考研高数复习资料公式大全

目录TOC\o"1-2"\h\z\u第一章函数与极限 1第二节数列的极限 1第三节函数的极限 1第四节无穷小与无穷大 2第五节极限运算法则 2第六节极限存在准则两个重要极限 3第七节无穷小的比较 4第八节函数的连续性与间断点 4第九节连续函数的运算与初等函数的连续性 5第十节闭区间上连续函数的性质 5第二章导数与积分 6第一节导数概念 6第二节函数求导法则 7第三节高阶导数 7第四节隐函数及由参数方程所决定的函数的导数相关变化率 8第五节函数的微分 8第三章微分中值定理与导数的应用 9第一节微分中值定理 9第二节罗必达法则 9第三节泰勒公式 10第四节函数的单调性与曲线的凹凸性 11第五节函数的极值与最大值和最小值 12第七节曲率 13第四章不定积分 13第一节不定积分的概念和性质 13第二节换元积分法 14第三节分部积分法 15第四节有理函数的积分 15第五章定积分 16第一节定积分的概念与性质 16第二节微积分基本公式 17第三节定积分的换元法和分部积分法 17第四节反常积分 18第六章定积分的应用 19第二节定积分在几何学上的应用 19第三节定积分在物理学上的应用 20第七章微分方程 21第一节微分方程的基本概念 21第二节可分离变量的微分方程 21第三节齐次方程 21第四节一阶线性微分方程 22第五节可降阶的高阶微分方程 22第六节高阶线性微分方程 22第七节常系数齐次线性微分方程 23第八节常系数非齐次线性微分方程 24第九章多元函数微分法及其应用 24第一节多元函数的基本概念 24第二节偏导数 25第三节全微分 26第四节多元复合函数的求导法则 26第五节隐函数的求导法则 27第八节多元函数的极值及其求法 28第十章重积分 29第一节二重积分的概念与性质 29第二节二重积分的计算法 29第四节重积分的应用 30第一章行列式 32第一节二阶与三阶行列式 32第三节n阶行列式的定义 32第五节行列式的性质 32第六节行列式按行（列）展开 33第七节克拉默法则 34第二章矩阵及其运算 34第一节矩阵 34第二节矩阵的运算 35第三节逆矩阵 37第四节矩阵分块法 37第三章矩阵的初等变换与线性方程组 38第一节矩阵的初等变换 38第二节矩阵的秩 39第三节线性方程组的解 39第四章向量组的线性相关性 40第一节向量组及其线性组合 40第二节向量组的线性相关性 41第三节向量组的秩 41第四节线性方程组解的结构 41第五节向量空间 42第五章相似矩阵及二次型 42第一节向量的内积、长度及正交性 42第二节方阵的特征值与特征向量 44第三节相似矩阵 44第四节对称矩阵的对角化 45第五节二次型及其标准形 45第七节正定二次型 45常用公式 47——Tg 49第一章函数与极限第二节数列的极限数列的极限：设为一数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数N，使得当时，不等式都成立，那么就称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为，或。引入记号“”表示“对于任意给定的”或“对于每一个”，记号“”表示“存在”。收敛数列的性质：1（极限的唯一性）如果数列收敛，那么他的极限唯一。2（收敛数列的有界性）如果数列收敛，那么数列一定有界。但有界函数却不一定收敛。3（收敛数列的保号性）如果，且（或），那么存在正数，当时，都有（或）。推论：如果数列从某项起有（或），且，那么（或）。4（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列收敛于，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是。如果数列有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列是发散的。定律：（1）如果，则。（2）如果数列有极限，但数列不一定有极限。第三节函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限：设函数在点的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值满足不等式，那么常数A就叫做函数当时的极限，记作或（当）。左极限：x从的左侧趋于（记作）。右极限：x从的右侧趋于（记作）。时有没有极限，与在点是否有定义并无关系。函数当时极限存在的充分必要条件是左极限有极限各自存在并且相等，即。自变量趋于无穷大时函数的极限：设当大于某一正数时有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在着正数X，使得当满足不等式，那么常数A就叫做函数当时的极限，记作或（当）。函数极限的性质：1（函数极限的唯一性）如果存在，那么这极限唯一。2（函数极限的局部有界性）如果，那么存在常数和，使得当时，有。3（函数极限的局部保号性）如果，且（或），那么存在常数，使得当时，有（或）。推论：如果在的某一去心邻域内（或），且，那么（或）。如果（），那么就存在的某一去心邻域，当时，就有。第四节无穷小与无穷大无穷小：如果函数当（或）时的极限为零，那么称函数为当（或）时的无穷小。定理：在自变量的同一变化过程（或）中，函数具有极值A的充分必要条件是，其中是无穷小。无穷大：设函数在点的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有意义）。如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数（或正数X），只要适合不等式（或），对应的函数值总满足不等式，那么称函数为当（或）时的无穷大。定理：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大。第五节极限运算法则1有限个无穷小的和也是无穷小。2有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。推论：常数与无穷小的乘积是无穷小。有限个无穷小的乘积也是无穷小。3如果，那么（1）；（2）；（3）若，则。推论：如果存在，而是整数，则4设有数列和。如果，那么①②③当且时，。5如果，而，那么。若，则。若，则复合函数的极限运算法则：函数是由函数与函数复合而成，在点的去心邻域内有定义，若，且存在，当时，有，则。第六节极限存在准则两个重要极限数列夹逼准则：如果数列，及满足下列条件：（1）从某项起，即，当时，有（2），那么数列的极限存在，且。函数夹逼准则：如果（1）当（或）时，（2），那么存在，且等于A。定理：单调有界数列必有极限。定理：设函数在点的某个左邻域内单调并且有界，则在的左极限必定存在。