2017年高考浙江数学试题及答案(word解析版)

#2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)

数学(理科)第I卷(选择题共40分)二选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.(1)【2017年浙江，1,4分】已知尸={%|—,Q={—2<%<0},则尸UQ=()(A)(-2,1) (B)(-l,0) (C)(0,1) (D)(-2,-1)【答案】A【解析】取尸,Q所有元素，得尸UQ=(-2,1),故选A.【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力.(2)【2017年浙江，2,4分】椭圆上+*=1的离心率是( )9 4(A)13^- (B)正 (C)2 (D)53 3 3 9【答案】B_ _【解析】e=亚二4=巨，故选B.3 3【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力.(3)【2017年浙江，3,4分】某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位:cm3)是( )(A)-+1 (B)-+3 (C)把+1 (D)把+32 2 2 211侧视图【答案】A【解析】由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3,故该几何体的体积为V=1x3x(…+1x2x1)=n+1，故选A.3 2 2 2【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征,是基础题目.「 匕册、 八，什 、"口"击反/〃""0 n| MH沿廿L.日(4)【2017年浙江,4,4分】若x,y满足约束条件,+y-3>0，则z=x+2y的取值范围是x-2y<0( )(A)[0,6] (B)[0,4](C)[6,+»] (D)[4,+s]【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4,无最大值，故选D.【点评】本题考查线性规划的简单应用,画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键.(5)【2017年浙江,5,4分】若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M-m()(A)与a有关，且与b有关(C)与a无关，且与b无关【答案】B(B)与a有关，但与b无关(D)与a无关，但与b有关【解析】解法一：因为最值在f(0)二b,f⑴=1+a+b,f(-2)二b若中取，所以最值之差一定与b无关,故选B解法二：函数于(x)=x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x=-2为对称轴的抛物线①当-2〉1或

--<0,即o<—2,或。>0时，函数/(%)在区间［0,1］上单调，此时M-m=|f(1)-f(0)|=|a|,故M函数f(x)在区间0「2上递减,在-乙a..2,1上递增，且f(0)>f(1),此时M-m=f(0)函数f(x)在区间0「2上递减,在-乙a..2,1上递增，且f(0)>f(1),此时M-m=f(0)-fT,故M一m的值与a有关,与b无关；③当即-1<a<0时，函数f(x)在区间0,-为上递减，在-|,1上递增，且f(0)<f(1),此时M-m=f(0)-fI-2二a-a2，故M-m的值与a有关,与b无关.综上可得:M-m的值与a有关,与b无关，故选B.【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键.(6)【2017年浙江，6,4分】已知等差数列此a］的公差为d，前n项和为Sn n(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充分必要条件【答案】C【解析】由S+S-2S=10a+21d-2(5a+10d)=d,可知当d>0时4 6 5 1 1贝厂d>0"是"S+S>2S"的()

