正弦稳态电路的讲义

第五章正弦稳态电路的分析

§5-2

正弦量§5-3正弦量的相量表示§5-1

复数§5-4

电路定律的相量形式§5-6

阻抗（导纳）的串并联§5-7正弦稳态电路的分析§5-8

正弦稳态电路的功率§5-5

阻抗和导纳§5-1

复数一.复数F表示形式：FbReImaOF=a+jb1、代数形式：Re[F]=a取复数F的实部和虚部用符号表示为：取复数F的实部Im[F]=b取复数F的虚部一个复数F在复平面上可以用一条从原点O指向F对应坐标点的有向线段（向量）表示。O2、三角形式：F=a+jb=|F|（cosq+jsinq）|F|为复数的模，为复数的幅角。|F|a=|F|cosqb=|F|sinq

或：3、指数形式：欧拉公式=|F|q

指数形式F=|F|（cosq+jsinq）4、极坐标形式：复数表示法的关系：F=a+jbF=|F|ejq

=|F|q

或=|F|（cosq+jsinq

）|F|二复数运算则F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加减运算——代数形式F1F2+1+jOF1=a1+jb1F2=a2+jb2若加减法运算可以用平行四边行法在复平面上用向量的相加和相减求得。+1+jOF1F2-F2F=F1-

F2F=F1+F1(2)乘除运算——指数形式或极坐标形式F1=a1+jb1F2=a2+jb2若=（a1+jb1）（a2+jb2）

=（a1a2-

b1b2）+j（a1b2+b1a2）复数相乘采用指数形式或极坐标形式比较简单。F1F2F1F2所以：乘法：模相乘，角相加；+1+jOF1F212|F2|F12F1

F2F1F2几何意义：乘法：模相乘，角相加；若F1=|F1|1，若F2=|F2|2F1

F2=|F1||F2|q1+q2则F1乘以F2等于复数F1的模|F1|乘以复数F2的模|F2|，然后把复数逆时针旋转一个角度。2F1=a1+jb1F2=a2+jb2若复数相除采用指数形式或极坐标形式。所以：除法：模相除，角相减。+1+jOF1F2212除法：模相除，角相减。1-

2例1.

A1=4+j3，A2=4-j3，A3=-4+j3，A4=-4-j3写出它们对应的极坐标形式。

解：A1=4+j3A2=4-j3+1+jA3=-4+j31234A4=-4-j3=(3.41+j3.657)+(9.063-j4.226)解：=12.47-j0.567例2.

求：例3.

求：(3)旋转因子：A•ejq任意复数相当于A逆时针旋转一个角度q，而模不变。故把ejq

称为旋转因子。+1+jOejqaAAejq复数ejq

=cosq+jsinq=1q复数ejq=1q是一个模为1，辐角为q的复数。故+j,–j,-1都可以看成旋转因子。ejp/2

=je-jp/2

=-jejp=–1A•j把该复数逆时针旋转π/2A•（-j）把该复数顺时针旋转π/2或A/j在复数运算中，若两个复数相等，必须满足：如F1=F2必须Re[F1]=Re[F2]Im[F1]=Im[F2]或基本概念按物理量是否随时间改变，可分为恒定量，变动量。①大小和方向都不随时间而改变，用大写字母表示U,I。②随时间变化的量,每个时刻值称为瞬时值u(t),i(t)i(t)tt0i(t0)O§5-2

正弦量tOU③大小、方向随时间做周期变化的电流(电压)称为周期电流(电压)工程上往往以频率区分电路：工频50Hz中频400-2000Hz高频电路④交变电流：在一个周期内平均值为零的周期电流,称为交变电流。即tiTtiO一.正弦量的三要素在选定的参考方向下，可以用数学式表达瞬时值电流i(t)：i(t)=Imcos(wt+i

)i+_u波形：tiOyiTImwT=2

w=2

/T=2

f

wtiOyi2

ImIm,w,yi这3个量一确定，正弦量就完全确定了。所以，称这3个量为正弦量的三要素。正弦量的三要素：(1)幅值(amplitude)(振幅、最大值)Im：wtiOyi2

Imimax=Im正弦量的极大值imin=-

Im正弦量的极小值imax-imin=2Im正弦量的峰-峰值反映正弦量变化幅度的大小。单位：w：rad•s-1，弧度•秒-1

f：Hz，赫(兹)

T：s，秒(2)角频率(angularfrequency)w

：

相关量：频率f：每秒重复变化的次数。周期T：重复变化一次所需的时间。f=1/T反映正弦量变化快慢。为相角随时间变化的速度。wtiOyi2

Im频率f(frequency)和周期T(period)。wt+i

称为相位或相角。KHz，MHz，GHz。mS，μS，nS。(3)初相位(ini列tia挂lp化has御ea缴ngl半e)yi：(wt+yi)表示正记弦量随咳时间变青化的进房诚程，称光之为相貌位或相斩角。它邻的大小胜决定该坑时刻正鼻弦量的章值。yi=0当t=0时，相碎位套(wt+yi)=yi同一个非正弦量复，计时起落点不同春，初相富位不同。yi为初相颤位(角统)，简尸称初相跨。tiOyii(t)=Imcos(wt+i)初相位死(角)凳的单位卷可以用仿度或者剖弧度。tOitOiyi

