总数十七页\编于十六点14定理3设A是满秩方阵，则存在初等方阵使得对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理目前十四页\总数十七页\编于十六点15例如它的行最简形是n阶单位阵E.对于满秩矩阵A，A为满秩方阵。目前十五页\总数十七页\编于十六点16定理5

R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)min{R(A)，R(B)}。关于矩阵的秩的一些重要结论：性质1设A是矩阵，B是矩阵，性质2如果AB=0则性质3

如果R(A)=n,如果

AB=0则B=0。性质4

设A,B均为

矩阵，则目前十六页\总数十七页\编于十六点17设A为n阶矩阵，证明R(A+E)+R(A-E)≥n证：∵(A+E)+(E-A)=2E∴R

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