解析几何中的用兵之道

解析几何中的用兵之道

Summary：本课题从教学评三个维度阐述如何优化。本文从解析几何教学角度阐述解析几何中的解题策略，促进教学的高推进。Keys：解析几何；数形结合；逻辑运算解题如用兵，解析几何问题中每一个点，每一条线就像是一个个兵，我们解题人就是将军，将军要善于排兵布阵，巧妙运用兵法，达到出奇制胜的效果。一．兵法之反客为主我们先来重温一道非常熟悉的题目例1：已知椭圆A为椭圆上一点，坐标为（2,1），过A的两条直线分别与椭圆交于P,Q（异于点A）,且满足求证：直线PQ恒过一定点.分析：上述问题就是我们非常熟悉的一个关于椭圆的一个结论，过椭圆上一定点A做两条斜率之积为定值的直线分别交椭圆于P,Q两点，则直线PQ恒过一定点.下面我们来分析一下解题思路.由于整个题目的来源均由决定，为整个题目的源头，故可设直线联立方程组：由韦达定理可得：同理可得进而计算出此时运算量较大。策略：此时，我们反客为主，从整个题目的叙述而言，由直线出发，得到点,从而得到直线PQ,此时为主，直线PQ为客，若我们反客为主，将直线PQ为主，由直线PQ生成直线，那么解题思路将会发生重大变化。故可设直线联立方程组：或当时可得直线所以直线过定点.当直线经过点A，故舍掉，所以直线恒过定点解析几何题中很多时候需要反客为主，下面这道题目各位读者可以变化主客比较一下.二．兵法之兵不厌诈：兵法有云：战阵之间，不厌诈伪。解析几何难题常常就是几个简单的小问题重组而成，只要我们去伪存真，必能拨开云雾见天明。接下来我们看看2020山东高考卷（2020•山东）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）．（1）求C的方程；（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．解：（1）故椭圆C的方程为．（2）①当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx+m，联立由△＝（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣6）＞0，知m2＜6k2+3，设M（x1，y1），N（x2，y2），则∵AM⊥AN，∴＝（x1﹣2，y1﹣1）•（x2﹣2，y2﹣1）＝0，即（k2+1）x1x2+（km﹣k﹣2）（x1+x2）+m2﹣2m+5＝0，∴（k2+1）•+（km﹣k﹣2）（）+m2﹣2m+5＝0，化简整理得，4k2+8km+3m2﹣2m﹣1＝（2k+m﹣1）（2k+3m+1）＝0，∴m＝1﹣2k或m＝，当m＝1﹣2k时，y＝kx﹣2k+1，过定点A（2，1），不符合题意，舍去；当m＝时，y＝kx，过定点B．∵AD⊥MN，∴点D在以AB为直径的圆上，故当点Q为AB的中点，即Q时，|DQ|＝，为定值；②当直线MN的斜率不存在时，设其方程为x＝t，M（t，s），N（t，﹣s），且∵AM⊥AN，∴＝（t﹣2，s﹣1）•（t﹣2，﹣s﹣1）＝t2﹣4t﹣s2+5＝＝0，解得t＝或2（舍2），∴D（，1），此时|DQ|＝，为定值．综上所述，存在定点Q，使得|DQ|为定值，且该定值为．三；兵法之上兵伐谋：兵法有云，用兵的上策是以谋略取胜。在处理解析几何问题时要注意巧妙借助平面几何知识以及圆锥曲线的对称性以便快速简洁地解决问题。例3：如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C:的左，右焦点分别为,焦距为2，且经过点.若斜率为k的直线l与椭圆交于第一象限内的两点（点p在Q的左侧），且（1）求椭圆C的方程（2）若求实数k的值解：（1）（2）设直线联立方程组消去y,得所以即依题意，故直线的方程为两立方程组又设的中点为，则据（*）可得，故直线的斜率为，所以直线的方程为联立方程组解得将带入（*）可得化简得;所以又故带回上式可得：又满足综上：点评：上述方法想法比较直接，但计算量较大，容易让人半途而废，如果我们用好椭圆的对称性那将是别有一番天地。法二：解：延长交椭圆于点可得四边形为平行四边形.又三点共线线.设则故法3：取PQ中点G,又即设则故法三：取PQ的中点G,则（此结论属于亚结论，不可直接使用，注意先证明）四：兵法之虚实结合.兵法有云，虚实结合，避实击虚，善用兵也。解决解析几何问题也需要我们虚实结合，避实击虚，这里的“虚”指的是题目的一些特殊情况，一些简单情况。我们解题时也可从特殊的，简单的点入手，得出结论，再去实实在在地证明或求解。1.已知A,B分别为椭圆E:的左右顶点，G为E上的顶点，为直线上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1）求E的方程（2）证明：直线CD过定点（1）.（2）法1：设若设直线的方程为由题意知（细节）由于直线的方程为所以，直线的方程为所以可得由于所以将其带入（1）式，消去可得即联立方程组得所以带入（2）式得解得或-3.（因为，舍-3），故直线CD的方程为即直线CD过定点.若则直线CD的方程为也过点.综上所述，直线CD过定点.点评：此方法法二：由（1）知设则直线PA的方程是联立由韦达定理得：代入直线PA的方程为得：即同理则（1）当即时，有此时即CD为直线（2）时，直线CD的斜率所以直线CD的方程为：整理得：直线CD过定点.综合（1）（2）故直线CD过定点.法3.由对称性知定点在x轴上.设定点为，只需证明对任意点恒成立.由方法2可知（1）当即时，有此时即CD为直线（2）时，所以对任意m恒成立.即故直线CD恒过点.法4；虚实结合先特殊再一般，先找到定点，再去证明由对称性知定点在x轴上，取点，则直线联立方程组联立方程组故CD与x轴交于点下证：对任意点P,都有C,M,D三点共线.同方法一：设点则则（1）当即时，有此时即CD为直线（2）时，直线CM的斜率三点共线，故直线CD经过点综上：直线CD恒过点小结：处理解析几何问题我们可以先“礼”后“兵”，“礼”包含下面三重含义，1.理清思路，（读完题目，知道题目的问题）2.以礼待题（，上兵伐谋平几的介入，问题的转化）3.有理有据（注意细节，一些常用结论的使用，亚结论的使用注意先证明）“兵”有以下1：排兵布阵（整体运算）2.兵贵神速（一旦确定好行兵方向，就一往无前狭路相逢勇者胜，一往无前仔细算，信心）