柯西极限存在准则：数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，存在着这样的正整数N，使得当时，就有。两个重要极限：，。第七节无穷小的比较两个无穷小之间的比较：如果，就说是比高阶的无穷小，记作；如果，就说是比低阶的无穷小；如果，就说与是同阶无穷小；如果，就说是关于的阶无穷小；如果，就说是的等价无穷小，记作。定理：与是等价无穷小的充分必要条件为。定理：设，且存在，则。常用等价无穷小（当时）：以下所有的x都可以替换为：第八节函数的连续性与间断点函数的增量：函数的连续性：设函数在点的某一邻域内有定义，如果或，那么函数在点连续。左连续：如果存在且等于，即，就说函数再点左连续。右连续：如果存在且等于，即，就说函数再点右连续。区间上的连续函数：在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。函数的间断点：如果函数有下列三种情形之一：（1）在没有定义；（2）虽在有定义，但不存在；（3）虽在定义，且存在，但，则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点。第一类间断点：.如果是函数的间断点，但左极限和右极限都存在，那么称为函数的第一列间断点。左右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。第二类间断点：左右极限有一个不存在，或两个都不存在。无穷间断点和跳跃间断点。注意：间断点为。第九节连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的和、差、积、商的连续性：设函数和在点连续，则它们的和（差）、积及商（当时）都在点连续。反函数的连续性：如果函数在区间上单调增加（或单调减少）且连续，那么他的反函数也在对应的区间上单调增加（或单调减少）且连续。复合函数的连续性：设函数由函数与函数复合而成，。若，而函数在连续，则或，其中，。复合函数的连续性：设函数由函数与函数复合而成，。若函数在连续，且，而函数在连续，则复合函数在也连续。定理：一切初等函数在其定义区间都是连续的。定律：对于形如的函数（通常称为幂指数函数），如果，，那么。第十节闭区间上连续函数的性质在闭区间上连续：如果函数在开区间内连续，在右端点b左连续，在左端点a右连续，那么函数就是在闭区间上连续的。有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。零点定理：设函数在闭区间上连续，且与异号（即），那么在开区间内至少有一点，使。介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值及，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间内至少有一点，使得。推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。求的渐近线的方法：（1）垂直渐近线：是垂直渐近线或。（2）水平渐近线：时是水平渐近线。（3）斜渐近线：时是斜渐近线，。（2）若是连续的周期函数，周期为T，则，，即在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。（3）以T为周期的充要条件是。（4）设连续函数以T为周期，则的全体原函数以T为周期的充要条件是。（6）。（7）假定在为连续函数，则当为奇函数时，在的全体原函数均为偶函数；当为偶函数时，在只有唯一原函数为奇函数。第二章导数与积分第一节导数概念导数的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即，也可记作，或。导函数定义式：或。显然，函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值，即。函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在并相等。如果函数在开区间内可导，且及都存在，就说在闭区间上可导。导数的几何意义：函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中是切线的顷角（切线和x轴正方向的夹角）。切线方程：曲线在点处的切线方程为。法线方程：曲线在点处的法线方程为。定律：函数在点x处可导，则函数在该点必连续；反之，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。定律：（1）设在I上可导，若在I上为奇函数在I上为偶函数；若在I上为偶函数在I上为奇函数。（2）设在X上可导，以T为周期在X上也以T为周期。（3）设在可导，在连续而不可导，则（）在处。（4），则先考察的点，这些点可能是不可导点，再考察这些点中的点，这些点一定是不可导点。第二节函数求导法则函数的和、差、积、商的求导法则：设，都可导，则反函数的求导法则：设在区间内单调、可导且，则它的反函数在内也可导，且或。反函数的导数等于直接函数导数的倒数。复合函数求导法则：设，而且及都可导，则复合函数的导数为或。常用初等函数导数公式： 第三节高阶导数二阶导数：函数的导数仍然是x的导数。把的导数叫做函数的二阶导数，记作或，即或。n阶导数。常用高阶导数： 莱布尼茨公式：二项式定理：第四节隐函数及由参数方程所决定的函数的导数相关变化率隐函数的求导方法：方程两边分别对x求导，并注意。幂指函数的求导方法：对于一般形式的幂指函数，则可以对方程两边取对数，即，然后再求导；或将函数关系式表示为。由参数方程所决定的函数的导数：若参数方程确定y与x之间的关系，则。第五节函数的微分微分：设函数在某区间内有定义，及在这区间内，如果增量可表示为，其中A是不依赖于的常数，那么称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变增量的微分，记作，即。函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导。函数的微分：函数在任意点x的微分，称为函数的微分，记作或，即。自变量的微分：自变量x的增量称为自变量的微分，记作，即。于是函数的微分又可记作。从而有。微分的几何意义：对于可微函数而言，当是曲线上的点的纵坐标的增量时，就是曲线上的点的切线上点的纵坐标的相应增量。函数和、差、积、商的求导法则：复合函数求导法则：设和都可导，则复合函数的微分为。第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理费马引理：设函数在点的某领域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有（或），那么。