常微分方程初值问题初步

常微分方程初值问题初步第1页，共40页，2023年，2月20日，星期一马尔萨斯人口模型：假设某特定区域在t0时刻的人口p(t0)=p0为已知的，该区域人口的自然增长率为α。人口的增长与人口的总数成正比，所以t时刻的人口总数p(t)满足如下的微分方程：生活中常常有这样一类问题：问题的提出这些常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的问题，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法。第2页，共40页，2023年，2月20日，星期一解析法：给出精确解析解。只适合少数简单情况。近似解法：给出解的近似表达式。如级数法,逐步逼近法。数值方法：给出方程在离散点上的近似解。它适合计算机求解,应用广泛,具有理论应用价值。常微分方程的解法：内容分类：定解问题初值问题边值问题单步法Euler方法Taylor方法和Runge-Kutta方法多步法Adams方法和一般线性多部法线性多部法的收敛性与稳定性第3页，共40页，2023年，2月20日，星期一一阶常微分方程初值问题的一般形式：问题:求函数满足其中:f(x,y)为已知函数,

α是已知值.(可能是观察值或实验值)基本条件：

f(x,y)在D上连续；

f(x,y)在D上关于变量y满足Lipschitz连续条件：设满足解的存在唯一第4页，共40页，2023年，2月20日，星期一对求解区域[a,b]做剖分构造数值解法的基本思想在区间[xk,xk+1]上对微分方程做积分,则有常用等步长:,则有将微分方程的准确解记为y(x),称为步长。的近似解记为能不能将微分转化为积分？第5页，共40页，2023年，2月20日，星期一因此，建立节点处近似值yn满足的差分公式称之为Euler公式.

对右边的积分应用左矩形公式，则有第6页，共40页，2023年，2月20日，星期一Euler公式的几何意义特点：简单，精度低.第7页，共40页，2023年，2月20日，星期一例求解初值问题解：

Euler公式的具体形式为取步长h=0.1，那么即可计算该微分方程。具体结果见下页。第8页，共40页，2023年，2月20日，星期一xnyn0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848y(xn)1.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321解析解：第9页，共40页，2023年，2月20日，星期一(2)前向差分近似微分法前向差分近似

,得将近似号改为等号，结合初始条件即得：■前面Euler方法是通过左矩形积分方法推导出来的，实际上Euler方法还可以通过其他几种方法推导出来。第10页，共40页，2023年，2月20日，星期一(3)Taylor展开法忽略高阶项，结合初值条件y(x0)=α即得将y(xk+1)在x=xk点进行Taylor展开11Euler公式的局部截断误差：第11页，共40页，2023年，2月20日，星期一后退的Euler公式如果采用后向差分近似

,得将近似号改为等号，结合初始条件即得：未知这一类公式称为隐式的，相对应的前面介绍的Euler公式称为显式的第12页，共40页，2023年，2月20日，星期一显式：更加方便计算隐式：数值稳定性更好显式与隐式的特点：隐式方程的计算方法：隐式方程常用迭代法计算，而迭代的过程实质是逐步显式化。设用Euler公式给出迭代的初值，用它代入后退Euler公式，使之转化为显式，得然后再代入后退Euler公式第13页，共40页，2023年，2月20日，星期一如此反复进行得：如果迭代过程收敛，则极限值必满足隐式方程，从而获得后退Euler方法的解。后退Euler方法局部截断误差为第14页，共40页，2023年，2月20日，星期一例用后退Euler方法求解初值问题解：

