工程流体力学第二章

工程流体力学第二章第1页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.1流体的静压强及特性2.2流体平衡微分方程2.3流体静力学基本方程2.4压强的单位及测量仪表2.5静止液体作用在壁面上的总压力2.6阿基米德原理及固体在液体中的沉浮问题2.7流体的相对平衡主要内容第2页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.1

流体静压强及其特性

一、流体静压强面积DA的平均流体静压力流体静压力（流体静压强）静止流体单位面积上所受的作用力第3页，共79页，2023年，2月20日，星期一NNpnPτ2.1

流体静压强及其特性

1、特性一：流体静压强的方向必然重合于受力面的法向方向第4页，共79页，2023年，2月20日，星期一2、特性二：静压强的大小与作用面方向无关，或说作用于同一点上各方向的静压强大小相等。证明：0yzxdxdydz△py△px△pz△pn（1）作用力①表面力：ABC2.1

流体静压强及其特性

第5页，共79页，2023年，2月20日，星期一②质量力：0yzxdxdydz△py△px△pz△pnABC（2）受力平衡：∑Fi=0研究x方向：∑Fx=02.1

流体静压强及其特性

第6页，共79页，2023年，2月20日，星期一令四面体OABC向O点收缩成极小流体质点：略去高阶无穷小量：Px=pn，Pz=pnPy=pn同理：Px=py=pz=pn2.1

流体静压强及其特性

第7页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.2流体平衡微分方程

一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程

在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为dx，dy，dz，设中心点的压强为p(x,y,z)=p，对其进行受力分析：y向受力表面力质量力第8页，共79页，2023年，2月20日，星期一根据平衡条件，在y方向有

，即流体平衡微分方程（即欧拉平衡方程）：2.2流体平衡微分方程

第9页，共79页，2023年，2月20日，星期一物理意义：处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此相等。压强沿轴向的变化率（

）等于轴向单位体积上的质量力的分量（ρX，ρY，ρZ）。2.2流体平衡微分方程

第10页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.2.2、流体平衡微分方程的积分

∵p=p(x,y,z)压强全微分式各项依次乘以dx,dy,dz后相加得：W－势函数2.2流体平衡微分方程

第11页，共79页，2023年，2月20日，星期一三、帕斯卡原理

质量力（与p0无关）表面力如果静止液体边界处的压强p0变为p0Dp0流体中任意点处的静压强变为处于平衡状态下的不可压缩流体中，任意点处的压强变化值Dp0将等值地传递到流体其它质点处。2.2流体平衡微分方程

第12页，共79页，2023年，2月20日，星期一四、等压面

等压面（equipressuresurface）：是指流体中压强相等（p=const）的各点所组成的面。

只有重力作用下的等压面应满足的条件：1.静止；2.连通；3.连通的介质为同一均质流体；4.质量力仅有重力；5.同一水平面。提问:图中所示哪个断面为等压面?

质量力与等压面正交2.2流体平衡微分方程

第13页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.3

流体静力学的基本方程一、重力作用下静止液体的压强分布规律

重力作用下静止流体质量力：代入流体平衡微分方程在自由液面上有：z=H时,p=p0

代入上式有:第14页，共79页，2023年，2月20日，星期一1.液体静力学基本方程：或

当p0=0时结论：

1）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深度按线性规律增加。

2）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。3）自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。4）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的压强值。2.3

流体静力学的基本方程第15页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.3.3静止液体中的等压面由于等压面与质量力正交，在静止液体中只有重力存在，因此，在静止液体中等压面必为水平面。对于不连续的液体或者一个水平面穿过了两种不同介质连续液体，则位于同一水平面上各点压强并不一定相同，即水平面不一定是等压面。2.3

流体静力学的基本方程第16页，共79页，2023年，2月20日，星期一a.绝对压强（absolutepressure）：是以绝对真空状态下的压强（绝对零压强）为基准计量的压强，用

表示,

。2.3.4绝对压强、相对压强、真空度b.相对压强（relativepressure）：又称“表压强”，是以当地工程大气压(at)为基准计量的压强。用p表示，

,p可“＋”可“–”，也可为“0”。c.真空（Vacuum）：是指绝对压强小于一个大气压的受压状态，是负的相对压强。真空值pv

2.3

流体静力学的基本方程第17页，共79页，2023年，2月20日，星期一三者之间的关系如图或归纳如下：绝对压强=大气压强+计示压强计示压强=绝对压强大气压强真空度=大气压强绝对压强第18页，共79页，2023年，2月20日，星期一1.几何意义2.3.5流体静力学的基本方程的几何意义与能量意义测压管高度位置水头测压管水头静压高度位置水头静压水头2.3