驻点：导数等于零的点为函数的驻点（驻点为）。罗而定理：如果函数满足（1）在闭区间上连续（2）在开区间内可导（3）在区间断点处的函数值相等，即，那么在内至少有一点，使得。拉格朗日中值定理：如果函数满足（1）在闭区间上连续（2）在开区间内可导，那么在内至少有一点，使等式成立。几何意义：如果连续曲线的弧上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么这弧上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于弦AB。定理：如果函数在区间I上的导数恒为零，那么在区间I上是一个常数。柯西中值定理：如果函数及满足（1）在闭区间上连续（2）在开区间内可导（3）对于任一，，那么在内至少有一点，使等式成立。定理：（1）设在连续，在n阶可导，若在中有个不同的点取相同的函数值，则，使得。（2）设在连续，在n阶可导，在无零点，则在至多有n个不同的根。第二节罗必达法则未定式：如果当（或）时，两个函数与都趋于零或趋于无穷大，即或，那么极限可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式。罗必达法则Ⅰ：设（1）当时，函数及都趋于零或都趋于无穷（2）在点a的某去心邻域内，及都存在，且（3）存在（或为无穷大），那么。罗必达法则Ⅱ：设（1）当时，函数及都趋于零或都趋于无穷（2）当时时，及都存在，且（3）存在（或为无穷大），那么。注意：如果不是未定式，就不能用罗必达法则。当存在或为无穷大时，也存在或为无穷大，且等于；但反之不存在时，可能存在。对于的形式，，则。第三节泰勒公式泰勒中值定理：如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对任意，有 这里是与x之间的某个值。其中称为函数按的幂展开的n阶泰勒多项式，式称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式，称为拉格朗日余项。上式为按的幂展开的带佩亚诺型余项的n阶泰勒公式，称为佩亚诺余项。迈克劳林公式（在泰勒公式中，取）：令，得到带有拉格朗日型余项的迈克劳林公式：带有佩亚诺余项的迈克劳林公式：常用泰勒公式：①②③④⑤无穷小阶的运算：（1）（2）（3）（4），其中在有界。第四节函数的单调性与曲线的凹凸性定理：设函数在上连续，在内可导，那么（1）如果在内，那么函数在上单调增加（2）如果在内，那么函数在上单调减少。曲线凹凸性：设在区间I上连续如英国对I上任意的两点，恒有，那么称在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有，那么称在I上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。定理：设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在内，则在上的图形是凹的（2）若在内，则在上的图形是凸的。拐点：如果曲线在经过点时，曲线的凹凸性改变了，或的符号改变了，那么就称点为这曲线的拐点。注意：拐点是（间断点和极值点为）。的点和不存在的点都可能是的拐点，对于这两种情况都要分别判断在左右两侧的符号，符号不同时，才是的拐点，符号相同，则不是的拐点。第五节函数的极值与最大值和最小值极大值（极小值）：设函数在点的某邻域内有定义，如果对于去心邻域内的任一x，有（或），那么就称是函数的一个极大值（或极小值）。定理：设函数在可导，且在处取得极值，那么。但的地方，不一定取得极值。定理：设函数在处连续，且在的某去心邻域内可导，那么（1）若时，，而时，，则在处取得极大值（2）若时，，而时，，则在处取得极小值（3）若时，的符号保持不变，则在处没有极值。定理：设函数在处具有二阶导数且，，那么（1）当时，函数在处取得极大值（2）当时，函数在处取得极小值。注意：闭区间上的最大值或最小值可能是驻点，不可导点或端点值。第七节曲率弧s与x的关系：。s的绝对值等于这段弧的长度。弧微分公式：曲率：，表示弧的弯曲程度。对于圆来说，半径越小，曲率越大，弯曲得越厉害。直角坐标方程的曲率：参数方程的曲率：曲率半径：第四章不定积分第一节不定积分的概念和性质原函数：如果在区间I上，可导函数的导数为，即对任意，都有或，那么函数就称为（或）在区间I上的原函数。原函数存在定理：如果函数在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数，对任一都有。简单的说，就是连续函数一定有原函数。注意：如果I上有第一类间断点，则在I上一定不存在原函数；如果I上有第二类间断点，则在I上可能存在原函数，比如，在存在间断点。不定积分：在区间I上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间I上的不定积分，记作。其中记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量。定律：不定积分可以表示的任意一个原函数：。积分曲线：函数的原函数的图形称为的积分曲线。记号与d连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数。基本积分表： 不定积分的性质：第二节换元积分法第一类换元法：设具有原函数，可导，则有换元公式。对于积分，总可作变换，把它化为。对于或型函数的积分，总可依次作变换或，求得结果。对于型函数，总可利用三角恒等式：，化成的多项式，然后求解。第二类换元法：设是单调的、可导的函数，并且。又设具有原函数，则有换元公式，其中是的反函数。三角替换：（1），则，（2），则，（3），则，，（4），则可配方成上述形式，再进行替换。第三节分部积分法分部积分法：或选取u和dv要注意：（1）v要容易求出（2）要比容易求出分部积分常见形式：①，，，进行n次分部积分，每次均取，，为，多项式部分为。②，，，取为，，，等为，分部积分一次后被积函数的形式发生变化。③，，两部分都可做，但是最好用做。第四节有理函数的积分有理函数：两个多项式的商称为有理函数。当分子多项式的次数小于分母多项式的次数时，称这有理函数为真分式，否则称为假分式。把真分式化为部分分式之和：对于真分式，如果分母可分解为两个多项式的乘积，且与没有公因式，那么它可拆分为两个真分式之和，这个步骤叫做把真分式或为部分分式之和。利用多项式的除法总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式。如果被积函数中含有简单根式或，可以令这个简单根式为u。第五章定积分第一节定积分的概念与性质在上的定积分：其中叫做被积函数，叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，叫做积分区间。