截交线投影作图

截交线投影作图第1页，共30页，2023年，2月20日，星期一平面与立体表面相交，可以认为是立体被平面截切，此平面通常称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线。

一、截交线的性质

第2页，共30页，2023年，2月20日，星期一为了正确分析和表达机件的结构形状，我们需要了解截交线的性质和画法。由于立体的形状和截平面与立体的相对位置不同，截交线的形状也各不相同，但任何截交线都具有下列两个基本性质：（1）截交线一定是一个封闭的平面图形。（2）截交线既在截平面上，又在立体表面上，截交线是截平面和立体表面的共有线。截交线上的点都是截平面与立体表面上的共有点。

因为截交线是截平面与立体表面的共有线，所以求作截交线的实质，就是求出截平面与立体表面的共有点。第3页，共30页，2023年，2月20日，星期一

平面立体的表面是平面图形，因此平面与平面立体的截交线为封闭的平面多边形。多边形的各个顶点是截平面与立体的棱线或底边的交点，多边形的各条边是截平面与平面立体表面的交线二、平面与平面立体相交第4页，共30页，2023年，2月20日，星期一分析：截平面与棱锥的四条棱线相交，可判定截交线是四边形，其四个顶点分别是四条棱线与截平面的交点。因此，只要求出截交线的四个顶点在各投影面上的投影，然后依次连接顶点的同名投影，即得截交线得投影。例如图所示，求作正垂面P斜切正四棱锥的截交线。第5页，共30页，2023年，2月20日，星期一作图方法与步骤如图所示：1．因为截平面P是正垂面，它的正面投影积聚成一条直线，可直接求出截交线各顶点的正面投影（a′）、b′、c′、（d′）。2．根据直线上点的投影规律，求出各顶点的水平投影a、b、c、d和侧面投影a″、b″、c″、d″。

3．依次连接abcd和a″b″c″d″，即得截交线的水平投影和侧面投影。当用两个以上平面截切平面立体时，在立体上会出现切口、凹槽或穿孔等。作图时，只要作出各个截平面与平面立体的截交线，并画出各截平面之间得交线，就可作出这些平面立体的投影。第6页，共30页，2023年，2月20日，星期一分析：该正三棱锥的切口是由两个相交的截平面切割而形成。两个截平面一个是水平面，一个是正垂面，它们都垂直于正面，因此切口的正面投影具有积聚性。水平截面与三棱锥的底面平行，因此它与棱面△SAB和△SAC的交线DE、DF必分别平行与底边AB和AC，水平截面的侧面投影积聚成一条直线。正垂截面分别与棱面△SAB和△SAC交于直线GE、GF。由于两个截平面都垂直于正面，所以两截平面的交线一定是正垂线，作出以上交线的投影即可得出所求投影。

例如图所示，一带切口得正三棱锥，已知它的正面投影，求其另两面投影。

第7页，共30页，2023年，2月20日，星期一作图方法与步骤如图所示：1．由d′在as上作出d，由d分别作ab、ac的平行线，再由e′（f′）在两条平行线上分别作出e和f，连接de、df即为DE、DF的水平投影。根据投影规律可在侧面上求出

d″e″、d″f″，如图3－14b所示。2．由g′分别在sa、s″a″上求出g、g″，然后分别连接ge、gf、g″e″、g″f″，如图3－14（c）所示。第8页，共30页，2023年，2月20日，星期一3．连接ef，由于ef被三个棱面的水平投影遮住而不可见，应画成虚线。注意棱线SA中间DG段被截去，故它的水平投影中只剩sg、ad，侧面投影中只剩s″g″、a″d″，如图所示。第9页，共30页，2023年，2月20日，星期一平面与曲面立体相交产生的截交线一般是封闭的平面曲线，也可能是由曲线与直线围成的平面图形，其形状取决于截平面与曲面立体的相对位置。曲面立体的截交线，就是求截平面与曲面立体表面的共有点的投影，然后把各点的同名投影依次光滑连接起来。 当截平面或曲面立体的表面垂直于某一投影面时，则截交线在该投影面上的投影具有积聚性，可直接利用面上取点的方法作图。三、平面与曲面立体相交第10页，共30页，2023年，2月20日，星期一1、圆柱的截交线截交线有三种不同的形状。