流体静力学的基本方程第19页，共79页，2023年，2月20日，星期一物理意义：1.仅受重力作用处于静止状态的流体中，任意点对同一基准面的单位势能为一常数，即各点测压管水头相等，位头增高，压头减小。2.在均质（g=常数）、连通的液体中，水平面（z1=z2=常数）必然是等压面（p1=p2

=常数）。表明：液体平衡时，单位重量液体重力势能与压力能之和为常数，这里显示了机械能守恒的意义。位置水头z：任一点在基准面0-0以上的位置高度，表示单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称位能。测压管高度p/g：表示单位重量流体从压强为大气压算起所具有的压强势能，简称压能（压强水头）。测压管水头（z+p/g）：单位重量流体的总势能。2.3

流体静力学的基本方程第20页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.4压强单位和测压仪器a.应力单位:

这是从压强定义出发，以单位面积上的作用力来表示的，N/m2Pa，MPa

106Pa,kN/m2

kPa，bar

105Pa

0.1MPa

10N/cm2b.大气压标准大气压：1标准大气压(atm)=1.013X105Pa=101.3kPac.液柱高

水柱高mH20：1atm相当于1at相当于

汞柱高mmHg：1atm相当于

1at相当于

2.4.1压强的计量单位kgf/cm2

0.981bar第21页，共79页，2023年，2月20日，星期一二.测压计1)测压管

测压管（pizometrictube）：是以液柱高度为表征测量点压强的连通管。一端与被测点容器壁的孔口相连，另一端直接和大气相通的直管。适用范围：测压管适用于测量较小的压强，但不适合测真空。1液体压力计如何用测压管测真空度？2.4压强单位和测压仪器第22页，共79页，2023年，2月20日，星期一2)微压计

被测点A的压强很小，为了提高测量精度，增大测压管标尺读数，常采用以下两种方法：（1）将测压管倾斜放置，此时标尺读数为l，而压强水头为垂直高度h，则（2）在测压管内放置轻质而又和水互不混掺的液体，重度

，则有较大的h。2.4压强单位和测压仪器第23页，共79页，2023年，2月20日，星期一2水银测压计与U形测压计适用范围：用于测定管道或容器中某点流体压强，通常被测点压强较大。B—B等压面：2.4压强单位和测压仪器第24页，共79页，2023年，2月20日，星期一三、压差计

压差计空气压差计：用于测中、低压差油压差计：用于测很小的压差水银压差计：用于测高压差适用范围：测定液体中两点的压强差或测压管水头差。压差计计算若A、B中流体均为水，ρ2为水银，

则2.4压强单位和测压仪器第25页，共79页，2023年，2月20日，星期一2、U形水银测压计Paρ1Mρh1h2ρ12等压面p1=p+ρ1gh1p2=pa+ρ2gh2所以：p+ρ1gh1=pa+ρ2gh2M点的绝对压强为：p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1

2.4压强单位和测压仪器第26页，共79页，2023年，2月20日，星期一3、U形管差压计用来测量两个容器或同一容器（如管道）流体中不同位置两点的压强差。因p1=p2，故若两个容器内是同一流体，即ρA=ρB=ρ12.4压强单位和测压仪器第27页，共79页，2023年，2月20日，星期一当A，B在同一高程△Z=0。整理：2.4压强单位和测压仪器第28页，共79页，2023年，2月20日，星期一例2.1已知=800kg/m3,p1=64kpa，