定积分几何意义：定积分在几何上表示曲线、两条直线、与x轴所围成的曲边梯形的面积。在上即取得正直又取得负值时，定积分表示在x轴上方图形面积减去x轴下方图形面积所得之差。定理：（1）设在区间上连续，则在上可积。（2）设在区间上有界，且只有有限个间断点，则在上可积。（3）若在上有界，则在上有定积分，若在上无界，则在上没有定积分。（4）在上有积分，但是不一定有原函数，只有当在上连续时才有原函数。定积分的性质：（1）当时，；当时，。（2）（3）（4）设，则。（5）如果在区间上，则。（6）如果在区间上，则。（7）如果在区间上，，则。（8）（6）设M及m分别是函数在区间上的最大值和最小值，则，即。（7）定积分中值定理：如果函数在积分区间上连续，则在上至少存在一个点，使下式成立：。其中称为在区间上的平均值。（8）定理：（1）若在上连续且为偶函数，则；若在上连续且为奇函数，则。（2）若是连续的周期函数，周期为T，则，，即在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。（3）以T为周期的充要条件是。（4）设连续函数以T为周期，则的全体原函数以T为周期的充要条件是。（5），，其中。（6）。（7）假定在为连续函数，则当为奇函数时，在的全体原函数均为偶函数；当为偶函数时，在只有唯一原函数为奇函数。第二节微积分基本公式定理：如果函数在区间上连续，则积分上限函数在上可导，并且它的导数。注意：定积分是连续函数的一个原函数，而不定积分是的任意一个原函数。定理：如果函数在区间上连续，则函数就是在区间上的一个原函数。牛顿-莱布尼茨公式：如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则（这个公式也叫微分基本公式）。变限积分的求导方法：若，则第三节定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法：假设函数在区间上连续，函数满足条件（1），（2）在（或）上具有连续导数，且其值域，则有（定积分的换元公式）。应用换元公式时应注意：（1）用把原来变量x代换成新变量t时，积分限也要换成相应于新变量t的积分限（2）求出的一个原函数后，不必像计算不定积分那样再把变换成原来变量x的函数，而只要把新变量t的上下限分别代入中然后相减就行了。定积分的分部积分公式：，或。第四节反常积分无穷限的反常积分：（1）函数在无穷区间上的反常积分：设函数在区间上连续，取，如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即，这时也称反常积分收敛；如果上述极限不存在，则称函数在无穷区间上的反常积分没有意义，习惯上称为反常积分发散，这时记号就不再表示数值了。（2）函数在无穷区间上的反常积分：设函数在区间上连续，取，如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即，这时也称反常积分收敛；如果上述极限不存在，则称反常积分发散。（3）函数在无穷区间上的反常积分：设函数在区间上连续，如果反常积分和都收敛，则称上述两反常积分之和为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即，这时也称反常积分收敛，否则就称反常积分发散。注意：当和之中有一个不存在时，发散。无界函数的反常积分：暇点：如果函数在点a的任意邻域内都无界，那么点a称为函数的暇点。（1）函数在上的反常积分：设函数在上连续，点a为的暇点。取，如果极限存在，则称此极限为函数在上的反常积分，仍然记作，即。这时也称反常积分收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分发散。（2）函数在上的反常积分：设函数在上连续，点b为的暇点。取，如果极限存在，则称此极限为函数在上的反常积分，仍然记作，即。这时也称反常积分收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分发散。（3）函数在上的反常积分:设函数在上除点c外连续，点c为的暇点，如果两个反常积分与都收敛，则定义；否则，就称反常积分发散。注意：只要与其中一个发散，则发散。第六章定积分的应用第二节定积分在几何学上的应用平面图形的面积：直角坐标情形：直角坐标面积元素，直角坐标面积：。极坐标的情形：极坐标面积元素：（扇形面积），极坐标下的面积：旋转体的体积：绕x轴旋转：体积元素；面积绕y轴旋转：体积平行截面面积为已知的立体的体积：表示过点x且垂直于x轴的截面面积，且为连续函数，则体积元素，所求立体体积为。平面曲线的弧长：（1）弧由参数方程表示，则弧长元素，弧长。（2）弧由直角坐标方程（）表示，则弧长元素，弧长。（3）弧由极坐标方程：（）表示，则弧长元素，弧长。旋转面的（侧）面积：在x轴上方有一平面曲线绕x轴旋转一周得旋转曲面，其面积为：（1）若为直线段，则，其中l为的长度，，分别为点A，B的纵坐标。（2）设以弧长为参数的方程，，则。（3）设的参数方程为，，则，其中，在有连续的导数。（4）设的方程为，则，其中在上有连续的导数。（5）设的极坐标方程为，则，其中在有连续的导数。第三节定积分在物理学上的应用电场力：把一个带电荷量的点电荷放在r轴上坐标原点O处，它产生一个电场，把一个单位正电荷放在距O点为r的地方，则它所受到的电场力为，把正电荷从移动到，则功元素为，功为。活塞中气体膨胀：功元素为，功为，其中。推导，，，。把容器中的水抽出：。水压力：（水深为h处的压强为）。引力：，（是线密度）。第七章微分方程第一节微分方程的基本概念微分方程：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。微分方程的一般形式：。微分方程的解：满足微分方程的函数，就是说把这函数代入微分方程能使该方程称为恒等式，这个函数就叫做微分方程的解。微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。初始条件的一般形式：一阶微分方程时，；二阶微分方程时，，。微分方程的特解：确定了通解中的任意常数，就得到微分方程的通解，特解不含任意常数。第二节可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程：如果以一个一阶微分方程能写成的形式，即能把微分方程写成一端只含y的函数和，另一端只含x的函数和，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。可通过两边求积分来求得方程的解。放射性元素的衰变速度：，放射性元素衰变速度与当时未衰变的元素含量M成正比。水从孔口流出的流量：第三节齐次方程齐次方程：如果一阶方程可化成的形式，那么就称这方程为齐次方程。