平面及其方程

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高数

一、平面的点法式方程z如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量.x

nM

M0oy

法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量.已知n{A,B,C},M0(x0,y0,z0),

设平面上的任一点为M(x,y,z)

必有M0MnM0Mn0

高数

M0M{xx0,yy0,zz0}A(xx0)B(yy0)C(zz0)0平面的点法式方程其中法向量n{A,B,C},已知点(x0,y0,z0).

平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形.

高数

例1求过三点A(2,1,4)、B(1,3,2)和

C(0,2,3)的平面方程.解

AB{3,4,6}AC{2,3,1}

取nABAC{14,9,1},所求平面方程为14(x2)9(y1)(z4)0,化简得14x9yz150.

高数

例2求过点(1,1,1),且垂直于平面xyz7和

3x2y12z50的平面方程.解n1{1,1,1},n2{3,2,12}取法向量nn1n2{10,15,5},所求平面方程为

10(x1)15(y1)5(z1)0,化简得

2x3yz60.

高数

二、平面的一般方程由平面的点法式方程

A(xx0)B(yy0)C(zz0)0AxByCz(Ax0By0Cz0)0D

AxByCzD0平面的一般方程法向量n{A,B,C}.

高数

平面一般方程的几种特殊情况：(1)D0,平面通过坐标原点；

D0,平面通过x轴；(2)A0,D0,平面平行于x轴；类似地可讨论B0,C0情形.

(3)AB0,平面平行于xoy坐标面；类似地可讨论AC0,BC0情形.

高数

例3设平面过原点及点(6,3,2),且与平面

4xy2z8垂直，求此平面方程.解设平面为AxByCzD0,由平面过原点知D0,由平面过点(6,3,2)知6A3B2C0

n{4,1,2},

4AB2C0备注两个方程求三个未知数可以将其中一个当做已知，到最后约掉

2:ABC,3所求平面方程为2x2y3z0.

高数

例4

设平面与x,y,z三轴分别交于P(a,0,0)、

Q(0,b,0)、R(0,0,c)(其中a0,b0,c0),求此平面方程.

解

设平面为AxByCzD0,

aAD0,将三点坐标代入得bBD0,cCD0,DDDA,B,C.abc

高数

DDD将A,B,C,abc代入所设方程得

xyz1平面的截距式方程abc

x轴上截距

y轴上截距

z轴上截距

高数

备注：平行于一个平面也可以先设为6x+y+6z+a=0,然后

再去求解

例5求平行于平面6xy6z50而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.

xyz解设平面为1,abc11V1,abc1,321

z

o

y

x

由所求平面与已知平面平行得

abc,(向量平行的充要条件)616

1

1

高数

111111,令t化简得6ab6c6ab6c111a,b,c,6t6tt111111t,66tt6t6a1,b6,c1,所求平面方程为6xy6z6.代入体积式

高数

三、两平面的夹角定义两平面法向量之间的夹角称为两平面的(通常取锐角)夹角.

n2

n1

1:A1xB1yC1zD10,2

2:A2xB2yC2zD20,n1{A1,B1,C1},1n2{A2,B2,C2},

高数

按照两向量夹角余弦公式有

cos

|A1A2B1B2C1C2|A1B1C1A2B2C2222222

两平面夹角余弦公式两平面位置特征：

(1)12A1A2B1B2C1C20;A1B1C1.(2)1//2A2B2C2

高数

例6研究以下各组里两平面的位置关系：

(1)x2yz10,(2)2xyz10,(3)2xyz10,解

y3z104x2y2z104x2y2z20

|102113|(1)cos(1)222(1)21232

11cos两平面相交，夹角arccos.6060

高数

(2)

n1{2,1,1},

n2{4,2,2}

211,两平面平行422M(1,1,0)1M(1,1,0)2两平面平行但不重合.

211(3),两平面平行422

M(1,1,0)1

M(1,1,0)2

两平面重合.

高数

例7

设P0(x0,y0,z0)是平面AxByCzD0

外一点，求P0到平面的距离.

解

P1(x1,y1,z1)d|PrjnP1P0|PrjnP1P0P1P0n0

nP0P1N

P1P0{x0x1,y0y1,z0z1}

高数

An,222ABC0

B,222ABC

C222ABC

PrjnP1P0P1P0n0A(x0x1)B(y0y1)C(z0z1)222222ABCABCA2B2C2

Ax0By0Cz0(Ax1By1Cz1),222ABC

高数

Ax1By1Cz1D0

(P1)

Ax0By0