p2=79.68kpa求z=?poz21解:z1+p1/g=z2+p2/gz=z1–z2=(p2–p1)/g=(79.68–64.0)103/(9.8800)z=2m2.4压强单位和测压仪器第29页，共79页，2023年，2月20日，星期一例2.2图示侧壁上方装有U型水银测压计，读数hp=2.0cm，试求安装于水面下3.5m处压力表C的读数？P03.5CMNhp解：如图取MN平面为等压面以相对压强计：0=P0+ρHgghpP0=-ρHgghp压力表读数C：PC=P0+ρghC=ρghC-ρHgghp=7.64KPa2.4压强单位和测压仪器第30页，共79页，2023年，2月20日，星期一例2.3用U型水银差压计测量水管A,B两点压强差，已知两测点高差△Z=0.4m,差压计读数hp=0.2m,试问A,B两点压强差和测压管水头差？BA1hp△Z解：由前述差压计公式：测压管水头差：2.4压强单位和测压仪器第31页，共79页，2023年，2月20日，星期一例2.4如图三组串联U型水银测压计，求A点的压强。解：2.4压强单位和测压仪器第32页，共79页，2023年，2月20日，星期一讨论质量力仅为重力时平衡流体对壁面的作用力。一、固体平面壁上的作用力（大小、方向、作用点）考察平面壁AB上的作用力。建立坐标lom如图。1、平板上的作用力（大小）微元面积dA上的压强：p=p0+

gh微元面积dA上的微小作用力为dFdF=

(p0

+

gh)dA=

(p0+glsin)dA2.5静止液体作用在壁面上的总压力第33页，共79页，2023年，2月20日，星期一整个平板AB上的作用力F应为：F=

AdF=

A

p0dA++A

glsindA==p0A+gsinAldA式中：AldA=lCA

式中：lC——平面A形心C点的l轴坐标。2.5静止液体作用在壁面上的总压力第34页，共79页，2023年，2月20日，星期一则F=p0A+

gsinlC

A=

(

p0+ghc)A=pCA式中:hC

——平面A形心C处的液深；

pC

——

C点处的压强。上式表明：重力作用下，静止液体对平面壁的作用力等于平面形心处的静压强与平面面积的乘积。2.5静止液体作用在壁面上的总压力第35页，共79页，2023年，2月20日，星期一第五节静止液体作用在壁面上的总压力2.总压力作用点（压心）合力矩定理（对Ox轴求矩）：面积惯性矩：式中：Io——面积A绕Ox轴的惯性矩。Ic——面积A绕其与Ox轴平行的形心轴的惯性矩。结论：1）当平面面积与形心深度不变时，平面上的总压力大小与平面倾角θ无关；2）压心的位置与受压面倾角θ无关，并且压心总是在形心之下.只有当受压面位置为水平放置时，压心与形心才重合。第36页，共79页，2023年，2月20日，星期一（二）图解法

适用范围：规则平面上的静水总压力及其作用点的求解。原理：静水总压力大小等于压强分布图的体积，其作用线通过压强分布图的形心，该作用线与受压面的交点便是压心P。例题：用图解法计算解析法中例1的总压力大小与压心位置。2.5静止液体作用在壁面上的总压力第37页，共79页，2023年，2月20日，星期一例2.5题：某水坝用一长方形闸门封住放水口。闸门高L=3m，宽B=4m，闸门两边水位分别为H1=5m，H2=2m，闸门垂直放置，试确定：闸门的受力情况及作用点.

解：1、作用在闸门右侧的总压力为：第38页，共79页，2023年，2月20日，星期一总压力F1的作用点：作用在闸门左侧的总压力为：总压力F2的作用点：第39页，共79页，2023年，2月20日，星期一

例2.6倾斜闸门AB，宽度为B=1m（垂直于图面），A处为铰接轴，整个闸门可绕此轴转动，如图2.20所示。已知：H=3m；h=1m；闸门自重铰接轴处的摩擦力可略去不计。求：升起此闸门时所需垂直向上的拉力。第40页，共79页，2023年，2月20日，星期一根据式（2.5.5），压力中心D到铰轴A的距离为第41页，共79页，2023年，2月20日，星期一由图2.20知，x的值应为根据理论力学矩平衡原理。当闸门刚刚转动时，力P,T对铰接轴A的力矩代数和为零，即因此第42页，共79页，2023年，2月20日，星期一1）水平分力Fx

结论：作用于曲面上的静水总压力F的水平分力Fx等于作用于该曲面的垂直投影面（矩形平面）上的静水总压力，方向水平指向受力面，作用线通过面积Az的压强分布图体积的重心。2.5.2作用在曲面壁上的总压力2.5静止液体作用在壁面上的总压力第43页，共79页，2023年，2月20日，星期一1）水平分力Fx