推导：，，，，。第四节一阶线性微分方程一阶线性微分方程：方程叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y及其导数是一次方程。如果，则方程称为齐次的；如果，则方程称为非齐次的。方程叫做对应于非齐次线性方程的齐次线性方程。非齐次一阶线性微分方程的通解：或。上式右端第一项是齐次方程的通解，第二项是非齐次方程的一个特解。由此可知，一阶非其次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。第五节可降阶的高阶微分方程（1），经一次积分，得，同理经n次积分得。（2）不显含y的二阶微分方程，令，原方程化为p的一阶方程。（3）不显含x的二阶微分方程，令，原方程可化为以p为未知函数，y为自变量的一阶方程（）第六节高阶线性微分方程二阶线性微分方程：叫做二阶线性微分方程。当方程右端时，方程叫做齐次的，当时，方程叫做非齐次的。线性相关：设，，…，为定义在I区间上的n个函数，如果存在n个不全为零的常数，，…，，使得当时有恒等式成立，那么称这n个函数在区间I上线性相关，否则称线性无关。对于两个函数，如果两函数之比为常数，那么它们线性相关，否则线性无关。定理：如果函数和是方程的两个解，那么也是的解，但不一定是通解。定理：如果函数和是方程的两个线性无关的特解，那么就是的通解。定理：如果，，…，是n阶齐次线性方程的n个线性无关的解，此方程的通解为，其中，，…，为任意常数。定理：设是二阶非齐次线性方程的一个特解，是对应的齐次方程的通解，那么是二阶非齐次线性微分方程的通解。定理：（叠加原理）设非齐次线性方程的右端是两个函数之和，即，而与分别是方程与的特解，那么就是的特解。第七节常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程：，其中p，q是常数。特征方程：是二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程。的通解：（1）当时，特征方程有两个不相等的实根，。其通解为。（2）当时，特征方程有两个相等的实根。其通解为。（3）当时，特征方程有一对共轭复根，，其中，。其通解为。n阶常系数齐次线性微分方程：，它的特征方程为。（1）特征方程的根中有单实根r，则它在微分方程通解中的对应项为。（2）特征方程的根中有一对单复根，则它在微分方程通解中的对应项为。（3）特征方程的根中有k重实根r，则它在微分方程通解中的对应项为。（4）特征方程的根中有一对k重复根，则它在微分方程通解中的对应项为。第八节常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：（1），是x的一个m次多项式，，则的特解为其中是与相同次数（m次）的多项式，而k按不是特征方程的根，是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0，1，2。（2），其中，分别是x的l次、n次多项式，且有一个可为零，则微分方程的特解为其中，是m次多项式，，而k按（或）不是特征方程的根，或是特征方程的单根依次取0或1。第九章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念二元函数：设D是的一个非空子集，称映射为定义在D上的二元函数，通常记为，或，，其中点集D称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量。二重极限：二重极限存在，是指以任何方式趋于时，都无限趋于一个数。反过来，如果当以不同方式趋于时，趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。多元函数的连续性：设二元函数的定义域为D，为D的聚点，且。如果，则称函数在点连续。连续函数：如果函数在D的每一点都连续，则称函数在D上连续。间断点：设函数的定义域为D，为D的聚点。如果函数在点不连续，则称为函数的间断点。定律：一切多元初等函数在其定义域内是连续的。有界性与最大值最小值定理：在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值。介值定理：在有界闭区域D上的多元连续函数必定取得介于最大值和最小值之间的任何值。第二节偏导数某点偏导数：设函数在点的某一邻域内有定义，当y固定在而x在处有增量时，相应的函数有增量，如果存在，则称此极限为函数在点处对x的偏导数，记作，，。同理可得在点处对y的偏导数定义。偏导函数：如果函数在区域D内的每一点处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数对自变量x的偏导函数，记作，，或。注意：（1）对一元函数来说，可看做函数的微分与自变量的微分之商；而偏导数的记号，不能看做分子与分母之商。（2）如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必连续；但对多元函数来说，即使偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。的二阶偏导数：，叫做混合偏导数。定理：如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续，那么该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。第三节全微分全增量：定理：（1）如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必定存在；但是偏导数存在却不一定可微分。（2）函数的偏导数、在点存在但不一定可微分，只有偏导数、在点连续，才能保证函数在该点可微分。（3）多元函数在某点的偏导数存在，并不能保证函数在该点连续，且函数连续也不一定能保证偏导数存在。（4）函数在某点可微分，那么它在该点必连续；但是函数在某点连续，但它在该点却不一定可微分。（5）。全微分：函数在点的全微分为。对于三元函数，它的全微分。第四节多元复合函数的求导法则一元函数与多元函数复合的情形：如果函数及都在点t可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点t可导，且。推广：设，，，，则的全导数为。多元函数与多元函数复合的情形：如果函数及都在点具有对x及对y的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存在，且有，。其他情形：（1）如果函数在点具有对x及对y的偏导数，函数在点y可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存在，且有，。