历年试题2011清华自主数学

以去掉三个圆，已知条件变为：ΔOO1O2O1O2C，OO1、OO2延长线上分别一点A、BO1A=O1C，O2B=O2C。O1O2CO1O2OO1O2OO2O1 OCAOCB1(OOOOOO) 1 2

，2(O1CAO2CB)

sin OCAOCB1OOO 1

，4(O1CAO2CB)

2

sin 2a，b60°角。AAa，b45 A有且只有一个B有且只有两个C有且只有三个D知两条相交直线a，b60°角，求空间中过交点与a，b都成45°角的直线。答案4个。 已知向量a0,1),b

,),c ,

xaybzc1,1)x2y2z2的最小值为

A B C D xaybzc1,1 3y 3z

3(yz)

， xyz

xyz (yz)2(yxy

x 2z，yz三个变量，变形

yz

2323yz2(x (yz)2(yxy

x2x22(x1)223x24x83(x2)24 AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦，O为坐标原点，且OFA135，C为抛物线准线与x轴的交点，则ACB的正切值为( 2454322454323F（1，0，（-1，0，ABA2222)，B2222)kCAA

=2 222

222

kCAkCB21kCAkCB

22ABCD中，∠BAD=45°，EF∥DA，EF=2，AF=AD，BF=BC，求∠AEB。FB FBEC2 tanAEFtanEAD 2 2tanBEFtanEBC 22tanAEBtan2AEF22 SBDFDESBDEzSBDESBDEABSABE1x)SABE

AES

，于是

(1x)

2(1xyz。将1yzx1，变形为yzx1，暂时将x看成常数，欲使yz1yz

x2

，于是SBDF2(1x)(x

12 123取极大 (10)11911边形内两两不相交，则（）ABC3D1∠ADC180°-∠B，所以∠DB，CEAEBD ABADC假设ΔABC中∠BACAC的另一侧的相邻(AC)ΔACD，则∠D=180°-∠B是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。所以答案是D。

tanCtan(AB)

tanAtantanAtanB1

3tanB3

3 1 2

43sin2Asin 43sin2又

sin

sin

sin3

3 sin2Asin 3 sin(AC)cos(A cos2(AC)cos2(Acos2(AC)cos2B

sin(AC)sinB 13， 2132，代入得2cos2(AC13cos(AC)，4cos2(AC)3cos(AC)10

cos(AC)4

cosAC1， （12）a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不=1。 底面的距离）为2，水的重心位置为4213 42 ) =a：x22b a1xa2置为b，于是 2bx，解得x a2a （13）f(xaxb，f(11，f23x12，xn1f(xn求数列{xn}的通项x 证明x f(11，f()2

得ab1，f(x3

x

x12，x23，x35，x49xn2n112k明。当n=1显然成立；假设n=k显然成立，即xk2k11，则xk1

f(x)2xk

kkkx 2kkkk 2e。事实上 (11(11x

)(1

1 12a1a)22na1a)2n1x

1)2n121

1)2n12(1

1)2n2e1 已知双曲线C

1(a0b0)F1F2C的左右焦点。PC （I）Ce(II)AC的左顶点，QC上的任意一点，问是否存在常数FEFEPx ΔPF1F2中，FPF，FPF的面积为3 F1F22cca

，EPF1上一点，PEPF2，EF13设PE=PF2=EF2