结论：作用于曲面上的静水总压力F的水平分力Fx等于作用于该曲面的垂直投影面（矩形平面）上的静水总压力，方向水平指向受力面，作用线通过面积Az的压强分布图体积的重心。2.5.2作用在曲面壁上的总压力2.5静止液体作用在壁面上的总压力第44页，共79页，2023年，2月20日，星期一2）垂直分力Fz式中：Vp——压力体体积结论：作用于曲面上的静水总压力F的铅垂分力Fz等于该曲面上的压力体所包含的液体重，其作用线通过压力体的重心，方向铅垂指向受力面。2.5静止液体作用在壁面上的总压力第45页，共79页，2023年，2月20日，星期一三、压力体的概念

积分式

AzhdAz

——纯几何体积。定义：由所研究的曲面A，通过曲面A的周界（外缘）所作的垂直柱面，以及对曲面A有作用的液体自由液面（或其延伸面）所围成的封闭体积，用VF表示，称为压力体。压力体液重：

gVF

2.5静止液体作用在壁面上的总压力第46页，共79页，2023年，2月20日，星期一实压力体——压力体与受压面同侧。虚压力体——压力体与受压面异侧。2.5静止液体作用在壁面上的总压力第47页，共79页，2023年，2月20日，星期一曲面压力体及其绘制方法一曲面压力体及其绘制方法二曲面压力体及其绘制方法三曲面压力体及其绘制方法四曲面压力体及其绘制方法五曲面压力体及其绘制方法六第48页，共79页，2023年，2月20日，星期一3）总压力作用在曲面上的静水总压力与水平面的夹角：作用线：必通过Fx，Fz的交点，但这个交点不一定位于曲面上。对于圆弧面，F作用线必通过圆心。F的作用点作用在F作用线与曲面的交点。2.5静止液体作用在壁面上的总压力第49页，共79页，2023年，2月20日，星期一曲面上的静水总压力的计算步骤

计算水平分力

正确绘制曲面的铅垂投影图，求出该投影图的面积及形心深度，然后求出水平分力；计算铅垂分力

正确绘制曲面的压力体。压力体体积由以下几种面围成：受压曲面本身、通过曲面周围边缘作的铅垂面、液面或液面的延长线。铅垂分力的大小即为压力体的重量；总压力的合成

总压力的大小利用水平分力及铅垂分力通过求合力的方法求得。2.5静止液体作用在壁面上的总压力第50页，共79页，2023年，2月20日，星期一第51页，共79页，2023年，2月20日，星期一第52页，共79页，2023年，2月20日，星期一第53页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.6阿基米德原理及固体在液体中浮沉问题2.6.1阿基米德定律-浮力定律完全浸没在流体中的物体称为潜体。当物体部分浸没在流体中，部分露出在自由液面之上时称为浮体。第54页，共79页，2023年，2月20日，星期一（1）水平方向的受力问题在水深为z的地方，自潜体中划取一垂直投影面积为dAx1=dAx2=dAx的微元水平棱柱体，如图2.24a所示。由式（2.5.9），此棱柱体在轴方向所受的水平压力为参照式（2.5.12），将上式右边对潜体的垂直投影面积Ax进行积分，则此潜体在x轴方向上所受的水平压力为则第55页，共79页，2023年，2月20日，星期一（2）垂直方向的受力问题采用类似的方法，自潜体中划取一个上部水深为Z1、下部水深为Z2、水面投影面积为的微元垂直棱柱体，如图2.24（b）所示。参考（2.5.9），此棱柱体在Z轴方向所受的垂直压力为参照（2.5.11），将上式右边对潜体的水平投影面积进行积分，此潜体在轴方向上所受力的压力为(2.6.1)第56页，共79页，2023年，2月20日，星期一可以证明浮力作用线通过物体所排开的流体体积的重心，对均质物体来说，重心也是该物体体积的几何中心，称浮心。第57页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.6.2固体在液体中的浮沉问题（1）固体有液体介质中的重量设：表示浸没在液体介质中的固体体积；表示浸没在固体的重度；表示液体介质中的重度。固体在液体介质中所受的浮力固体在液体介质中的重量为物体在静止流体中所受到的静水总压力，仅有铅垂向上的分力，其大小恰等于物体（潜体、浮体）所排开的液体重量。第58页，共79页，2023年，2月20日，星期一浮力

浮力：即在阿基米德定律中，物体所受到的具有把物体推向液体表面倾向的力的合力，即为浮力。浮力方向总是铅垂向上。浮心：即浮力的作用点，该浮心与所排开液体体积的形心重合。浸没物体的三态