（2）设具有连续偏导数，而具有偏导数，则复合函数具有对自变量x及y的偏导数，且有，。注意：与是不同的，是把复合函数中的y看做不变而对x的偏导数，是把中的u及y看做不变的而对x的偏导数。全微分形式的不变性：设函数，，，则的全微分为。第五节隐函数的求导法则隐函数存在定理1：设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有。隐函数存在定理2：设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有，。隐函数存在定理3：设函数，在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又，，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）在点不等于零，则方程组，在点的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数，，它们满足条件，，并有，，，。第八节多元函数的极值及其求法极大、极小值点：使函数得到极大、极小值的点叫做函数的极大、极小值点。二元函数的驻点：凡是能使，同时成立的点叫做函数的驻点。定理：设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则有，。定理：设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，，令，，，则在处是否取得极值的条件如下：（1）时具有极值，且当是有极大值，当时有极小值；（2）时没有极值；（3）时可能有极值，也可能没有极值，需另作考虑。注意：如果函数在个别点的偏导数不存在，这些点不是驻点，但也可能是极值点，所以求偏导数时应该考虑偏导数不存在的点。定义在有界闭区域D上的函数最大最小值的求法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。拉格朗日乘数法：要找函数在附加条件下的可能极值点，可以先做拉格朗日函数，其中为参数，求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程联立起来，由这方程组解出x，y及，这样得到的就是函数在附加条件下可能的极值点。推广：函数在附加条件，下的极值，可以先做拉格朗日函数。第十章重积分第一节二重积分的概念与性质二重积分：函数在闭区域D上的二重积分，记作或，其中叫做被积函数，或叫做被积表达式，或叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域。二重积分的性质：（1）设、为常数，则。（2）如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分区域的二重积分的和。（3）如果在D上，，为D的面积，则。（4）如果在D上，，则有。推论。（5）设M、m分别是在闭区域D上的最大值和最小值，是D的面积，则有，所以。（6）二重积分中值定理：设函数在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点，使得。第二节二重积分的计算法X型区域D：设积分区域D可以用不等式，来表示，从而二重积分可表示为。Y型区域D：设积分区域D可以用不等式，来表示，从而二重积分可表示为。利用极坐标计算二重积分：。要把二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x、y分别换成，，并把直角坐标系中的面积元素换成极坐标中的面积元素。设积分区域D可以用不等式，，则二重积分可以表示为：。定律：如果二重积分的被积函数，积分区域，则这个二重积分等于两个单积分的乘积。对称区域上奇偶函数的积分性质：设在有界区域D上连续：（1）若D关于x轴对称，则，其中为D中x轴上方的部分。（2）若D关于y轴对称，则，其中为D中y轴右边的部分。（3）若D关于原点对称（且），则，其中为D的x轴上方的部分或D中y轴右边的部分。（4）若D关于直线对称（且），且被积函数关于对称，即，则，，，其中为D中直线上方或下方的部分。第四节重积分的应用曲面的面积：设曲面S由方程给出，D为曲面S在面上的投影区域，函数在D上具有偏导数和，则曲面S的面积为。推广：若曲面的方程为，则可把曲面投影到面上，。若曲面的方程为，则可把曲面投影到面上，。质心：有一平面薄片，占有面上的闭区域D，在点处的面密度为，假定在D上连续，则薄片的质心坐标为，。均匀平面质心的坐标或平面图形的形心:,,其中为闭区域D的面积。转动惯量：设有一薄片，占有面上的闭区域D，在点处的面密度为，假定在D上连续，则薄片对x轴以及对y轴的转动惯量为，。对轴的转动惯量。对轴的转动惯量。

第一章行列式第一节二阶与三阶行列式主对角线：副对角线：第三节n阶行列式的定义n阶行列式：记作，简记作，其中为行列式D的元。定律：,其中为自然数1,2，…，n的一个排列，t为这个排列的逆序数，共有项。对角行列式：。（不是对角行列式）上（下）三角形行列式：主对角线以下（上）的元素都为零的行列式叫做上（下）三角形行列式，它的值与对角行列式一样。第五节行列式的性质转置行列式：，，行列式称为行列式D的转置行列式。（1）行列式与它的转置行列式相等。（2）互换行列式的两行（列），行列式变号。（3）如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。（4）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用k乘此行列式。（5）行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。（6）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。（7）若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和，则D等于下列两个行列式之和:（8）把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。例如k乘第j列加到i列上，记作。注意：不能写成，在行列式中变化的永远是加号前面的行或列。，。第六节行列式按行（列）展开代数余子式：在n阶行列式中，把元所在的第i行和第j列划去后，留下来的阶行列式叫做元的余子式，记作，记，叫做元的代数余子式。引理：一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即。定理：（行列式按行（列）展开法则）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即范德蒙德行列式：推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即或。