4 6 5(D)既不充分也不必要条件有S+S—2S>0,即S+S>2S,反之，若S+S>2S，则d>0,所以“d>0”是“S+S>2S”的充要条件，故选C.【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题.(7)【2017年浙江,7,4分】函数y=f(%)的导函数y=f(x)的图像如图所示，则函数y=f(x)的图(D)【解析】解法一：由当f(x)<0时，函数/(x)单调递减，当/(x)>0时，函数/(x)单调递增，则由导函数y=/(x)的图象可知：f(x)先单调递减,再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A,C,且第二个拐点(即函数的极大值点)在x轴上的右侧，排除B,,故选D.解法二：原函数先减再增，再减再增，且x=0位于增区间内，故选D.考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基【点评】本题考查导数的应用考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基(8)【2017(8)【2017年浙江,8,4分】已知随机变量己,满足P怎=1)=pP(己=0)=1-p,i=1,2.若01 i<p<p<-■ 22则()(则()(A)E(&)<E(&),D(&)<D(&)(B)E(&)<E(&),D(&)>D(&)(C)(C)E(&)>E(&),D(&)<D(&)①)E(&)>E(&),D(&)<D(&)【答案】A112 2 11112 2 2【解析】•:E也)=p,E(&)=p,「.Eg)<E(&”：D(1)=p(1-p),D(&)=p(1-p)112 2 11112 2 2D(g)-D©)=(p—p)(1—p—p)<0,故选A.【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.(9)【2017年浙江，9,4分】如图，已知正四面体D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥)，PQR空间想象分别为AB,BC,CA上的点，AP=PBD-PQ-R,D-QR-P的平面较为a,(A)y<a<p【答案】B(B)a<y<p吃=CR=2，分别记二面角D-PR-Q,QCRAp，y，则()(C)a<p<y (D)p<y<a【解析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系,设底面0(0,0,0),P(0,-3,0),C(0,-6,0),dI,0,6也勺中心不妨设0<=3.则3,2,0),Rv—2<3,0,0),PR=(2\3,3,0),PD=Q,3,6\2),Pq=(m,5,0),QR=(3点,-2,0),—2,6<2).设平面PDR的法向量为n( \ntln.PR=0上曰=(x,y,z)，则<_.，可得n•PD=0贝Ucos::m,n\=<2「坊x二3y=0，可得n=3y+6亚z=02,-1)取平面ABC的法向量m=(0,0,1).1 3,取a=arccos .同理可得:P=arccos.y15 <681Dy=arccos.・-^=〉-^=〉.<95v15v95<681解法二:如图所示，连接OD,OG±QR，垂足分别为E,OE一，一--E一:.同理可得:4OE2+h2OQ,OR，过点O发布作垂线：OE±DR,OF±DQ,SF,G，连接PE,PF,PG.设OP=h.则cosa=FDRSAPDRcosP=OFOFOGOG—= —c,cosy= = —PFSOF2+h2 PG、：OG2+h2口BQOEPE由已知可得：OE〉OG〉OF.・cosa〉cosy〉cosP,a,P，y为锐角.・,・口〈丁〈隹故选B.【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题.(10)【2017年浙江，10,4分】如图，已知平面四边形ABCD,AB±BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I=OA・OB,(A)I<I<I1 2 3【答案】C【解析】•.・AB±BC1(B)I<I<I1 3 :I=OBOC2,I=OCOD，则(3(C)I<I<I)(D)I<I<I2 2 3AB=BC=AD=2・・・AC=2<2,由图象知OA<OC,OB<OD,・・・0〉OA-OB〉OC-OD,・・・ZAOB=ZCOD〉900,O•OC〉0,即I<I<I，故选C.3 1 2【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键.第n卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.(11)【2017年浙江,11,4分】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率n,理论上能把n的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将兀的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年,圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S内，S内【答案】m32【解析】如图所示，单位圆的半径为1,则其内接正六边形ABCDEF中，AAOB是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF的面积为S=6x-x1x1xsin60“割【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题.(12)【2017年浙江，12,6分】已知abgR,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位)则a2+b2=【答案】5；2ab【解析】由题意可得a2—b2+2abi=3+4i,贝I」a2-b2=3，解得ab=2a2=4，贝Ua2+b2=5,ab=2.b2=1【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，(13)【2017年浙江，13,6分】已知多项式(x+1)G+21=x5+ax4+ax3+ax2+ax1+a,1 2 3 4 5属于基础题.【解析】由二项式展开式可得通项公式为：CxCm%分别取厂=0,加=1和厂=1,加=0可得a=4+12=16,令3 2 4【点评】本题考查了解三角形的有关知识，(15)【2017年浙江,15，6【解析】由二项式展开式可得通项公式为：CxCm%分别取厂=0,加=1和厂=1,加=0可得a=4+12=16,令3 2 4【点评】本题考查了解三角形的有关知识，(15)【2017年浙江,15，6分】已知向量a，关键是转化，属于基础题.b满足|a|=1,|b|=2,则a+b|+a-b|的最小值是;最大值是 【答案】4；2V5【解析】解法一:设向量a和b的夹角为0,由余弦定理有|a-b="2+22-2x1x2xcos0=-.5-4cos0,a+b=/^2^22-2x1x2xcos(兀-0)=45+4cos0,则”a+b|r|a-b=Armcos0+、；5-4cos0令y=<5+4cos0+v5-4cos0，贝I」>2=10+2v25-16cos20e116,20],据此可得:=<20=2<5,)=声6=4,即a+b+a-b的最小值为4,最大值为275.min解法二记ZAOB=a，则0Vav兀，如图，由余弦定理可得：a-b=^/5-4cos0,|a+b|=七5T4cos0，令x=\：5-4cos0,y=\：5+4cos0,则I」x2+y2=10(x,y>1),其图象为一段圆弧MN，如图,令z=x+y，则y=-x+z，则直线y=-x+z过M、N时z最小为z=1+3=3+1=4，当直线y=-x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几min _何知识易知z即为原点到切线的距离的<2倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的v2倍，max所以z=近x屈=2后.综上所述，|a+b+a-b的最小值为4,最大值为2石.max I)maxa=

