2017年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案

#2017年湖南省普通高中学业水平考试

数学（真题）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分100分.一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（图1）侧视图1.已知一个几何体的三视图如图1所示,则该几何体可以是（（图1）侧视图A、正方体B、圆柱。三棱柱D、球2.已知集合A=b1｝,B=他｝,则AuB中元素的个数为（）A、1 B、2 C、3 D、43。已知向量a=（x,1）,b=（4，2）,c=（6,3）。若c=a+b，则x=（A、—10 B、10 C、-2 D、24。执行如图2所示的程序框图，若输入乂的值为一2,则输出的丫=（）A、-2B、0C、2D、45。在等差数列匕｝中，已知a+a=11,a=16,n 12 3则公差d=（）A、4 B、5 C、6 D、76。既在函数f（x）=x2的图像上，又在函数g（x）=x-i的图像上的点是（）A、（0,0）B、（1,1）C、（2,9。已知a=log2—9。已知a=log2—,b=1,c=log2422.如图3所示，四面体ABCD中，E,F分别为AC,AD的中点，则直线CD跟平面BEF的位置关系是（）人、平行8、在平面内C、相交但不垂直D、相交且垂直.已知sin20=sin8,8w（0,兀）,则cos0=（）TOC\o"1-5"\h\z一：3 1 1A、-- B、-- C、士 D、则()2 2 2则()A、a<b<cB、b<a<cC、c<a<bD、图410、如图4所示，正方形的面积为1。在正方形内随机撒图41000粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为（）B、D、A、B、D、C、二、填空题：本大题共5小题，每小题4分,共20分。11.已知函数f（x）=C0S3x,xGR（其中3>0）的最小正周期为兀,则3=12.某班有男生30人,女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区服务,则抽出的学生中男生比女生多 人。.在AABC中，角A，B,C所对的边分别为a,b,c。已知a=4，b=3，sinC=1，则AABC的面积为 .［x>0,.已知点A（1,m）在不等式组（y>0,表示的平面区域内，则实数m的取值x+y<4范围为..已知圆柱OO及其侧面展开图如图所1示，则该圆柱的体积为.三、解答题：本大题共有5小题，共40分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。.（本小题满分6分）已知定义在区间［兀，已知定义在区间［兀，兀］上的函数f（x）（1）将函数f（x）的图像补充完整；（2）写出函数f（x）的单调递增区间。=sinx的部分函数图象如图所示。.（本小题满分8分）已知数列匕｝满足a=3a（ngN*），且a=6。n n+1 n 2⑴求a及*(2)设b(2)设b=a一2,

nn求数列%｝的前n项和S。.（本小题满分8分）为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图,（1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数；（2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，求选出的两人来自同一组的概率。.（本小题满分8分）已知函数小［，:）2：；；,0.（1）若山=—1,求f（0）和f（1）的值，并判断函数f（x）在区间（0,1）内是否有零点；；（2）若函数f（x）的值域为［—2,+8），求实数m的值。.（本小题满分10分）已知。为坐标原点，点P（1，、口）在圆M：x2+y2-4x+分+1=0上，（1）求实数a的值；（2）求过圆心忖且与直线OP平行的直线的方程；（3）过点。作互相垂直的直线l,l，l与圆M交于A，B两点，l与圆M交于C，12 1 2D两点，求|AB|•|CD|的最大值。2017年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

参考答案及评分标准、选择题（每小题4分，满分40分）1。A2。C3.D4。B5.D6。B7。A8。C9。A10.B二、填空题（每小题4分，满分20分）11。2 12。 1 1。A2。C3.D4。B5.D6。B7。A8。C9。A10.B二、填空题（每小题4分，满分20分）11。2 12。 1 13。 6 14.（0,3） 15。4兀三、解答题（满分40分）16、（6分）解析:（1）对函数 £ T-兀的图像补充如下图所示： 3分（2）由图可得函数f（x）的单调递增区间为:兀兀2,26分17、（8分）解析：（1）因为a=3a且a=6n+1 n2a所以a1=k=2 2分nyO-11nnx2所以数列｛a｝是首项为2,公比为3的等比数列n所以a=2x3n-1 4分n(2)由(1)知a=2x3n-1,故b=a-2=2x3n-1-2 5 分n nn所以｛b｝的前n项和为:ns二(2-2)+(6-2)+(18-2)+…+(2x3i-2)n=(2+6+18+…+2x3-1)-2n2(3n-1)。二 一2n8分18、（8分）解析：（1）根据频率分布直方图可估计本次测试成绩的众数为：70+80x= =75 众数2（2）根据已知条件可得在抽取的20名学生中,4分成绩在区间［80,90）的人数为：20x0.15=3，这3人分别记为a,b,c成绩在区间［90,100］的人数为:20x0.10=2,这2人分别记为d，e若从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，其所有情况有：ab,ac,ad，ae,bccd,ce,de共10个基本事件，bd,be,其中两人来自同一组所含基本事件有：所以选出的两人来自同一组的概率为：ab，ac，bc,de共4个.42P=——=—1058分2(x-1)2-1,x>0.19、（82(x-1)2-1,x>0.f(0)=2-1=1,f(1)=-1所以 …………2分xe[0,1] f(x)=2(x-1)2-1 f(0).f(1)<0又因为 时 是连续函数且TOC\o"1-5"\h\zf(x) (0,1)所以在区间内必有零点 4分x<0 f(x)=2x 0<f(x)<1(2)因为当时， ，此时 ；当x>0时,f(x)=2(x-1)2+m>m 6 分而f(x)的值域为[-2,+8)，所以m=-2 8分20、(10分)(1)因为点P(1,22)在圆M：x2+y2-4x+ay+1=0上所以12+（<2）2-4x1+ax2.-'2+1=0na=0 3 分, <2-0（2）因为直线OP的斜率为koP=不b二”2，圆M的圆心为M（2，0）所以过圆心M且与直线OP平行的直线的方程为：y-0=<2（x-2）即｛2x-y-2<2=0 6分（3）因为圆M的标准方程为：（x-2）2+y2=3，故直线l,l的斜率均存在。12设直线l的方程为kx-y=0，则l的方程为x+ky=012|2k|于是圆心M到直线l的距离为d= 3-k2k2+3-k2k2+1于是IABI=2(3-d;=2、,：3-芒1=22圆心M到直线l的距离为d=—1Jk2+13k3k2-1k2+1又由所以ICDI=2\,；3-d2=2\；3-k^+1=2d<朋 3 J3 J3-