定律：在行列式按第i行展开的展开式中，用，，…，依次代替，，…，，可得。同样，在行列式按第j列展开的展开式中，用，，…，代替中的第j列，可得第七节克拉默法则克拉默法则：如果线性方程组的系数行列式不等于零，那么方程组有唯一解，，…，，其中是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式。定理：（1）如果线性方程组的系数行列式，则一定有解，且解是唯一的。（2）如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。（3）如果齐次线性方程组的系数行列式，则齐次方程组没有非零解。（4）如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零。以上定理可简化为：（1）），。（2）必有零解，。第二章矩阵及其运算第一节矩阵定义：有个数排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称矩阵，记作。行矩阵（行向量）：列矩阵（列向量）：同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数相等时，就称它们是同型矩阵。零矩阵：元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。线性变换：n个变量，，…，与m个变量，，…，之间的关系式表示从变量，，…，到变量，，…，的线性变换。A叫做线性变化的系数矩阵。n阶单位矩阵：对角矩阵：，简记作第二节矩阵的运算（一）矩阵A与B的和：设有两个矩阵和，那么矩阵A与B的和记作，规定为。加法运算规律：（二）数与矩阵相乘：数与矩阵A的乘积记作或，规定为。数与矩阵相乘运算规律：（三）矩阵与矩阵相乘：设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个矩阵，其中，并把此乘积记作。乘积矩阵的元就是A的第i行与B的第j列的乘积。可交换的：若，则称方阵A与B是可交换的。注意：下列公式一般情况下不成立，只有矩阵A与B可交换时才成立：，，，。一般情况下。注意：（1）不能得出或的结论。（2），也不能得出的结论。（3），则，。矩阵相乘运算规律：（四）矩阵的幂：（五）矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新的矩阵，叫做A的转置矩阵，记作。矩阵转置的运算规律：对称矩阵：如果，那么A就称为对称矩阵，它的元素以对角线为对称轴对应相等。反对称矩阵：。（六）方阵的行列式：有n阶方阵A的元素所构成的行列式，称为方阵A的行列式，记作或。注意：n阶方阵是个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。方阵行列式的运算法则：注意：（1）没有。（2）对于n阶矩阵A，B，一般来说，但总有。伴随矩阵：，，其中是行列式的各个元素的代数余子式。第三节逆矩阵逆矩阵：对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使，则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称作A的逆矩阵。A的逆矩阵记作，即若，则。定理：（1）若矩阵A可逆，则。（2）若，则矩阵A可逆，且，其中为矩阵A的伴随矩阵。（3）矩阵A可逆的充分必要条件就是。逆矩阵运算规律：（1）若A可逆，则亦可逆，且。（2）若A可逆，则可逆，且。（3）若A，B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且。（4），。矩阵A的m次多项式：定律：（1）若，则（2）若，则第四节矩阵分块法（1），，则。（2），则。（3），，则，其中。（4），则。（5），则，，其中A和都是方阵。（6），则。第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换矩阵的初等行变换：（1）对调两行（）。（2）以数乘某一行中的所有元素（）。（3）把某一行的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（）。矩阵A与B行等价：如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价。矩阵A与B列等价：如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价。矩阵A与B等价：如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价。矩阵之间的等价关系具有下列性质：（1）反身性（2）对称性，若，则（3）传递性，若，，则行阶梯形矩阵：阶梯形，每个台阶只有一行。行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的。标准型：矩阵的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为零。任何矩阵都可以变为标准型。定理：设A与B为矩阵，那么（1）A与B行等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使。（2）A于B列等价的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，是。（3）A与B等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使。初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。定理：（1）用初等矩阵P左乘A，所得就是对矩阵A做了一次与P同样的行初等变换。（2）用初等矩阵P右乘A，所得就是对矩阵A做了一次与P同样的列初等变换。（3）初等矩阵均可逆，且其逆矩阵是同类型的初等矩阵，例如，。推论：方阵A可逆的充分必要条件是A与E行等价。，F为行最简形，则，，。，，所以。，则，，。第二节矩阵的秩矩阵A的k阶子式：在矩阵A中，任取k行与k列，位于这些行这些行列交叉处的个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。矩阵的秩：设在A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有阶子式全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作。