浸没于液体中的物体不受其他物体支持时，受到重力G和浮力FZ作用，所以物体有下列三态：（1）沉体：当G>FZ，下沉到底的物体。（2）潜体：当G=FZ，潜没于液体中任意位置而保持平衡即悬浮的物体。（3）浮体：当G<FZ，上浮至水面呈漂浮状态的物体。2.6阿基米德原理及固体在液体中浮沉问题第59页，共79页，2023年，2月20日，星期一二、潜体的平衡与稳定性

潜体的平衡条件是：重力G与浮力FZ大小相等，方向相反，作用在同一铅垂直线上。

潜体平衡的稳定性：是指遇到外界扰动，潜体倾斜后，恢复它原来平衡状态的能力。潜体的稳定平衡条件：重力G与浮力FZ大小相等，且重心C在浮心D之下。潜体平衡的三种情况随遇平衡：重心C与浮心D重合稳定平衡：重心C在浮心D之下不稳定平衡：重心C在浮心D之上2.6阿基米德原理及固体在液体中浮沉问题第60页，共79页，2023年，2月20日，星期一2.6阿基米德原理及固体在液体中浮沉问题第61页，共79页，2023年，2月20日，星期一三、浮体的平衡与稳定性

浮体的平衡条件：重力G与浮力Fz大小相等，方向相反，作用在同一铅垂直线上。浮体的平衡稳定性对于浮体，重心C高于浮心D时，它的平衡也有稳定的可能，这是因为浮体倾斜后，浸没在水中的那部分形状改变了，浮心位置也随之移动。2.6阿基米德原理及固体在液体中浮沉问题第62页，共79页，2023年，2月20日，星期一

相对平衡流体所受的质量力：重力惯性力

2-7液体的相对平衡

除了重力场中的流体平衡问题以外，还有一种在工程上常见的所谓液体相对平衡问题：液体质点彼此之间固然没有相对运动，但盛装液体的容器或机件却对地面上的固定坐标系有相对运动。如果我们把运动坐标取在容器或机件上，则对于这种所谓的非惯性坐标系来说，液体就成为相对平衡了。工程上常见的流体的相对平衡有两种：1、作匀加速直线运动容器中的液体；2、作等角速旋转运动容器中的液体。第63页，共79页，2023年，2月20日，星期一1、等加速直线运动容器中流体的平衡0ZyH（1）压强分布规律X=0，Y=-a，Z=-g2.7液体的相对平衡根据达朗贝尔原理,在运动的液体质点上加上惯性力便可将液体质点随容器运动的动力学问题按静力学来研究。第64页，共79页，2023年，2月20日，星期一边界条件：y=0，Z=H处p=p0（2）等压面：dp=00ZyHP0积分：自由液面方程：2.7液体的相对平衡第65页，共79页，2023年，2月20日，星期一

二、讨论作等角速旋转运动容器内液体的相对平衡

如图所示，盛有液体的圆柱形容器绕铅垂轴z以角速度ω作旋转运动，液体被甩向外周。当旋转角速度ω稳定不变时，液体形成如图所示的自由表面，液体质点之间不再有相对运动,液体连同容器作整体回转。如果将运动坐标系固结在回转容器上,且坐标原点取在自由液面的最低点，则液体对运动坐标系形成相对平衡。

容器作等角速回转运动第66页，共79页，2023年，2月20日，星期一下面讨论其静压强分布规律和等压面方程。单位质量液体所受质量力的各分量为：

fx

=

ω2rcosθ=ω2xfy=

ω2

rsinθ=ω2yfz

=−g式中：r流体质点到旋转轴的距离；x、y

r在两水平坐标轴上的投影。

此时作用在液体上的质量力有两种：重力△W=△mg虚构的离心惯性力△F=△mω2

r（方向与向心加速度的方向相反）第67页，共79页，2023年，2月20日，星期一

将各单位质量力的分量代入等压面微分方程式，可得：

ω2xdx+ω2ydy−gdz=0

作不定积分得：一、等压面方程在等压面上p=C则dp=0由平衡微分方程式的综合表达式可得等压面微分方程式：

fxdx+fydy+fzdz=0第68页，共79页，2023年，2月20日，星期一

或:自由表面方程：在自由表面上，当r=0时，z=0，可得积分常数C=0，故自由表面方程为：或:等角速旋转容器中液体的等压面方程可见等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。第69页，共79页，2023年，2月20日，星期一上式中：z0