第11页，共30页，2023年，2月20日，星期一分析：截平面与圆柱的轴线倾斜，故截交线为椭圆。此椭圆的正面投影积聚为一直线。由于圆柱面的水平投影积聚为圆，而椭圆位于圆柱面上，故椭圆的水平投影与圆柱面水平投影重合。椭圆的侧面投影是它的类似形，仍为椭圆。可根据投影规律由正面投影和水平投影求出侧面投影。例：如图所示，求圆柱被正垂面截切后的截交线。第12页，共30页，2023年，2月20日，星期一作图方法与步骤如图所示：1．先找出截交线上的特殊点。特殊点一般是指截交线上最高、最低、最左、最右、最前、最后等点。作出这些点的投影，就能大致确定截交线投影的范围。如图所示，I、V两点是位于圆柱正面左、右两条转向轮廓素线上的点，且分别是截交线上的最低点和最高点。III、VII两点位于圆柱最前、最后两条素线上，分别是截交线上的最前点和最后点。在图上标出它们的水平投影1、5、3、7和正面投影1′、5′、3′、7′，然后根据投影规律求出侧面投影1″、5″、3″、7″，如图所示。第13页，共30页，2023年，2月20日，星期一2．再作出适当数量的截交线上的一般点。在截交线上的特殊点之间取若干点，如图中的II、IV、VI、VIII等点称为一般点。作图时，可先在水平投影上取2、4、6、8等点，再向上作投影连线，得2′、4′、6′、8′点，然后由投影关系求出2″、4″、6″、8″点，如图所示。一般位置点越多，作出的截交线越准确。第14页，共30页，2023年，2月20日，星期一分析：该圆柱左端的开槽是由两个平行于圆柱轴线的对称的正平面和一个垂直于轴线的侧平面切割而成。圆柱右端的切口是由两个平行于圆柱轴线的水平面和两个侧平面切割而成。例：如图所示，完成被截切圆柱的正面投影和水平投影。第15页，共30页，2023年，2月20日，星期一作图方法与步骤如图所示：1．画左端开槽部分。三个截平面的水平投影和侧面投影均已知，只需补出正面投影。两个正平面与圆柱面的交线是四条平行的侧垂线，它们的侧面投影分别积聚成点

a″、b″、c″、d″，它们的水平投影重合成两条直线。侧平面与圆柱面的交线是两段平行于侧面的圆弧，它们的侧面投影反映实形，水平投影积聚为一直线。根据点的投影规律，可求出上述截交线的正面投影，如图所示。第16页，共30页，2023年，2月20日，星期一2．画右端切口部分。各截平面的正面投影和侧面投影已知，只需补出水平投影。具体作法与前面类似，如图所示。。第17页，共30页，2023年，2月20日，星期一3．整理轮廓，完成全图，如图所示。其间应注意两点：（1）圆柱的最上、最下两条素线均被开槽切去一段，故开槽部分的外形轮廓线向内“收缩”。（2）左端开槽底面的正面投影的中间段（a′→b′）是不可见的，应画成虚线。

第18页，共30页，2023年，2月20日，星期一2、圆锥的截交线平面截切圆锥时，根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，其截交线有五种不同的情况。如表所示。第19页，共30页，2023年，2月20日，星期一分析：因截平面为正平面，与轴线平行，故截交线为双曲线。截交线的水平投影和侧面投影都积聚为直线，只需求出正面投影。例：如图所示，求作被正平面截切的圆锥的截交线。第20页，共30页，2023年，2月20日，星期一作图方法与步骤如图所示：1．先求特殊点。点III为最高点，是截平面与圆锥最前素线的交点，可由其侧面投影3″直接作出正面投影3′。点I、II为最低点且位于圆锥底圆上，可由平投影1、2直接作出正面投影1′、2′。2．再求一般点。用辅助圆法，在点III与点I、II间作一辅助圆，该圆与截平面的两个交点IV、V必是截交线上的点。易作出这两点的水平投影4、5与侧面投影4″、5″，据此可求出它们的正面投影4′、5′。3．依次光滑连接1′、4′、3′、5′、2′即得截交线得正面投影，如图所示。第21页，共30页，2023年，2月20日，星期一3、圆球的截交线平面在任何位置截切圆球的截交线都是圆。当截平面平行于某一投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆的实形，在其他两面上的投影都积聚为直线。第22页，共30页，2023年，2月20日，星期一分析：球表面的凹槽由两个侧平面和一个水平面切割而成，两个侧平面和球的交线为两段平行于侧面的圆弧，水平面与球的交线为前后两段水平圆弧，截平面之间得交线为正垂线。例：所示，完成开槽半圆球的截交线。第23页，共30页，2023年，2月20日，星期一作图方法与步骤如图所示：1．先画出完整半圆球的投影，再根据槽宽和槽深尺寸作出槽的正面投影，如图所示。2．用辅助圆法作出槽的水平投影。如图所示。第24页，共30页，2023年，2月20日，星期一3．根据正面投影和水平投影作出侧面投影，如图所示。其间应注意两点：（1）由于平行于侧面的圆球素线被切去一部分，所以开槽部分的轮廓线在侧面的投影会向内“收缩”。（2）槽底的侧面投影此时不可见，应画成虚线。第25页，共30页，2023年，2月20日，星期一分析：顶尖头部是由同轴的圆锥与圆柱组合而成。它的上部被两个相互垂直的截平面P和Q切去一部分，在它的表面上共出现三组截交线和一条P与Q的交线。截平面P平行于轴线，所以它与圆锥面的交线为双曲线，与圆柱面的交线为两条平行直线。截平面Q与圆柱斜交，它截切圆柱的截交线是一段椭圆弧。三组截交线的侧面投影分别积聚在截平面P和圆柱面的投影上，正面投影分别积聚在P、Q两面的投影（直线）上，因此只需求作三组截交线的水平投影。例：如图所示，求作顶尖头的截交线。综合题例第26页，共30页，2023年，2月20日，星期一作图方法与步骤如图所示：1．作特殊点。根据正面投影和侧面投影可作出特殊点的水平投影1、3