5

【答案】16；4尢=0可得〃=13X22=4.5【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题.(14)【2017年浙江，14,6分】已知AABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点，BD=2,连结CD，则ABDC的面积是；cosZBDC=.【答案】立5;亘0TOC\o"1-5"\h\z2 4【解析】取BC中点E,DC中点F,由题意：AE1BC,BF1CD,AABE中，cosZABC=BE=1,AB4:.cosZDBC=-1,sinZDBC=.1--=*,「.S =1xBDxBCxsinZDBC二空.4 16 4 △bcd2 2又...cosZDBC=1-2sin2ZDBF二一1,「.sinZDBF=10，,「.cosZBDC=sinZDBF二24 4 4综上可得，ABCD面积为口5,cosZBDC=匚0.2 4【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题.(16)【2017年浙江，16,4分】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有中不同的选法.(用数字作答)【答案】660【解析】解法一:由题意可得:“从8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队”中的选择TOC\o"1-5"\h\z方法为:C4xC1xC1种方法，其中“服务队中没有女生”的选法有C4xC1xC1种方法，则满足题意的选法有:8 4 3 6 4 3C4xC1xC1-C4xC1xC1=660种.8 4 3 6 4 3解法二：第一类，先选1女3男，有C3C1=40种，这4人选2人作为队长和副队有A2=12种，故有6 2 440x12=480种，第二类冼选2女2男，有C2c2=15种，这4人选2人作为队长和副队有A2=12种，6 2 4故有15x12=180种，根据分类计数原理共有480+180=660种，故答案为:660.【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理,属于中档题.范围是—【答案】(Y0,|]【解析】％ 4]9.•・a-—范围是—【答案】(Y0,|]【解析】％ 4]9.•・a-—2舍去；②当a<4时，f(x)-x+4-a+a-x+4<5,止匕时命题成立;③当4<a<5时，卜(，)]-max14-a|+a,|5-a|+a｝，则:<maxx|4—a|+a>|5—a||4-a|+a-5|4-a|+a<|5-a|+a

|5―al+a-5(17)【2017年浙江，17,4分】已知awR,函数/(x)=x+d-在区间限41上的最大值是5,贝八的取值+-e[4,5],分类讨论:①当a>5时,f(x)=a-x-—+a-2a-x-—，函数的最大值2a一4-5,x x x解得：a-9或a<9，综上可得，实数a的取值范围是2 2【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数,考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题.三、解答题:本大题共5题，共74分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.(18)【2017年浙江,18,14分】已知函数f(x)-sin2x-cos2x-2v3sinxcosx(xeR)■⑴求f⑴求f的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解：(1)解：(1)f(x)=sin2x-cos2x_2、3sinxcosx二一cos2x-V3sin2x--2sin2x+巴I6f2YI--2sin-77+7|-2■(2)由f(x(2)由f(x)=C(c兀)-2sin2x+-f(x)的最小正周期为兀兀 兀 兀.令2kn一<2x+—<2kn+ ,keZ，得keZ，函数f(x)的单调递增区间为kn--3【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性,三角函数的单调区间，难度中档.(19)【2017年浙江,19,15分】如图,已知四棱锥P□ABCD,APAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC//AD,CD1AD,PC-AD-2DC-2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE//平面PAB；(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.解：解法一：(1)取AD的中点F,连接EF,CF;E为PD的重点，•二EF//PA，在四边形ABCD中，BC//AD,AD-2DC-2CB,F为中点易得CF//AB,••・平面EFC//平面ABP,EECu平面EFC,・・.EC//平面PAB■(2)连结BF，过F作FM1PB与M,连结PF,因为PA-PD，所以PF1AD,易知四边形BCDF为矩形，所以BF1AD，所以AD1平面PBF,又AD//BC所以BC1平面PBF，所以BC1PB，设DC-CB-1,则AD-PC-2，所以PB-<2,BF-PF-1,所以MF-1,又BC1平面PBF，所以BC1MF，所以MF1平面2PBC,即点F到平面PBC的距离为2也即点D到平面PBC的距离为2,因为E为PD=v2，由余弦定PD的中点，所以点E到平面PBC的距离为L在APCD中,PC-2,CD-PD=v2，由余弦定1 _理可得CE-<2设直线CE与平面PBC所成的角为0，则sinG-工-二史， CE8解法二：(1)略;构造平行四边形.(2)过P作PH1CD,交CD的延长线于点H在Rt&PDH中，设DH-x，则易知.v/R(五)2-X2+(1+X)2=22(RtAPCH),解得。〃 过”作5C的平行线，取2.一，一(3 \°H=5C=1,由题易得5-,0,0，、2 ,P卜,0§](11右、 —»(五)2-X2+(1+X)2=22(RtAPCH),解得。〃 过”作5C的平行线，取2.一，一(3 \°H=5C=1,由题易得5-,0,0，、2 ,P卜,0§](11右、 —» «1、瓜 —>2 .6—»EI“2,77，则CE=(—“—2,7)，PB=(20—三)，BC=(0』，0)，设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，则<-、3 -3八n-PB=-x——z=02 2n•BC=y=0，令x=1，贝1Jt=\;3，故n=(1,0,；：3)设直线CE与平面PBC所成的角为0，则sin6=1cos0<CE,nl=l—5+亘Xv3l1：T4 4 =_J_=v£125~~1~~3~c_2<2―8:—+-+—x216416故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为—8【点评】本题考查线面平行的证明,考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.(20)【2017年浙江，20,15分】已知函数f(x)=—\：2(1)求f(x)的导函数；(2)求f(x)在区间［L+s)上的取值范围.