矩阵秩的性质：（1） （2）（3）若，则 （4）若P、Q可逆，则（5），特别的，当为非零向量时，有（6） （7）（8）若，则 （9）设，若A为列满秩矩阵，则（10）第三节线性方程组的解定理：n元线性方程组（1）无解的充分必要条件是（2）有唯一解的充分必要条件是（3）有无限多解的充分必要条件是定理：（1）n元齐次方程组有非零解的充分必要条件是。（2）线性方程组有解的充分必要条件是。（3）矩阵方程有解的充分必要条件是。（4）设，则。第四章向量组的线性相关性第一节向量组及其线性组合n维向量：n个有次序的数，，…，所组成的数组称为n维向量。注意：列向量一般用，，，表示，行向量一般用，，，表示。向量组：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。线性组合：给定向量组A：，，…，，对于任何一组实数，，…，，表达式称为向量组A的一个线性组合，，，…，称为这个线性组合的系数。向量b能由向量组A线性表示：给定向量组A：，，…，和向量b，如果存在一组数，，…，使，则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示。（1）向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是。（2）向量b能由向量组A线性表示，也就是方程组有解。向量组等价：设有两个向量组A和B，若B中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价。（1）若矩阵A与B行等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。（2）若矩阵A与B列等价，则A的列向量组与B的列向量组等价。（3）向量组B能由向量组A线性表示，其含义是矩阵方程有解。定理：（1）向量组B能由向量组A线性表示的充分必要条件是。（2）向量组A与向量组B等价的充分必要条件是。（3）向量组B能由向量组A线性表示，则。第二节向量组的线性相关性定义：给定向量组A：，，…，，如果存在不全为零的数，，…，，使，则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。定律：向量组A线性相关，也就是在向量组A中至少有一个向量能由其余个向量线性表示。定理：（1）向量组，，…，线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵的秩小于向量个数m，向量组线性无关的充分必要条件是。（2）若向量组A：，，…，线性相关，则向量组B：，，…，，也线性相关。反言之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关。（3）m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关，特别地，个n维向量一定线性相关。（4）设向量组A：，，…，线性无关，而向量组B：，，…，，线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表达式是唯一的。（5）若向量组，，…，线性无关，则它的任一个延伸组，，…，必线性无关。第三节向量组的秩定义：设有向量组A，如果在A中能选出r个向量，，…，，满足①向量组：，，…，线性无关；②向量组A中任意个向量都线性相关，那么称向量组是向量组A的一个最大线性无关组；最大无关组所含向量的个数r称为向量组A的秩，记作。定理：（1）矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。（2）若是矩阵A的一个最高阶非零子式，则所在的r列即是A的列向量组的一个最大无关组，所在的r行即是A的行向量组的一个最大无关组。（3）向量组B能由向量组A线性表示的充分必要条件是。（4）若向量组B能由向量组A线性表示，则。（5）如果矩阵与的行向量组等价，则方程组与同解，从而A的列向量组各向量之间与B的列向量组之间有相同的线性关系。最大无关组的等价定义：设向量组：，，…，是向量组A的一个部分组，且满足①向量组线性无关；②向量组A的任何一个向量都能由向量组线性表示，那么向量组便是向量组A的一个最大无关组。行最简型取自由变量的原则：先由最简型看出自由变量的个数，然后按照自由变量所在的列去掉后不改变矩阵的秩这一原则取自由变量。第四节线性方程组解的结构定理：（1）若，为的解，则也是的解。（2）若为的解，则也是的解。方程的通解：方程的全体解所组成的集合叫做S，如果能求得解集S的一个最大无关组：，，…，，那么方程的任意解都可由最大无关组线性表示，所以最大无关组的任何线性组合都是方程的通解。基础解系：齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。定理：设矩阵A的秩，则n元齐次线性方程组的解集S的秩。注意：齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的，它的通解的形式也不是唯一的。定理：（1）设及都是的解，则为对应的齐次线性方程组的解。（2）设是方程的解，是方程的解，则仍是方程的解。方程的通解的求法：（1）先求出方程的基础解系，则的通解是。（2）再求出一个的特解。（3）方程的通解为。第五节向量空间向量空间：设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于向量的加法及乘法两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间。所谓封闭，是指在集合V中可以进行向量的加法及乘法两种运算，具体就是：若，，则，若，，则。一般的，由向量，，…，所生成的向量空间为。定义：设V为向量空间，如果r个向量，，…，，且满足①，，…，线性无关；②V中任一向量都可以由，，…，线性表示，那么向量组，，…，就称为向量空间的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间。若把向量空间V看做向量组，则V的基就是向量组的最大无关组，V的维数就是向量组的秩。若向量组，，…，是向量空间V的一个基，则V可表示为。定义：如果在向量空间V中取定一个基，，…，，那么V中任一向量x可唯一表示为，数组，，…，称为向量x在基，，…，中的坐标。若选单位坐标向量，，…，为基，则以，，…，为分量的向量的向量x，可表示为。第五章相似矩阵及二次型第一节向量的内积、长度及正交性内积：设，，令，则称为向量与的内积。内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数，当x与y都是列向量时，有。内积的性质：（1） （2） （3）（4）当时，；当时，。（5）施瓦茨不等