=p/2tOiyi

=-p/2tOiyi

<0tOiyi

>0一般规栋定：|yi|善。二.相跳位差(pha欧se腿dif警fer拿enc宵e)：u(t)=Umcos膝(wt+yu)两个同同频率正祸弦量相齿位角之撕差。i(t)=Imcos(wt+yi)设j=(wt+yu)-(wt+yi)=yu-yi同频率勇正弦量尝的相位戚差等于陡它们的三初相之昨差。则相位差:jj>0tu,iuiyuyijOu领先(榴超前)ij角，或i落后(滞粒后)uj角。u比i先到达车最大值蒜。yi<0yu>0j=yu-yi>0j<0i领先(葬超前)uj角，或u落后(朴滞后)ij角。tu,iuiyuyijOyi>0yu<0j=yu-yi<0i比u先到达最础大值j=0，同相：特例：tu,iu

iOj=(180o)，反相：规定：袖|y|皇(1著80°伟)。tu,iu

iO=p/2润：u、i相位正苦交tu,iu

iOu领先ip/2。（不说u落后i3p/2）房诚；i落后up/2。（不说i领先u3p/2）桐。同样可比肠较两个电木压或两个材电流的相血位差。不同频率弊的两个正酷弦量之间吸的相位差饼不再是一箭个常数，犯而是随时间变收动。下面所讨然论的相位衣差都是同竹频率正弦界量之间的萄相位差。例.i1=20煤cos河(314t+30。)Ai2=10逝cos筒(314t-45。)A画出它页们的波比形并判掘断哪一个电据流超前哪衫一个电流滞后改。i1i2tOi1i2j=30。-（-45。）>0电流i1超前i275。。三.周期性煤电流、胶电压的剥有效值周期性电循流、电压遵的瞬时值善随时间而决变，为了迹确切的衡压量其大小加，工程到上采用巾有效值黎。电流有效梅值I定义为：瞬时值的湾平方在一笨个周期内狡积分的平吉均值再取贞平方根。物理意役义：周期性计电流i流过电涛阻R，在一周用期T内吸收秆的电能嫂，等于库一直流平电流I流过R,在时践间T内吸收航的电能延，则称求电流I为周期性通电流i的有效臣值。有效值虏也称均掀方根值壮(root开-mee狠n-sq兆uare，简记为运rms限。)1.有远效值(eff冤ect睛ive疑va惊lue)定义W2=I2RTRi(t)RI同样，可桶定义电压有效群值U：2.钞正弦电愁流、电征压的有各效值设i(t)=Imcos诉(t+yi)最大值与有效值之间有固定的。同理，腾可得正飘弦电压些有效值谊与最大龟值的关伏系：若一交骨流电压晓有效值骂为U=22李0V，笔则其最哑大值为Um311雹V；U=380干V，Um537房诚V。工程上说座的正弦电恶压、电流盆一般指有狼效值，如声设备铭牌啄额定值、赖电网的电选压等级等匀。但绝缘乎水平、耐巡寿压值指的膝是最大值覆。因此，口在考虑电危器设备的称耐压水平项时应按最血大值考虑混。测量中械，电磁前式交流鸭电压、闲电流表朵读数均惠为有效润值。*区校分电压赠、电流凝的瞬时琴值、最于大值、该有效值摔的符号结。或：为什么之用正弦鸡量?主要考虑形以下几点寇：1.正荒弦量是最宣简单的周失期量之一趴，同频正锻弦量在加扯、减、微梢分、积分国运算后得馋到的仍为袭同频正弦历量；2.次应用广佳泛；3.荣非正弦泼量用傅雕立叶级辫数展开捉后得到蕉一系列疾正弦函宽数。例.同图频方波相馅加方波方波不是方波两个正弦链量i1i2i1+i2i3wwwIm1Im2Im3123无论是品波形图蚁逐点相借加，或苗用三角含函数做睛都很繁吐。因同频园的正弦拒量相加详仍得到流同频的欢正弦量催，所以偷，只要如确定初贩相位和魄最大值系(或有铸效值)尾就行了挽。§5-3正弦量的违相量表示i1=Im1cos汗(wt+1)i2=Im2cos(wt+2)i3=i1+i2=Im3cos挤(wt+3)复数向间量也是瞧一个大疯小、一阔个幅角带，因此干，我们宇可以把询正弦量灶与复数针对应起第来，以便复数计纯算来代针替正弦喷量的计饿算，使壶计算变茄得较简卧单。1.正正弦量的蓄相量表示复函数没有物理钉意义对于任意鼻一个正弦伯时间函数陆都可以找玩到唯一的疼与其对应的复指数断函数：若对A(t)取实部扩：是一个页正弦量今，有物省理意义编。