(1)取步长h=0.1，首先用Euler方法计算初值，(2)用它代入后退Euler公式，使之转化为显式，得第15页，共40页，2023年，2月20日，星期一xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321yn(0)1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848yn(1)1.09181.17741.25821.33511.40901.48031.54981.61781.68481.7512yn(2)1.09091.17461.25281.32641.39631.46331.52791.59081.65241.7133yn(3)1.09081.17421.25151.32391.39191.45621.51741.57591.63221.6868第16页，共40页，2023年，2月20日，星期一第17页，共40页，2023年，2月20日，星期一Euler后退Euler■误差如果将这两种方法进行算术平均，即可消除误差的主要部分从而获得更高的精度。这种平均化的方法通常称为梯形方法，其计算公式为：第18页，共40页，2023年，2月20日，星期一即为前面导出的梯形微分方程公式.若对上式右边的积分应用梯形求积公式，则可导出差分公式■梯形公式也可以通过积分的方法来获得：将微分方程化为积分方程的形式第19页，共40页，2023年，2月20日，星期一■梯形方法的求解梯形方法是隐式的，可用迭代法求解。同后退的Euler方法一样，仍用Euler方法提供迭代初值，则梯形法的迭代公式为：第20页，共40页，2023年，2月20日，星期一例用梯形方法求解初值问题解：

(1)取步长h=0.1，首先用Euler方法计算初值，(2)用它代入梯形公式，使之转化为显式，得第21页，共40页，2023年，2月20日，星期一xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321yn(0)1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848yn(1)1.09591.18441.26711.34521.41971.49111.56021.62731.69301.7577yn(2)1.09571.18371.26561.34271.41581.48561.55271.61741.68031.7418yn(3)1.09571.18361.26551.34241.41521.48451.55081.61471.67631.7361第22页，共40页，2023年，2月20日，星期一第23页，共40页，2023年，2月20日，星期一问题梯形法虽然提高了精度，但其算法复杂，在迭代公式进行计算时，每迭代一次，都要重新计算函数f的值，而迭代又要反复进行若干次，计算量很大，而且往往难以预测。1用Euler公式求得一个初步的近似值再用梯度公式将它校正一次为了控制计算量，通常只迭代一两次就转入下一步的计算2预测值校正值这个方法也叫做：改进的Euler公式或预估-校正公式第24页，共40页，2023年，2月20日，星期一预测校正这个公式也可以写为第25页，共40页，2023年，2月20日，星期一xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321Euler1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848改进Euler1.09591.18411.26621.34341.41641.48601.55251.61531.67821.7379第26页，共40页，2023年，2月20日，星期一第27页，共40页，2023年，2月20日，星期一梯形法步骤：预估校正法步骤：Euler梯形梯形梯形Euler梯形Euler梯形第28页，共40页，2023年，2月20日，星期一■Euler两步方法如果采用后向差分近似

,得后向Euler方法如果采用前向差分近似

,得Euler方法如果采用中心差分近似

,得Euler两步方法即第29页，共40页，2023年，2月20日，星期一前面介绍过的数值方法，无论是Euler方法，后退的Euler方法，还是改进的Euler方法，他们都是单步法，其特点是在计算yn+1时值用到前一步的信息yn；然而Euler两步法中的公式除了yn外，还显含更前面一部的信息yn-1，即调用了前面两步的信息，Euler两步法因此而得名。■单步法的优点：单步法的优点是“自开始的”，只要给出初值y0

，依计算公式可顺次计算y1，y2…而两步法除了给出初值y0，还需要求助于其他单步法再提供一个开始值y1，然后才能启动计算公式依次计算y2，y3…

第30页，共40页，2023年，2月20日，星期一■两步法的优点：两步法的优点是它调用了两个节点上的已知信息，从而能以较少的计算量获得较高的精度。如果用Euler两步公式与梯形公式相匹配，得到下列预测-校正系统：校正预测第31页，共40页，2023年，2月20日，星期一例用Euler两步法求解初值问题解：

(1)取步长h=0.1，首先用Euler方法计算初值，(2)用它代入Euler两步法公式，得第32页，共40页，2023年，2月20日，星期一xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321Euler1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848Euler两步1.10001.18361.26911.34291.41861.48561.55421.61631.67941.7378第33页，共40页，2023年，2月20日，星期一第34页，共40页，2023年，2月20日，星期一例用Euler两步法的预测校正方法求解初值问题解：

(1)取步长h=0.1，首先用Euler方法计算初值，(2)用它代入Euler两步法公式，得(3)用它代入梯形公式，得第35页，共40页，2023年，2月20日，星期一xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321Euler1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848Euler2步1.10001.18361.26911.34291.41861.48561.55421.61631.67941.7378预估校正