^2解:(1)f'(x)=(2)令g(x)=x-\.：2x-1,贝1Jgf(x)=1—上，<2x—1t2x—1当1<x<1时，2二(一)|1-e—x1— 1 —x+g'(x)<0，当x>1时,gf(x)〉0，则g(x)11=e2,2, -- 1二,十s上的最大值为一e-综上，f(x)在区间-,+s上的取值范围是0,1e--- 2【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题.(21)【2017年浙江，21,15分】如图，已知抛物线x2=y点P(x,y)—I.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;(39A b3,9,抛物线上的1247x(1A2,11271(5A1<2I2752(5A亍+s12 7/(x)0+0f(x)X/X当x变化时,f(x),尸(x)的变化如下表:在x=1处取得最小值，既最小值为0,又e-x〉0，则f(x)在区间1—一 一,+s上的最小值为0.27/、 55f(1)=0,fI-乙

(2)求|AP|•忸Q|的最大值.1X2解：(1)由题易得P(X,X2),-1<X<3,故K=一4二X-1式-1,1),故直线AP斜率的取值范围为(-1,1).2 2ap1 2XH 2(2)由(1)知P(x,X2),-1<x<3,所以再=\-1-x」-X2|，设直线AP的斜率为k，则AP:y=日+1k+1,2 2 I2 4 ) y2 4联立直线AP联立直线AP、BP方程可知/3+4k-k29k2+8k+1、

、2k2+2，4k2+4,；(1+k-k2-k3-k4-k3+k2+k).旧.―») ,, ,)k2(1+k)(k-1)1+k2(1+kk2(1+k)(k-1)1+k2(1+k)(k-1)，k)3(k-1)故-Pia\-Piq\=pa-pq= +1+k2所以pA|.|PQ|=(1+k)(1-k)，令f(x)=(1+x)(1-x)，-1<x<1，则-(x)=(1+x»(2-4x)=-2(1+x»(2x-1)，由于当-1<x<-1时尸(x)〉0,2即PA・|PQ|的最大值为27.16当1<x<1时尸(x)<0，故即PA・|PQ|的最大值为27.162 max 12) 16【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题.(22)【2017年浙江，22,15分】已知数列｛x｝满足:X=1,x=x+ln(1+x)(neN*).证明:当neN*时，n 1 nn+1 n+10Vx<x;n+1nXX2X-X<nn+1;TOC\o"1-5"\h\zn+1 n2—<x<—.2n+1 n 2n+2解:(1)令函数f(X)=X+ln(1+x)，则易得f(X)在[0,。)上为增函数.又X=f(X)，若X〉0nf(x)〉f(0)=