复常数称为正弦量i(t)对应的相量。加一个小敲圆点是用阶来和普通渠的复数相概区别(强支调它与正蛋弦量的联佩系)，同绕时也改用质“相量”，而虽不用“向量”，是因粒为它表示捞的不是一填般意义的掏向量，而柱是表示一压个正弦量痒。称为正弦量i(t)对应的相量。同样可以回建立正弦愧电压与相肤量的对应汁关系：i相量图(相量和晓复数一样众可以在平嫌面上用向蒜量表示)驻：不同频拍率的相油量不能链画在一简张向量延图上。q我们用交向量和盲一个正斧弦时间三函数对辈应看看妈它的几何意义：ejt为一模为骂1、幅角所为t的相量。概随t的增加，恒模不变，宁而幅角与t成正比菊，可视培其为一捡旋转相译量，当t从0~T时，相量即旋转一周缝回到初始暴位置，t从0~2拴。正弦波灭与旋转骆相量解：解：已知例1.试用相量表示i,u。例2.试写出电流的瞬时值表达式。2.鬼相量运呈算(1)横同频奖率正弦乒量相加先减故同频牢的正弦畏量相加兽减运算握就变成栋对应的拔相量相相加减运房诚算。i1i2=现i3例．解：y1y2+1+j同频正肚弦量的卧加、减痒运算可铺借助相担量图进夜行。相吐量图在断正弦稳袍态分析疯中有重浇要作用她，尤其裳适用于墙定性分摆析。将正弦量骆与相量建织立起对应往关系这实警际上是一乒种变换思济想，由时脱域变换到偶频域：时域：项在变量历是时间团函数条姓件下研悟究网络渔，以时罩间为自有变量分搞析电路错。频域：在委变量经过忌适当变换末的条件下没研究网络结，以频率敏为自变量盆分析电路桂。相量法：将正甘弦时间诵函数田“变换旬”为钟相量后莲再进行独分析,辉属火于频域姥分析。(2)纤.正弦岔量的微分正弦量躁的一阶叨导数仍廊然为一个同频泉率的正弦晨量，其相量等于闷原正弦量远的相量乘以jw。i(3).床正弦夫量的积分正弦量叠的积分尽仍然为庙一个同频率的止正弦量芒，其相灶量等于原正弦量选的相量除支以jw。i已知例.求：解：3.终相量法四的应用求解正洪弦电流枪电路的但稳态解尼(微分头方程的数特解)例一阶常魔系数线晴性微分巾方程自由分量跑(齐次方误程解)：强制分量咏(特解)兴：这个微贤分方程炉的特解极，即电贩路的稳匀态电流少（正弦台稳态响仗应）将鞋是与电秆压同频壳率的正蛋弦量。上式对应接于任何时颗间t成立，过则有：这个代数绑方程反映猴了正弦激照励与其同频率正酿弦响应之栗间的相量旁关系。小结②相于量法只稳适用于去激励为客同频正耽弦量的赔非时变铁线性电机路。③相量宾法可以用宁来求强制天分量是正县弦量的任领意常系数论线性微感分方程的主特解，即某可用来分连析正弦稳腐态电路。N线性N线性w1w2非线性w不适用①正弦量相量时域频域正弦波形图相量图一.灯电阻时域形式粱：相应的相势量形式：相量模抓型§5-4电路定太律的相拍量形式若：则：有：有效值蚁关系相位关钟系(uR,iR同相)ui=或：二.纵电感时域形式臂：若：则：相应的相骗量形式：有效值关刷系相位关鸣系或：(uL超前iL90°)i相量模萌型感抗的管物理意匙义：(1)表示限制鲁电流的能伙力；(2)频率和感柱抗成正比日,w0直洞流（XL=0)拆,w开路；(3)由于感制抗的存粪在使电竿流落后衰电压.煤。wXL写法注揉意：BL=-1/L，感纳孙，单位为横S宰(同电导亚)XL=L，称为荐感抗，朴单位为姑(峰欧姆)三、电蹄容时域形凡式：相量形冬式：相量模型若：则：或：u或：(iC超前uL90°)有效值关贪系：相位关贯系：BC=wC，驶称拿为容纳莫，单位观为S频率和容感抗成反比动,w0，评|XC|直流开沸路(隔厕直)w|XC|令XC=-1/wC，称仔为容抗痕，单位戴为W(欧姆)w触，|XC|0冰高频短股路(旁路作严用)四、线作性受控狼源VCC恒S（电栏压控制费的电流杏源）相量形式刑：相量模型五、壤基尔霍倾夫定律袄的相量江形式同频率沙的正弦菜量加减聚可以用委对应的券相量形仇式来进农行计算脱。因此虎，在正孙弦电流疼电路中傍，KC搁L和K碑VL可敲用相应汇的相量斯形式表裂示：上式表蜂明：流摩入某一箭结点的铸所有电啊